1、第一节 网络分析中常用名词,图 子图和生成子图 网络图 链、路、圈和回路 连通图 简单图,一、哥尼斯堡七桥问题与欧拉图,哥尼斯堡七桥问题 欧拉图与一笔画问题,一、图：无向图,有向图,二、子图与生成子图,三、网络图,各边赋予一定的物理量，例如距离，则叫做网络图。 所赋予的物理量叫做权。 权可以是：距离、时间、成本、容量等,四、链、路、圈、回路,初等链：顶点和边相互交替出现的点不重复序列。 路：在有向图中，方向和链的走向一致的链。 圈：起点和终点相同的链叫做圈。 回路：起点和终点相同的路叫做回路。,五、连通图和简单图,连通图：在图中，任意两点之间都有一条链相连，叫做连通图。否则是非连通图。 非连通
2、图可以由几个连通图构成。 环、多重边 简单图：没有环和多重边的图是简单图。,不连通图,第二节 最小生成树,什么是树？ 构造生成树的方法 最小生成树问题 寻找最小生成树的方法,一、什么是树？,树：不含圈的连通图 树的基本性质 任意两点之间有且只有一条链 若树有p个顶点，则共有q=p-1条边 若图是连通的，且q=p-1，则该图不含圈，因此是树 若图不含圈，且q=p-1，则该图联通，因此是树。,二、构造生成树的方法,破圈法 加边法,避圈法,三、最小生成树,最小生成树的定义 最小生成树的定理,最小生成树的数学模型,四、寻找最小生成树的方法,Kruskal方法 破圈法 矩阵计算法,Kruskal方法,矩
3、阵计算方法,T,矩阵计算方法,T,T,矩阵计算方法,T,T,T,矩阵计算方法,T,T,T,T,矩阵计算方法,T,T,T,T,T,矩阵计算方法,T,T,T,T,T,T,矩阵计算结果,第三节 最短路问题,什么是最短路问题？ 求解最短路问题的基本思路 Dijstra （荷兰人）算法：标号法 Ford（美国人）算法：修正标号法 寻找最短路径的方法：双标号,一、什么是最短路问题？,在连通图中，寻找一条从始点到终点的路，该路的权之和最小。,图4-8 最短路图例,二、求解最短路问题的基本思路,使用线性规划的解法，但不能利用最短路问题的特点，使解法更有效。 利用动态规划的思路，即对于在始点到终点的总体最短路径
4、上的任意一点，从始点到该点的最短路在总体最短路径上。 根据上述第二点，可以用标号法求解。,三、Dijkstra算法,对每个节点，用两种标号：T和P，表示从始点到该节电的距离，P是最短距离，T是目前路径的距离。 通过不断改进T值，当其最小时，将其改为P表好。 开始时，令始点有P=0，的P标号，其它节点有T=M。,图4-8的最短路1,图4-8的最短路2,图4-8的最短路3,图4-8的最短路4,图4-8的最短路5,图4-8的最短路6,四、Ford算法,Dijkstra算法不适用于负权网络 具有负权的网络，应当用Ford算法又叫修正标号法 修正标号法的特点是：不但最小T标号应当改为P标号，P标号也可以
5、修改，修改后的P标号再次改为T表好。,Ford算法算例,五、寻找最短路径的方法,使用双标号,第四节 最大流问题,网络流的基本概念 求解网络最大流的基本原理 寻找网络最大流的标号法 确定网络中最大流的方法,一、网络流的基本概念,流量与容量 可行流：节点和边的限制条件 饱和弧和非饱和弧 正向弧和反向弧 增广链：对于一可行流 ，网络的一条链满足,二、求解网络最大流的基本原理,数学模型,二、求解网络最大流的基本原理,给出一初始可行流，例如 。 寻找增广链，若存在，则通过该增广链调整、增加网络流。 若不存在增广链，则网络流不可再增加。求得最大流。 定理：可行流f为最大流的充分必要条件是当且仅当网络不存在
6、增广链。,三、寻找网络最大流的标号法,Ford-Fulkson标号算法，给每个节点以一对标号，第一个标号表示箭尾节点，第二个标号表示可调整量，若终点有了标号，则找到一条增广链。否则不存在增广链。 调整过程：在增广链上，正向弧加上调整量，反向弧减去调整量。经过调整网络流v(f)增加一个调整量：,P276 解：（一）标号过程： （1）给VS标上（0，+无穷大）， （2）检查VS，在弧（ VS， V2）上，fs2=cs2=3, 不满足标号条件。弧（ VS， V1）上，fs1=1,cs1=5,fs1cs1,例4-2：第一次迭代,第二次迭代,第三次迭代：最优解,四、确定网络中最大流的方法,最大流时始节点
7、的净流出量 最大流时中介点的净流入量 最小割集的容量 割集 割集容量 最小割集 最小割集最大流定理 标号法求得最小割集,一个简单的例子,再看例4-2,第五节 最小费用流问题,什么是最小费用流问题？ 求解最小费用流的赋权图法 求解最小费用流的复合标号法,一、什么是最小费用流,给定网络N=(V,A,c,b)和经过网络的流量v，求流在网络上的最佳分布，使总费用最小。,二、求解最小费用流的赋权图法,增广链费用，最小费用增广链。 对于最小费用可行流，沿最小费用增广链调整流，可使流增加，并保持流费用最小。 给定初始最小费用可行流，求最小费用增广链，若存在，则沿该增广链调整网络流，直到达到给定的网络流或不存
8、在增广链为止，后一种情况为最小费用最大流。 若给定网络流超过最大流，则不可能实现。,如何求最小费用增广链？,生成最小费用可行流的剩余网络： 将饱和弧反向 将非饱和非零流弧加一反向弧 零流弧不变 所有正向弧的权为该弧的费用，反向弧的权为该弧费用的相反数 剩余网络又叫长度网络，本教材叫做赋权图。 最小费用增广链对应剩余网络的最短路,最小费用流的实例,第一次剩余网络最短路,第一次调整网络流,第二次剩余网络最短路,第二次调整网络流,第三次剩余网络的最短路,第三次调整网络流,剩余网络已不存在最短路,已获最小费用最大流,最小费用最大流 若规定网络流为7，则第二次调整量应为2，而不是3。见图。 最小费用与网
9、络流的关系是凸的，即随着流的增加，单位流的费用在增加。请见下页的图。,三、求解最小费用流的复合标号法,将求最短路的标号法和求最大流的标号法相结合，即在求增广链的标号后加上一个距离标号，成为一组三标号，距离标号应采用修正标号法。并采用T标号和P标号的记法。 下面以前例为例来说明符合标号的应用。,第一次迭代,第二次迭代,第三次迭代,最后结果,提示思考,最短路问题、最大流问题可以看作最小费用流的特殊情况，请分析如何将最小费用流问题特化成最短路问题和最大流问题？ 运输问题和指派问题可以用最小费用流问题建模，请将它们化为最小费用流问题。,第六节 中国邮递员问题,哥尼斯堡七桥问题与欧拉图 中国邮递员问题
10、求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法 奇偶点图作业法的改进方法,二、中国邮递员问题,1962年，管梅谷先生提出 中国邮递员问题 若图中无奇点，欧拉圈即为所求 若图中有奇点，则奇点必为偶数，在奇点间加边（重复走），使其变为偶数而成欧拉图。 中国邮递员问题是要求所加边的权之和最小。,三、求解中国邮递员问题的奇偶点图作业法,在奇点间加边，构造初始可行方案。 寻找改进可行方案：在两奇点间检查所有链，若某链的长度小于已加重复边的长度，则在该链的每边加上重复边，去掉原重复边。 重复以上步骤，直到任意两奇点间加重复边的链是最短的为止。,求解中国邮递员问题：例子,例子的初始可行解,例子的修正解,四、奇偶点作业法的改进方法,奇偶点作业法的瓶颈是需检查太多的链 可以首先求出任意一对奇点之间的最短路，从中选出总路长最小的组合方案。 也可以由奇点构成偶图，求最小匹配得到最优解。,一个四奇点的例子,
