1、图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,第八章 图与网络分析,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,游戏1人、狼、羊、草渡河。一农夫, 带着一条狼, 一只羊和一捆草, 来到了河边。当他准备渡河时才发现, 河边唯一的一条小船仅能承载他和另外一样东西。然而他不能将狼和羊单独留河的一岸, 也不能将羊和草单独留河的一岸, 但是他可以来回反复摆渡。农夫应该如何摆渡, 才能以最少的摆渡次数成功渡河？,应该构建一个怎样的模型来分析这一问题？,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,
2、游戏2一笔画有如下图形，是否能够采用笔不离纸连续一笔，不重复笔画的将其画出？,为什么画不出来呢？这就引出了一个古老的话题！,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,引言十八世纪的哥尼斯堡城中流过一条河（普雷.格尔河），河上有 7 座桥连接着河的两岸和河中的两个小岛。当时那里的人们热衷于这样一个游戏：一个游者怎样才能一次连续走过这 7 座桥，回到原出发点，而每座桥只允许走一次。没有人想出走法，又无法说明走法不存在，这就是著名的“哥尼斯堡 7 桥”难题。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,引言“哥尼斯堡 7
3、桥”难题最终在 1736 年由数学家 Euler 的一篇论文给予了完满的解决，这是图论的第一篇论文。 欧拉是怎样研究这个问题的呢?,A,C,D,B,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,引言欧拉将“哥尼斯堡 7 桥”抽象成：在如下的图形中，从A, B, C, D任一点出发，能否通过每条边（连线）一次且仅一次，再回到该点，欧拉证明了该图不存在（所谓的）“欧拉回路”，所以无解！,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,引言图论的第一篇论文产生后的两百年间图论的发展是缓慢的，直到 1936 年匈牙利数学家 O.Kn
4、ig写出了图论的第一本专著有限图与无限图的理论。在图论的发展过程中还有两位著名科学家值得一提，他们是物理学家克希霍夫和化学家凯莱，他们在各自的专业领域的研究中应用了图论的基本思想，也对图论的发展作出了重要贡献！,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,引言图论的历史上最具有传奇色彩的问题也许要数著名的“四色猜想”了历史上许许多多数学猜想之一。它描述对一张地图着色的问题，幸运的是在 1970s 终于由美国的两位数学家借助大型计算机将其证明了。图论与网络分析理论所研究的问题十分广泛，内容极其丰富。正如一位数学家所说：“可以说，图论为任何一个包含了某种二元关
5、系的系统提供了一种分析和描述的模型。”,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 人、狼、羊、草渡河游戏图的模型描述：M（Man），W（Wolf），G（Goat），H（Hay）。 点 vi 表示河的一岸允许出现的状态；ui 河的另一岸允许出现的状态。 则有：v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）；v3，u3 =（M，W，H）； v4，u4 =（M，G，H）；v5，u5 =（M，G）。 边 ek 表示由状态 vi 经一次摆渡可以变化到状态 uj 权 边 ek 上的权定为 1（表示经一次摆渡）。,图与网络分析 G
6、raph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 将此问题通过图的模型描述：将以上描述有图表示为,v1,v2,v3,v4,v5,u5,u4,u3,u2,u1,v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）； v3，u3 =（M，W，H）； v4，u4 =（M，G，H）； v5，u5 =（M，G）,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念案例国庆大假期间旅游非常火爆，机票早已订购一空。成都一家旅行社由于信誉好、服务好，所策划的国庆首都游的行情看
7、好，要求参加的游客众多，游客甚至不惜多花机票钱辗转取道它地也愿参加此游。旅行社只好紧急电传其在全国各地的办事处要求协助解决此问题。很快，各办事处将其已订购机票的情况传到了总社。根据此资料，总社要作出计划，最多能将多少游客从成都送往北京以及如何取道转机。下面是各办事处已订购机票的详细情况表：,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念各办事处已订购机票情况表： 单位：张,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念将此问题通过图的模型描述： 下图中，点（小圈）各城市，带箭头连线从箭尾
8、城市到箭头城市已订购有机票，带箭头连线旁的数字机票数量。,8,郑州办事处已订 有的到北京的机 票数量。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图及其分类图论中所研究的图并非几何学中的图形，也不是绘画中的图。 在这里我们所关心的仅仅是图中有多少个点，点与点之间有无线来连接，也就是说我们研究的是某个系统中的元素点，以及这些元素之间的某种关系连线。图的形状与图的作图方式是无关的!,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图及其分类 定义：图（Graph）图G 是一个有序二元组
9、（V，E），| V | = n， | E | = m，记为 G =（V，E）其中 （1） V 是一个有限非空的集合，其元素称为G 的点或顶点，而称V为G 的点集 V = v1，v2，vn ； （2）E 是V 中元素的无序对（vi，vj） 所构成的一个集合，其元素称为G 的边，一般表示为 e =（vi，vj），称vi，vj 为边e的端点，而称E 是G 的边集。若一条边的两个端点相同，即e =（vi，vi），则称此边为“环”。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图及其分类 边（无向边） 没有方向的连线 弧（有向边） 带有方向的连线
10、无向图 有向图,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图及其分类简单图 多重图,无环，且任意两点间不多于一条边,有环，或有多重边,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图及其分类完全图K5 二部图（偶图，双图）,v1,v2,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 点的次以点 v 为端点的边的数量称为点 v 的次，记为 d（v）。如果边为环，则计算两次。 悬挂点次为 1 的点； 孤立点次为 0 的点； 奇次点
11、次为奇数的点； 偶次点次为偶数的点。,d（v1）= 5；d（v2）= 3；d（v3）= 4； d（v4）= 1；d（v5）= 0。,定理1、图中，点的次的总和等于边数的2倍。 定理2、图中，奇次点必为偶数个。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 母图、子图、支撑子图母图 子图 支撑子图（生成子图）,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 网络（赋权图）在实际问题中，只用图来描述所研究的对象间的关系往往是不够的，而常常还需要考虑与点或边有关的某些数量指标（即“权”），其
12、可以代表诸如距离、费用、通过能力（容量）等等。 网络点或边带有某种数量指标的图,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 连通图在众多各类图中有一类在实际应用中占有重要地位的图 连通图在图中，任意两点间至少存在着一条链。,连通图,不连通图,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图与矩阵在图与网络分析的应用中，将面临一个问题如何分析、计算一个较大型的网络，这当然需借助快速的计算工具计算机。那么，如何将一个图表示在计算机中，或如何在计算机中存储一个图呢？现在已有很多存储的方法
13、，但最基本的方法是采用矩阵来表示一个图，图的矩阵表示也根据所关心的问题不同而有邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图与矩阵 邻接矩阵对于图G =（V，E），| V |=n， | E | =m，有nn 阶 方矩阵A =（aij）nn ，其中aij =,邻接矩阵描述了点与点之间的邻接关系!,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图与矩阵邻接矩阵 例,A=（aij） nn=,图与网络分析 Graph Theory and Network A
14、nalysis,图与网络的基本概念 图与矩阵 关联矩阵对于图G =（V，E），| V |=n， | E | =m，有nm 阶矩阵M =（mij）nm，其中mij =,关联矩阵描述了点与边之间的关联关系!,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图与矩阵关联矩阵 例,M =（mij）=,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 图与矩阵 权矩阵对于网络（赋权图）G =（V，E），其边（vi ,vj）有权wij 时,有nn 阶 方矩阵Q =（qij）nn，其中qij =,Q=（
15、qij）=,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 欧拉回路与中国邮路问题 （1）欧拉路 连通图G中，若存在一条道路（链），经过每条边一次且仅一次，则称此路为欧拉路（链）。 （2）欧拉回路 连通图G中，若存在一条回路（圈），经过每条边一次且仅一次，则称此路为欧拉回路（圈）。存在欧拉回路（圈）的图称欧拉图。定理3、无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中无奇点。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图与网络的基本概念 欧拉回路与中国邮路问题 中国邮路问题 一邮递员，负责某小区（如下图）的信件投递
16、。他每天要从邮局出发，走遍该区的所有街道再返回邮局，应如何安排投递路线，可使邮递员所走的总路程最短？,v1,v2,v3,v6,v5,v4,v9,v8,v7,2,4,5,3,6,3,4,5,4,4,9,4,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 应用问题某房产开发商新近开发了一个200亩面积的高档住宅小区，小区内共有8栋大型建筑，需将其产生的生活污水引至污水处理中心。这8栋建筑之间，以及各栋建筑与污水处理中心之间的可建管道的距离如下表，管道的建设费用是500元米，应如何铺设污水管道，才能使总建设费用最低？,图与网络分析 Graph T
17、heory and Network Analysis,图的树与最小树问题 应用问题 距离表 单位：米,表中空格表示由于特殊原因无法铺设管道。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 树（Tree）和最小树树是图论中一类重要的图，实际中有很多系统的结构都是树。 例如: 网球淘汰赛中,运动员抽签后,可用图来表示其相遇的情况。,运动员 A B C D E F G H,冠军,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 树（Tree）和最小树 又如: 某企业的管理层次树形组织结构图。,
18、厂长,人事科,财务科,总工程师,新品研发部,技术部,生产副厂长,生产副厂长,生产科,设备科,供应科,动力科,检验科,销售科,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 树（Tree）和最小树树是图论中一类重要的图，实际中有很多系统的结构都是树。树连通且不含圈的图，简记为 T 。下面的说法是等价的：T 是一个树。 T 无圈，且 m = n-1。 T 连通，且 m = n-1。 T无圈，但每加一条新的边即出现唯一一个圈。 T连通，但每舍去一条边就不连通。 T中任意两点，有唯一的一条链相连。 T是边数最少的连通图。,图与网络分析 Graph
19、Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 树（Tree）和最小树图的生成（支撑）树 若G图的一个生成子图是一个树，则称此树是G图的一个生成树。 树的权 若T是加权图G的一棵生成树，则树T的全部边的权之和称为树T的权，记为 （T）= （e）； e T 。 最小树 若T*是加权图G的所有生成树中权最小的，即（ T* ）= min (Tk) 则T*是G的一棵最小生成树。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 树（Tree） 破圈法，避圈法求生成树：,图G,避圈法求生成树T,破圈法求生成树T,图与网络分析
20、 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 最小树 破圈法，避圈法求最小生成树：,赋权图G,避圈法求最小树T,破圈法求最小树T,1,2,4,1,2,1,1,2,1,2,4,1,2,1,1,2,最小树T的权 （T）= 14,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 最小树应用问题对于此节开始所提到的排污管道铺设的应用问题，可以归结为最小树问题，而如将网络绘制出来过于繁杂，所以我们介绍一种以边目录方式存储网络，继而求其最小树的一种所谓的“桶算法”。 桶算法步骤 1、将连通图中的边按权从小到大顺
21、序目录列出。开始时算法的所有捅（存储单元）均为空桶（桶的数量可变）。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 最小树应用问题 2、按边权从小到大顺序检查边（可能出现以下四种情形） ：若此边的两个端点均不在任何桶内，则此边着红色（表明其为最小树的边），同时将该边的两个端点放入（存储）一个空桶内。若此边的两个端点有一个在某桶内，另一个不在任何桶内，则此边着红色，同时将不在桶内端点放入另一个端点所在的桶内。若此边的两个端点分别在两个不同的桶内，则此边着红色，同时将两个桶内已有的所有端点合并放入其一个桶内。若此边的两个端点在同一个桶内，则此
22、边不着色（表明其不可能为最小树的边）。 3、当进行到着红色边的数量= n-1，或所有点都在同一个桶内时，算法结束，此时所有着红色边即构成最小树！,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 最小树应用问题 前例求解过程 ：,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 最小树应用问题 排污管道最优铺设方案如下最小树T ：,（T）= 20+30+30+30+30+40+50+60 = 290（米）所以，排污管道最小建设 成本 = 290500 = 145000 元,图与网络分析 Gr
23、aph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 根树及其应用 有向树若一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树。 出次 d（v +）= 由点v指出的边数, 入次 d（v -）= 指向点v的边数。 根树有向树 T，恰有一个结点入次为 0 ，其余各个点入次均为1。 叉树在根树中，若每个顶点的出次小于或等于 m ，称其为 m 叉树。若每个顶点的出次恰好等于 m 或 0 ，则称其为完全 m 叉树。,4 叉树,完全3 叉树,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 根树及其应用应用中常常讨论的是叶子上带有权的 2
24、 叉树。 2 叉树 T 的总权数： pi 2 叉树 T 的树叶 i 的权， li 树根到树叶 i 的距离（层次） i = 1，2，s m（T） 2 叉树 T 的总权数,满足总权最小的 2 叉树 T* 称为最优 2 叉树，又称霍夫曼树。霍夫曼（D. A. Huffman）给出了一个求最优 2 叉树的算法。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 根树及其应用 求最优 2 叉树的霍夫曼算法： （1）将 s 个叶子按权由小至大排序，不妨设为 p1 p2 ps 。 （2）将二个具有最小权的叶子合并成一个分枝点，其权为 p1 + p2 ，将新
25、的分枝点作为一个叶子。令 s s 1 ，若 s = 1，停止，否则转（1）。最优 2 叉树的直观意义：叶子的距离随着权的递减而增加，所以总权最小。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 根树及其应用 例 s = 6，其权分别为 4，3，3，2，2，1，求最优 2 叉树。,1 2 2 3 3 4,3,1 2,3,5,2 3 3 4,总权为： 14 + 2 4 + 2 3 + 3 2 + 3 2 + 4 2 = 38,6,1 2,2 4 3 3,1 2,2 4 3 3,图与网络分析 Graph Theory and Network A
26、nalysis,图的树与最小树问题 根树及其应用 最优 2 叉树的应用最优检索问题使用计算机进行图书分类。有五类图书共 100 万册，其中有 A 类 50 万册，B 类 20 万册， C 类 5 万册，D 类 10 万册，E 类 15 万册。问如何安排分检过程，可使总运算（比较）次数最少？解：构造一棵有 5 个叶子的最优 2 叉树，其叶子的权分别为 50，20，5，10，15。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,图的树与最小树问题 根树及其应用 最优 2 叉树的应用,5,10,15,20,50,15,30,50,C D E B A,100,A？,
27、B？,A,N,Y,E？,B,N,Y,D？,E,N,Y,D,N,Y,C,总权为： m（T*）= 54 + 10 4 + 15 3 + 20 2 + 50 1 = 195,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 路（Path）和最短路最短路问题是网络分析中应用最广泛的问题之一。尽管前面介绍了用动态规划方法求解，但有时却较困难，此时图论的方法却十分有效。最短路问题的一般描述： G = （V，E）是连通图，图中各边（vi，vj）有权lij（=表示vi，vj间无边），vs 、vt为图中任意两指定点，求一条路 ，使其是从 vs到 vt的所有路中最短
28、（路中各边的权之和最小）的一条路。即,L（ ）= min lij,（vi，vj） ,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 路（Path）和最短路 E.W.Dijkstra 算法（标号算法） 算法基本思路分析：（逐步向外搜索）,5,2,1,6,5,8,2,8,9,9,7,2,2,1,2,1,0,2,5,2,7,5,11,12,12,10,5,7,5,6,6,7,9,9,10,10,6,3,3,x,y,起点到该点 的最短距离,起点到该点 的最短距离 的上界,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,
29、路与最短路问题 路（Path）和最短路E.W.Dijkstra 算法（标号算法）的条件是所有边的权 lij 0 ，当网络中带有负权边时，该算法失效。此时，有所谓逐次逼近算法（修改的标号算法）。 逐次逼近算法求网络中某一指定点 v1 到任意点的最短距离（最短路）。算法的基本思路是：v1 到 vj 的最短路总是沿着该路从 v1 先到达某一点 vi ，然后再沿边（ vi ， vj ）达到 vi ，则 v1 到 vi 的这条路必然也是 v1 到 vi 的最短路。若令 P1j 表示从v1 到 vj 的最短路长，则必有如下方程：P1j = min（ P1i + lij ）,i,图与网络分析 Graph T
30、heory and Network Analysis,路与最短路问题 路（Path）和最短路 逐次逼近算法采用迭代方法解上述方程。 （1）开始时令 P（1）1j = l1j （j = 1，2，n），即以v1 到 vj 的直接距离（经过一步）做初始解，若v1 与 vj 间无边，则记 l1j = +。（2）从第二步起，使用迭代公式P （k）1j = min（ P （k-1）1i + lij ） （k = 2，3， ） 当进行到第 t 步时，若出现 P （t）1j = P （t-1）1j ，则算法停止， P （t）1j （对一切 j ）即为v1 到各点的最短路长 当进行到第 n 步时，若仍有 P （
31、n）1j P （n-1）1j ，（对一切 j ），则算法停止，此时可知网络中含有负回路。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,最短路应用问题 人、狼、羊、草渡河游戏 求起点v1 至终点u1 的最短路,0,2,2,3,3,3,4,3,4,4,5,4,5,6,6,7,7,1,1,v1，u1 =（M，W，G，H）； v2，u2 =（M，W，G）； v3，u3 =（M，W，H）； v4，u4 =（M，G，H）； v5，u5 =（M，G）,最短路应用问题 例 设备更新问题一工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定,如果继续使用旧的，需支付维修等费用；若购买
32、新设备，则需付购买费。试为工厂制定一个年的更新计划，使总支出最小。相关数据如下表：,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,最短路应用问题 例 设备更新问题 解：建立网络模型，将此问题转化为最短路问题点 vi 表示第 i 年初购进一台设备状态，虚设一个点v6 ，表示第五年底。有向边（vi，vj） 表示第 i 年初购进设备，一直使用到第 j 年初的使用关系。权 wij 各边旁的数字表示第 i 年初购进设备，一直使用到第 j 年初的费用支出。如此，设备更新问题就转化为在如下网络图中求从v1 到 v6 的最短路问题,图与网络分析 Graph Theory a
33、nd Network Analysis,最短路应用问题 例 设备更新问题 解：建立网络模型，将此问题转化为最短路问题,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,最优更新方案：第一年、第三年初分别购买新设备。5年总成本49,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,最短路应用问题 例 选址问题（网络的中心、重心）某地 7 个村镇之间的现有交通道路如下图，边旁数值为各村镇之间道路的长度，点旁数值为各村镇的小学生人数。现拟在某一村镇建一商店和小学，试问： （1）商店应该建在何村，能使各村都离它较近？ （2）小学应该建在何
34、村，能使各村小学生行走路程的总和最少？,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心,v1,v3,v4,v5,v6,v7,v2,7,4,6,4,3,5,7,1,2,3,2,4,2,30,40,45,35,25,20,50,距离,人数,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心 距离矩阵摹乘法求各点至各点的最短距离 网络的距离矩阵设一网络 N 中有n 个点，边（vi, vj ）表示两点 vi 与 vj 之间相邻，其权数为 wij , 表示 vi 至 vj
35、的距离，若 vi 与 vj 不相邻，则虚设一条边（vi, vj ），并令其权数wij = ，则有: 距离矩阵 W = （ wij ）,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心 距离矩阵摹乘法,v1,v3,v4,v5,v6,v7,v2,7,4,6,4,3,5,7,1,2,3,2,4,2,30,40,45,35,25,20,50,W =,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心 距离矩阵摹乘运算: 记矩阵 Dk = （d（k）ij）nn 当 k = 1
36、 时，令 D1 = （d（1）ij）nn = （wij）nn = W 定义 Dk = Dk-1 Dk-1 ， （k = ，1，2，p） 摹乘运算 其中 d（k）ij = min d（k-1）is + d（k-1）sj ，（i ，j = 1，2，n）,s,摹乘运算的含义：表示从各点走 2k-1 步达到各点的最短距离矩阵。而 D 即给出各点到各点的最短距离。若计算中出现 Dk = Dk-1 ，即可结束。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心 设 D = （dij）nn 为一网络各点间的最短距离矩阵。（ 1 ）网络的中心,
37、则称点 vk 为网络的中心。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心 前例,结论： 商店应该建在 v4 村（ v4 村是网络的中心）。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心（ 2 ）网络的重心设 gi 为点 vi 的权重（ i = 1, 2, , n ），,则称点 vr 为网络的重心。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,路与最短路问题 网络的中心、重心,结论： 小学应该建在 v5 村（ v5 村
38、是网络的重心）。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题最大流问题是一类应用极为广泛的问题，如运输网络中的人流、车流、物流，供水网络中的水流，金融系统中的现金流，通信系统中的信息流，等等。20 世纪 50 年代 Ford Fulkerson 建立的“ 网络流理论 ”，是网络应用的重要组成部分。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 概念容量网络 N=（V，E，R ），发点vs，收点vt 。 1、网络流对一容量网络N中的每一边（vi, vj ）都定
39、义了一个流量fij ，称集合 f = fij 为网络N上的一个流。 2、可行流满足容量限制条件和平衡条件的流。 3、网络总流量从发点vs 发出的净发出量 v（ f ）。 4、最大流使发点vs 发出的净发出量v（ f ）最大的流 f* 。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 概念 5、增广链前向弧都非饱和弧，后向弧都非零流弧。,vs,v1,v4,v2,v7,v9,vt,8,3,2,6,7,5,5,2,2,3,5,1,容量,流量,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（F
40、low）与最大流问题 概念 6、截（割）集,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 理论 1、流量截量定理容量网络上任何一个可行流的流量不超过任何一个截集的截量。 2、增广链调整定理在增广链上对可行流进行调整可以得到一个流量更大的可行流。 3、最大流定理可行流是最大流的充分必要条件是不存在关于该可行流的增广链。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 算法容量网络 N 上最大流的标号（Ford-Fulkerson）算法：,容量,流量,图与网络分析
41、Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 标号过程：,0，+,Vs ，2,Vs ，2,Vs ，4,0，+,V1 ，1,Vs ，2,V2 ，1,V1 ，1,调整量 = 1,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 调整过程：调整量 = 1,3,2,1,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 新的可行流如下图 对新的可行流重复标号过程找到增广链如下：,图与网络分析 Graph Theory and
42、 Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 继续调整过程：调整量 = 2,3,2,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 继续找到增广链如下：,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 继续调整过程：调整量 = 1,1,1,0,2,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 对下图中的流，采用标号过程继续找增广链：,0，+,0，+,Vs ，1,Vs ，3,V
43、s ，1,-V4 ，3,Vs ，3,-V4 ，3,当所有标号点都已经检查过，标号过程无法继续进行，而此时收点vt 仍未得到标号，则表明已不存在关于当前流的增广链，当前网络上的流即为最大流！最大流量v（f）= 3 + 3 + 1 = 7。,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题我们采用此算法来求解前面的旅行总社计划问题案例发点vs =成都，收点vt =北京。前面已订购机票情况表中的数字即是各边上的容量（允许通过的最大旅客量），当各边上的实际客流量为零时略去不写，以零流作为初始可行流。,图与网络分析 Graph Theory
44、 and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 算法,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,0，+,标号，但未检查,标号，且已检查,vs ，30,0+30,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 算法,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,30,0，+,vs ，10,vs ，15,vs ，12,vs ，10,vs ，8,vs ，15,0，+,v7 ，10,v7 ，8,vs ，12,0+10,0+10,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（
45、Flow）与最大流问题 算法,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,30,10,6,6,12,2,8,4,12,2,10,6,10,10,0,0,0,0,10,8,0,18,0,10,0,0，+,vs ，8,vs ，13,v2 ，4,vs ，13,-v2 ，4,v1 ，4,-v2 ，4,0+4,4-4,2+4,v1 ，4,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 算法,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,30,10,6,6,12,2,8,0,12,6,10,6,10,10,0,0,0,0,10,8,0,18,4,10
46、,0,vs ，8,vs ，9,v2 ，4,0，+,-v4 ，6,vs ，8,v1 ，6,-v4 ，6,4+6,6-6,0+6,vs ，9,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 算法,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,30,10,0,6,12,2,8,0,12,6,10,6,10,10,6,0,0,0,10,8,0,18,10,10,0,vs ，9,0，+,vs ，2,v2 ，4,vs ，9,v3 ，4,v2 ，4,v5 ，4,-v5 ，2,v3 ，4,-v5 ，2,v5 ，4,vs ，2,图与网络分析 Graph Theory and Network Analysis,网络流（Flow）与最大流问题 算法,重,武,昆,上,广,西,郑,沈,京,成,30,10,0,6,12,2,8,0,12,6,10,6,10,10,6,
