1、第十章 图与网络优化,主要内容: 图论的基本概念 最小支撑树问题 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题,一、基本概念与定理,1、容量网络与流,定义 给定一个有向图D=（V，A），在V中指定一个发点vs，和一个收点vt，其余点称中间点。对任意弧(vi，vj)A，有权Cij0，称为弧的容量。称D为一个容量网络。记为：D=（V，A，C）。,如(a)图是一个容量网络,弧旁数字：容量,第四节 网络最大流问题,网络D中的任一条弧(vi,vj)的流量记为f(vi,vj)，(简记fij)，显然， fijCij；一系列流量的集合f=f(vi,vj)构成网络D上的流（运输方案）。,弧旁数字：流量,例 连接某
2、产品产地v1和销地v6的交通网如下：,弧（vi，vj）：从vi到vj的运输路线， 弧旁数字：这条运输路线的最大通过能力。,第四节 网络最大流问题,目标：制定一个运输方案，使从v1到v6的产品运量最大。,2、可行流与最大流,满足下述条件的流 f 称为可行流:,1)容量限制条件: 对每一弧(vi,vj)A0fijCij,2)平衡条件: 对中间点vj(js,t),有,V(f)称为可行流 f 的流量,即发点的净输出量。,对发点,对收点,0,0,如(b)图是网络上的一 个可行流（运输方案）,弧旁数字：流量,可行流总是存在的，例如所有弧的流量fij=0零流。 所谓最大流问题就是寻找流量最大的可行流。,3、
3、增广链,对可行流f=fij的弧有,非饱和弧：0fijCij,饱和弧：fij=Cij,非零流弧：0fij Cij,零流弧：fij=0,链的方向：若是联结vs和vt的一条链，定义链的方向是从vs到vt。,前向弧：与链的方向一致的弧。前向弧全体记为+。,后向弧：与链的方向相反的弧。后向弧全体记为-。,=(v1,v2,v3,v4,v5,v6),+=(v1,v2) ,(v2,v3), (v3 , v4),(v5,v6),- =(v5,v4),定义3 设f是一个可行流, 是从vs到vt的一条链,若满 足下列条件,称之为(关于可行流f的)一条增广链。,(vi,vj) - 0 fij Cij,(vi,vj)
4、+ 0fijCij,前向弧是 非饱和弧， 后向弧 是非零流弧，,4、截集与截量,1=(v4,v5,v6),截集为红色弧集；由图可见，截集不是唯一的。每个截集相当于从发点vs到收点vt的必经之路，去掉截集所有的弧，就不存在从发点vs到收点vt的路。,C （V1，V1）=5+3+5+6=19,不难证明，任何一个可行流的流量V(f)都不会超过任一截集的容量。即,定理1 最大流最小截定理。任一个网络D中，从vs到vt的最大流的流量等于分离vs，vt的最小截集的容量。,最小截集的容量是网络中的瓶颈容量。,1 、从一个可行流f开始，寻找关于f的增广链； 2、如果不存在关于f的增广链，可行流f就是最大流f*
5、； 3、如果存在关于f的增广链，则以适当的调整量对 可行流f进行调整，得到一个流量更大的可行流，不断 重复调整过程，直到不再存在增广链时，就得到了最大流。,由定理2可得到寻找最大流的方法：,定理2 可行流f*是最大流 不存在关于f*的增广链。,二、寻求最大流的标号法,从任一个可行流f出发，若网络中没有给定f，则从零流开始。 （一）标号过程。通过标号来寻找增广链。,每个标号点vj的标号包含两部分(vi，l(vj) ： 第一个标号vi表示标号点的前一点，以便找出增广链； 第二个标号l(vj)是为了确定增广链的调整量用的。,标号过程首先给vs标号（0，+），此时vs是未检查 的标号点，其余各点都是未
6、标号点。取一个未检查的标号点vi进行检查，给与vi相邻的 所有未标号点vj标号： （1）如果在前向弧（vi，vj）上，有fij0，则给vj标号（-vi，l(vj)）。其中l(vj)=minl(vi)，fji，此时新标号点vj成为未检查的标号点。 至此，点vi成为已检查过的标号点。重复标号过程，一旦 vt被标号，即得到一条从vs到vt的增广链，转入调整过程。,（二）调整过程。找出增广链，并沿增广链调整流量 。,（1）找增广链：从vt开始，反向追踪，找出增广链，,如vt的第一个标号为k（或-k），则得到前向弧（vk，vt）或后向弧（vt，vk)。检查vk的第一个标号，若为i（或-i），又得到前向弧
7、(vi,vk) 或后向弧(vk,vi) 。再检查vi的第一个标号,依此找下去,直到vs。被找出的弧构成了增广链。,（2）调整流量,令调整量= l(vt)，沿增广链构造新的可行流f ，,去掉所有的标号，对新的可行流f =f ij，重新进行 标号。重复标号过程和调整过程，直到标号过程进行不下去 且vt未获得标号为止，说明当前可行流不存在增广链，即 得到了最大的可行流。,例 用标号法求下图网络的最大流。弧旁的数字是（Cij,fij)。,解：（一）标号过程,（1）给vs标号（0，）；,（2）检查vs，在vs的前向弧（vs，v1）上，fs1=1，Cs1=5， fs1Cs1, 给v1标号(s, l(v1)
8、, 其中,（0，）,未检查的标号点为vs。,（s，4）,继续检查vs，在vs的前向弧（vs，v2）上， fs2=Cs2=3, 不满足标号条件。此时，未检查的标号点为v1,（3）检查v1，在v1的后向弧（v2，v1）上，f210， 给v2标 号(-1, l(v2), 这里,继续检查v1，在v1的前向弧（v1，v3）上，f13=C13=2，不满足标号条件。此时，未检查的标号点为v2,（-1，1）,（4）检查v2，在v2的后向弧（v3，v2）上，f32=10， 给 v3标号 (-2, l(v3), 这里,（-2，1）,（2，1）,继续检查v2，在v2的前向弧（v2，v4）上，f24C24， 给 v4
9、标号 (2, l(v4), 这里,此时，未检查的标号点为v3和v4，在v3和v4中可任 选一点进行检查，不妨检查v3。,（-2，1）,（5）检查v3，在v3的前向弧（v3，vt）上，f3t=1， C3t=2，f3tC3t， 给vt标号 (3, l(vt), 这里,至此，vt得到标号，转入调整过程。,（3，1）,（2，1）,（二）调整过程:,从vt开始逆向追踪，找到增广链。,（vs,v1,v2,v3,vt）= l(vt)=1，,在上进行流量=1的调整，,得可行流f 如右图所示：,去掉各点标号，从vs开始，重新标号。,点v1：标号过程无法进行，所以f 即为最大流。,vs的净输出量=最大流量V（f
10、）=3+2=5=vt的净输入量 与此同时，可找到最小截集（V1,V1）,截集：（V1，V1）=（vs，v2），（v1，v3） 最大流量 V（f ）=最小截量C（V1，V1）=5,标号点集V1=(vs,v1) 未标号点集V1=(v2,v3,v4,vt),第五节 最小费用最大流问题,网络D=（V，A，C）,每一弧（vi，vj）A，给出（vi，vj）上单位流量的费用b(vi，vj)0，（简记bij）。,一、求解原理,设对可行流 f 存在增广链 ，当沿 以=1调整f，得新的可行流 f 时，(显然 V(f )=V(f )+1)，两流的费用之差,b( f) - b( f ) =？,为增广链 的费用。,b(
11、 f ) -b( f ),例：,.,vs,v1,v2,v3,v4,v5,vt,3,5,4,1,7,6,增广链 的费用=(3+4+1+6)-(5+7)=2,不同的增广链的费用是不同的,求最小费用最大流的原理：,在网络D中，若f 是流量为V(f )的费用最小的可行流,而 是关于f 的所有增广链中费用最小的增广链,则沿费用最小的增广链 以去调整 f ,得到新可行流 f ，f 就是流量为V(f )+ 的费用最小的可行流。当 f 是最大流时， f 就是流量最大的最小费用流，即最小费用最大流。由于单位流量的费用bij0，所以流量=0的可行流f必是费用最小的可行流，这样剩下的问题就是去寻找关于f的费用最小的
12、增广链。为此，需要根据网络D构造一个赋权有向图W( f )。,构造赋权有向图W( f )方法如下：它的顶点就是网络D的顶点,W(f )中弧及其权wij 按弧（vi，vj）在D中的情形分为：,则构造同向弧（vi，vj）,且wij= bij,则构造反向弧（ vj ， vi ）,且wji= - bij,若弧（vi，vj）的最小费用流量fij=0(零流弧）,若弧(vi，vj ）的最小费用流量fij=cij(饱和弧),费用,若弧（vi，vj）的最小费用流量0fijcij (非饱和弧),则同时构造同向弧（vi，vj），且wij= bij,及反向弧 ( vj ， vi)，且wji= - bij,赋权有向图W
13、（f ）的权是单位流量的费用，故W（f ）成为流f 的费用网络图。,如果把费用理解为长度，可知这实际是一个在赋权有向图W（f ）中求最短路的问题。,寻求关于费用最小的可行流f 的费用最小的增广链，等价于在赋权有向图W（f ）中寻求从vs到vt的一个最小费用链。,二、最小费用最大流算法,第2步：构造赋权有向图W（f k）；,第3步：在W（f k）中，寻找vs到vt的最短路。（1）若不存在最短路（即最短路路长是），则f k 就是最小费用最大流；（2）若存在最短路，则此最短路即为原网络D中相应的最小费用增广链，转入第4步。,第4步：在增广链上对可行流f k 进行调整，调整量 为, = min,令,得
14、新的可行流f k+1 , 令k=k+1，返回第2步。,例 求下图所示网络的最小费用最大流。弧旁数字为（bij，cij）。,解：（1）取初始 可行流f 0 = 0；,（2）按算法要求构造 长度网络W（f 0 ），,求出从vs到vt的最短路。,（3）在原网络D中，与这条最短路对应的增广链为 =（vs，v2，v1，vt）。,（3）在原网络D中，与这条最短路对应的增广链为 :,（4）在上进行调整， = 5，得f 1 ，如图（b）所示。, =（vs，v2，v1，vt）,(b) f 1,按照上述算法依次得f 1 ，f 2 ，f 3 ，f 4 ，流量依次为V(f 1)=5，V(f 2)=7，V(f 3)=10，V( f 4)=11， 构造相应的增量网络为W(f 1)，W(f 2)，W(f 3)，W( f 4), 如图(a), (e), (g), (i)所示。,V(f 1 ) =,5,图（i）中，不存在从vs到vt的最短路，所以f 4为最小费用最大流。,
