图与网络

1、图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,第八章 图与网络分析,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,游戏1人、狼、羊、草渡河。一农夫, 带着一条狼, 一只羊和一捆草, 来到了河边。当他准备渡河时才发现, 河边唯一的一条小船仅能承载他和另外一样东西。然而他不能将狼和羊单独留河的一岸, 也不能将羊和草单独留河的一岸, 但是他可以来回反复摆渡。农夫应该如何摆渡, 才能以最少的摆渡次数成功渡河？,应该构建一个怎样的模型来分析这一问题？,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,游戏2一笔画有如下图形，。

2、第十章 图与网络优化,亦爽稠砾悲抽优匣柜肘弹徽铺碎镊岭吐虚沛驴袄击你磨孙亡桐镐凯欺摧阔运筹学( 图与网络优化)运筹学( 图与网络优化),图论概述,图论(Graph Theory)是运筹学中的一个重要分支，主要研究具有某种二元关系的离散系统的组合结构和性质。,如，通信系统、交通运输系统、信息网络系统、生产工艺流程以及军事后勤保障系统等的问题常用图论模型来描述。,图庇恰蜗枯熟幽瘪州赤芬避旦壳佛改园范庶箩撤莫廊选斥释歧沾骨课攘加运筹学( 图与网络优化)运筹学( 图与网络优化),网络规划概述,网络规划(Network Programming )是图论与线性规。

3、1,2019年4月24日,运筹学（operations research, OR）,第八讲 图与网络优化,商学院电子商务系,2,2019年4月24日,第八讲 图与网络优化,一. 图与树二. 最短路问题 三. 最大流问题,3,2019年4月24日,一、图与树,第八讲 图与网络优化,人们为反映一些对象之间关系时，常会用示意图。,图的相关概念,铁路交通图,比赛情况图,药品存放图,4,2019年4月24日,一、图与树,第八讲 图与网络优化,图是由一些点及一些点之间的连线(不带箭头或带箭头)组成的图形。,图的相关概念,两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。,如果一个图G由点及边所构成，。

4、运 筹 学 Operations Research,Chapter 7 图与网络 Graph and Network,1. 图的基本概念 Basic Concepts of Graph 2. 最小树问题 Minimum Spanning Tree Problem 3. 最短路问题 Shortest Path Problem 4. 最大流问题 Maximum Flow Problem,2018年11月5日星期一,A,C,B,D,C,B,A,引例：哥尼斯堡七桥问题,您能从A、B、C或D任意一点出发 走遍7座桥并且每座桥只走一次最 后回到原出发点吗？,D,2018年11月5日星期一,图可 定义为点和边的集合，记作,式中是点的集合，是边的集合。注意上面定义的图区别于几何学中的图。在几何学中，图中点的位置、线。

5、第7章 图与网络模型,1 图与网络的基本概念2 树图与最小生成树3 最短路问题4 最大流问题5 最小费用最大流问题,图论 Graph Theory,哥尼斯堡七桥问题 (Knigsberg Bridge Problem)Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的一些基本定理很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联,1 图与网络的基本概念,1.1 图与网络节点 (Vertex)物理实体、事物、概念一般用 vi 表示边 (Edge)节点间的连线，表示有关系一般用 eij 表示图 (Graph)节点和边的集合，一般用 G(V,E) 表示点集 V=v1,v2,。

6、第 4 章 编制计划的原理与方法（教案） 【课题】43 网络图与横道图【教学目标】知识目标： 理解双代号逻辑网络图的概念.了解网络图的两个功能与绘制网络图的基本规则掌握编制网络图的基本步骤（2）了解横道图的基本构成形式与绘制方法能力目标：通过网络图及横道图的编制，提高学生的数学思维能力.【教学重点】网络图，绘制网络图的基本原则，编制网络图的基本步骤【教学难点】绘制网络图基本原则与基本步骤【教学设计】通过实例具体剖析，分析网络图的概念、功能、绘制网络图的基本原则及编制网络图的基本步骤介绍了横道图概念及编制的方。

7、单代号网络图与双代号网络图1）节点网络图中箭线端部的圆圈或其他形式的封闭图形。双代号网络图中表示一个事件；单代号网络图中表示一项工作（活动）。线路网络图中从起点开始，沿箭线方向连续通过一系列箭线与节点，最后到达终点节点所经过的通路。双代号网络图中表示一个工作（活动），单代号网络图中表示工作（活动）之间的逻辑关系。2）单代号网络图包含四种先后顺序的关系，如图所示：1、 完成开始(FS) 后续作业的开始依赖于紧前作业的完成。2、完成完成（FF）后续作业的完成依赖于紧前作业的完成。3、 开始开始（SS）后续作业的开始。

8、1图1 单项选择题1在一个图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的_倍。A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 4 2任何一个无向连通图的最小生成树 。A.只有一棵 B.有一棵或多棵 C.一定有多棵 D.可能不存在3在一个有向图中，所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和的_倍。A. 1/2 B. 1 C. 2 D. 44一个有 n 个顶点的无向图最多有_条边。A. n B. n(n-1) C. n(n-1)/2 D. 2n5具有 4 个顶点的无向完全图有_条边。A. 6 B. 12 C. 16 D. 206具有 6 个顶点的无向图至少应有_条边才能确保是一个连通图。A. 5 B. 6 C. 7 D. 87在一个具有 n 个顶点的无向图中，要连通全。

9、图与网络模型及方法,图与子图 图的连通与割集 树与支撑树 最小树 最短有向路 最大流 最小费用流 最大对集,图与网络无向图的基本概念网络的基本概念关联矩阵和邻接矩阵关联矩阵邻接矩阵主要结论子图,绪论,图论起源于18 世纪。 第一篇图论论文是瑞士数学家欧拉于1736 年发表的“哥尼斯堡的七座桥”。 1847 年，克希霍夫为了给出电网络方程而引进了“树”的概念。 1857年，凯莱在计数烷n 2n+2 C H 的同分异构物时，也发现了“树”。 哈密尔顿于1859 年提 出“周游世界”游戏，用图论的术语，就是如何找出一个连通图中的生成圈,绪论,近几十年。

10、运筹学,第七章 图与网络 YU Junli,解决的问题：,图论解决运输系统设计、信息系统设计、工程项目进度安排等。 运输系统设计 运输理论中运输、配置、转载问题，也是网络问题，网络由点、弧组成。 最短路线问题、最小支撑树问题、最大流问题、项目安排。,一、图与网络的基本概念,从实例引出图：5个人之间认识关系：1与2，3与4，2与4，1与3相互认识；3认识5，5认识2，5认识4。,1,2,3,4,5,相关概念：,图论中的图由点和点及之间的连线（带箭头、不带箭头）构成。 有向图：由点和弧（带箭头的连线）构成,关联边有方向. D=(V,A)，V表示有向图D的点。

11、第十章 图与网络优化,主要内容: 图论的基本概念 最小支撑树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题,一、基本概念与定理,1、容量网络与流,定义 给定一个有向图D=（V，A），在V中指定一个发点vs，和一个收点vt，其余点称中间点。对任意弧(vi，vj)A，有权Cij0，称为弧的容量。称D为一个容量网络。记为：D=（V，A，C）。,如(a)图是一个容量网络,弧旁数字：容量,第四节 网络最大流问题,网络D中的任一条弧(vi,vj)的流量记为f(vi,vj)，(简记fij)，显然， fijCij；一系列流量的集合f=f(vi,vj)构成网络D上的流（运输方案）。,弧旁数字：流。

12、,建设项目进度管理的方式以横道图和网络图最为常见。横道图具有直观、简洁、静态的特点，因而更多应用于基层项目管理人员。网络图则由于全面、深入、动态，加之可进行最早可能开始时间、最迟必须开始时间、总时差及自由时差等时间参数计算，确定关键线路，便于计算机管理，应用范围更广。,流水施工,概念：是指在各施工过程连续施工的条件下，把各施工过程最大限度地相互搭接起来,以提高效率，最大限度地节约时间。流水施工参数：施工过程数（n）：（工艺参数）指施工时划分的最小对象。一幢建筑物等的建造过程，通常是由许多施工过程（如。

13、网络优化,Seervada公园最近只允许限定数量的观光者和背包者徒步旅行，小轿车不允许进入公园，但公园的看守可以在一个狭窄的弯曲道路上开电车或吉普车。这个道路如下图所示。其中，点o表示公园入口，其他字母表示看守站点所在位置，图中线上数字表示道路的长度。,Seervada公园问题,Seervada公园道路系统,A,E,C,T,O,D,B,2,4,5,7,2,1,4,4,3,1,7,5,需要在所有的站点安装电话线路来保证通信联系（包括入口）。电话线安装后要保证任意两点都要有联系。又考虑到安装线很贵且在自然条件下容易破裂，考虑如何布线使总的线路最短。公园在T处有个景色。

14、第七章 图与网络分析,图论（Theory of Graphs 或 Graph Theory ）是决策科学，特别是运筹学中应用十分广泛的一个分支，它已广泛的应用在经济学、管理学、物理学、化学、控制论、信息论和电子计算机等领域。在现实生活、生产和科学研究中，很多问题可以用图论的理论和方法来解决。图论的起源最早可追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。,近年来，随着科学技术的进步和电子计算机的蓬勃发展，图论得到了进一步发展。特别是，图论被应用于网络分析中所产生的最小树问题、最短路问题、最大流问题、运输问题。

15、第八章 图与网络分析,最短路问题 最短路的应用,第一讲： 最短路问题,最短路问题是网络理论中应用最广泛的问题之一。许多优 化问题都可以使用这个模型，如设备更新、管道的铺设、 线路的安排、厂区的布局等。,最短路问题的一般提法是：设 为连通图，图中 各边 有权 ( 表示 ， 之间没有边）, 为图中任意两点，求一条道路 ，使它是从 到 的所有路中总权最小的路。即：,最小。,最短路算法中1959年由 （狄克斯特洛）提出的 算法被公认为是目前最好的方法，我们称之为 算 法。下面通过例子来说明此法的基本思想。,条件：所有的权数,思路：逐步探。

16、第四章 图与网络分析,4.1 基本概念4.2网络最小费用流问题4.3网络最大流问题4.4最短路径问题,4.1 基本概念,图G=(V,E),其中：V= v1,v2,vnE= e1,e2,en,子图G1=(V1,E1),其中： V1,V ,E1 E,1.图与子图,多重边：两点之间有多于一条边。,环：首尾相接的边,简单图：无环、无多重边的图。,2.有向图与无向图,有向图：有方向的图。 无向图：无方向的图。,e1 V2V1e2 V3,v1 e v2,3.关联与相邻,关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间 的边，记e=v1，v2 ，称v1、v2 与e关联。,相邻（边与边、点与点的关系）：点v1与v2有公共边，称点v1与v2相邻； 边e1。

17、4.3 网络图与横道图,第四章 编制计划的原理与方法,问题引入 探索新知,归 纳,每一项工作用编有号码的两个节点表示.两个工作间按它们的内在逻辑关系邻接,在表示每一项工作的箭线的上下方分别标有工作名称和工期,这样的图叫做双代号逻辑网络图,简称网络图.,动脑思考 探索新知,一个网络图必须具有两个功能： (1)能完整而系统地反映出工程自始至终的全过程. (2)能确切而逻辑地表示出工程各方面的内在关系.,功能,动脑思考 探索新知,绘制网络图必须遵循相应的基本规则： (1)由开始节点出发,按照工作的流向,从左到右绘制直到终止节点.箭线应尽量体。

18、图与网络建模,什么是图?,图G=G(V,E)，由顶点和边组成，V是一个非空的有限集，称为顶点集，E是边集，E中的任意元素 e=uv (其中u，vV)称为连接顶点 uv 的边。,图的基本概念,环与重边；有限图与简单图关联与相邻；顶点的度邻接矩阵与关联矩阵子图、生成子图路、圈；距离；连通图、连通分支；完全图、正则图、树、二部图、完全二部图、平面图有向图；,几个简单的定理,定理1：图G的所有顶点的度数和等于边数的2倍。推论：任何图中，奇度点的个数为偶数。定理2：一个图是二部图当且仅当它不包含奇圈。定理3：若最小度(G)2，则G一定包含圈。,最短。

19、网络的挑战,快乐的网络开始成功的一切 建立网络是成功的一切,图与网络模型,瑞士数学家欧拉在1736年发表了一篇题 为“依据几何位置的解决方法”的论文，有 效地解决了哥尼哥尼斯堡“七桥问题”，这是有史以来的第一篇图论论文，欧拉被公 认为图论的创始人。18世纪的哥尼斯堡城中流过一条河。河上游七座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样的游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这七座桥而每座桥只走一次，回到原出发点。没有人想出这种走法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“七桥”难题。欧拉将这个问题归结。

20、第一节 网络分析中常用名词,图 子图和生成子图 网络图 链、路、圈和回路 连通图 简单图,一、哥尼斯堡七桥问题与欧拉图,哥尼斯堡七桥问题 欧拉图与一笔画问题,一、图：无向图,有向图,二、子图与生成子图,三、网络图,各边赋予一定的物理量，例如距离，则叫做网络图。 所赋予的物理量叫做权。 权可以是：距离、时间、成本、容量等,四、链、路、圈、回路,初等链：顶点和边相互交替出现的点不重复序列。 路：在有向图中，方向和链的走向一致的链。 圈：起点和终点相同的链叫做圈。 回路：起点和终点相同的路叫做回路。,五、连通图和简单图,连通。