1、图与网络建模,什么是图?,图G=G(V,E)，由顶点和边组成，V是一个非空的有限集，称为顶点集，E是边集，E中的任意元素 e=uv (其中u，vV)称为连接顶点 uv 的边。,图的基本概念,环与重边；有限图与简单图关联与相邻；顶点的度邻接矩阵与关联矩阵子图、生成子图路、圈；距离；连通图、连通分支；完全图、正则图、树、二部图、完全二部图、平面图有向图；,几个简单的定理,定理1：图G的所有顶点的度数和等于边数的2倍。推论：任何图中，奇度点的个数为偶数。定理2：一个图是二部图当且仅当它不包含奇圈。定理3：若最小度(G)2，则G一定包含圈。,最短路问题,城市公路网络四通八达，如何选择行车路线，使得从A
2、地到B地行车路程最短？某跨国公司在世界各地都有分公司，如何确定任意两个分公司之间最廉价的航空路线？,最短路问题,2008年1月底，我国南方出现极端冰雪天气。大量电塔倒塌，输电线路中断。有的城市甚至成为输电孤岛，全城一片黑暗。要恢复供电，这既是一个时间问题，同时也是一个资金问题。城市间供电网络的通讯线路建造费用和时间不同，如何一条费用最少的输电路线？在不考虑资金的情况下，如何确定一条最快的输电路线？,赋权图,对图G的每一条边e，可赋以一个实数w(e)，称为e的权。图G连同它边上的权称为赋权图。确定一个赋权图的任意两顶点u和v之间的一条具有最小权和的路。Dijkstra算法能确定从一固定点u0到其
3、它各点的最短路。(适用于权为非负值),Dijkstra算法的步骤 设|V(G)|=n, 若u,v不相邻，取w(uv)=,Step1: 令,Step2:,Step3:,设ui+1是使l(v)取最小值的V-Si中的顶点,令,i=n-1时，停止；若in-1, i=i+1, 转Step2,选址问题,所选地址到最远服务对象的距离最小 如：紧急情况的安全出口的位置、居民区的便利超市的位置所选地址到各服务对象的距离总和最小 如：小区变电站的位置、仓库的位置、产品的售后服务站的位置,设备更新问题,企业使用某种设备，每年要决定是继续使用(支付维修费用)，还是购置新设备(支付购置费)。每年的维修费用和购置费用不同
4、。如何制定一个五年内的设备更新计划，使得总的支付费用最小。,树无圈的连通图,六个顶点的不同构的树两个特殊的树路(Pn)和星(Sn),树的一些性质,在一棵树中，任意两个顶点均由唯一的路连接。若T是一棵树，则|E(T)|=|V(T)|-1.每一棵非平凡的树至少有两个1度顶点。,生成树,图G的生成树是指G的生成子图，它同时又是树。每个连通图都包含生成树。,Cayley公式,用(G)表示G的生成树的个数。标号的n个顶点的完全图的生成树共有nn-2个。即,e是连通图G中的一条边，则,求生成树的算法,深度优先搜索法广度优先搜索法,最小生成树,在赋权连通图中，总权重最小的树称为最小生成树。连线问题：建造一个
5、连接若干城镇的铁路网络。已知城镇vi和vj之间直通铁路的造价为cij，设计一个总造价最小的铁路网络。具有约束的连线问题：用最小费用建造一个连接若干城市的铁路网络，同时要求某些选定的城市对是直接连接的。,Kruskal算法,1、选择边e1，使得w(e1)尽可能小。2、若已选定边e1,e2,ei，则从Ee1,e2,ei中选取ei+1，使 （1）Ge1, e2, ei+1是无圈图； （2）w(ei+1)是满足（1）的尽可能小 的权。3、当2不能继续时停止。,其它算法,删边法G=(V,E)是赋权图，在保证G连通的情况下删掉G中权最大的边，直到获得G的生成树。破圈法在赋权图G中任取一个圈，删去其中权最大
6、的边，直至G中没有圈。贪婪算法,数据压缩问题,在计算机或通信领域，常用二进制编码来表示字符。由于各个字符的使用频率不同，为了节省存储空间和数据传输量。若字符出现的频率较高，则用较短的二进制编码表示；若字符出现的频率较低，则用较长的二进制编码表示。最优二叉树算法(Huffman),最优二叉树检索,根树 父结点与子结点；层数；二叉树；完全二叉树；赋权二叉树；最优二叉树前缀码与Huffman编码,Huffman算法,给定实数w1,w2,wt 且w1w2 wt1 连接w1,w2 为权的两片叶子，得一分支点，其权为w1+w2 。2 在w1+w2,wt 中选出两个最小的权，连接它们对应的顶点，得分支点及所
7、带的权。3 重复2直到形成t-1个分支点，t片叶子。,七桥问题,近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题穿过Knigsberg城的七座桥，要求每座桥通过一次且仅通过一次。Euler 1736年证明了不可能存在这样的路线。,Knigsberg桥对应的图,A,A,C,D,B,B,D,C,Euler 定理,图G的Euler环游是指经过G的每条边恰好一次的环游。Euler 定理：任意的非空连通图G，G中存在一条Euler环游， 当且仅当它没有奇度点。七桥问题对应的图的四个顶点全是奇度点，显然不存在Euler 环游。,中国邮递员问题,1962年中国组合数学家管梅谷教授提出了著名的“中国邮递员问题”。一个
8、邮递员从邮局出发，递送邮件，他必须要走过他所管辖的每一条街道至少一次，然后返回邮局。那么如何选择一条尽可能短的路线。,中国邮递员问题,中国邮递员问题就是在边赋权图G中找出一条权重最小的环游。称为最优环游。若G是Euler图，则G的任何Euler环游都是最优环游。在Euler图中确定Euler环游的好算法Fleury算法。,Fleury算法,1、任意选取一个顶点v0，置W0=v0。2、假设迹Wi=v0e1v1eivi 已经选定，那么按下述方法从Ee1,e2,ei中选取边ei+1 （1） ei+1和vi相关联； （2）除非没有别的边可选择，否则ei+1不是Gi=Ge1,e2,ei的割边。3、当第2
9、步不能再执行时算法停止。,中国邮递员问题,若G不是Euler图，则G的最优环游将通过某些边超过一次。这个问题可以转化为：给定一个具有非负权的赋权图G， （1）用添加重复边的方法求G的一个Euler赋权母图G*，使得 尽可能小。 （2）求G*的Euler 环游。 1973年，J. Edmonds和Johnson 给出求解（1）的一个好的算法。,中国邮递员问题,特殊地假设G恰有两个奇度点u和v，G*是用添加重复边的方法得到的G的Euler生成母图。在G中找一条具有最小权的(u,v) 路，重复这条路上的每一条边，得到G*。,Hamilton圈和货郎担问题,图G的Hamilton圈是指包含G的每一个顶
10、点的圈。一个货郎要去若干城镇卖货，然后回到出发地，给定各城镇之间所需的旅行时间后，应怎样计划他的路线，使他能去每个城镇恰好一次而且总时间最短？在一个赋权完全图中，找出一个具有最小权的Hamilton 圈。,货郎担问题,这个问题目前还没有有效的算法NPC问题求近似解邻近点算法；最小生成树算法。,邻近点近似算法,1、任选一顶点v1V，置P1=v1,i=12、假设Pi=v1v2vi 已选定， 选取 vi+1V v1,v2,vi 满足 权w(vi vi+1)最小。3、若i=n, 停止，C=Pn+vnv1即所求；否则 i= i +1， 转2。,有向图,有向图D=(V,A)，从u连接到v的弧a，称u是a的
11、尾，v是a的头。基础图、定向图、有向路、有向圈双向连通、弱连通入度、出度,竞赛图,完全图的定向图称为竞赛图。D的有向Hamilton路是指包含D的每个顶点的有向路。每个竞赛图都有有向Hamilton路。存在一个在竞赛图中求有向Hamilton路的好的算法。,支付工钱问题,假设一名出版业者有n本不同的书需要印刷装订。他有一台印刷机自己印刷，但需要雇佣工人装订。一本书必须在装订之前印刷，装订工人的工钱是从装订机第一次启动到所有装订完毕，按时间计算。那么这些书以什么样的顺序装订，可以使支付个装订工人的工钱最少？,支付工钱问题,设印刷第k本书需要的时间为pk，装订第k本书需要的时间为bk，现在要寻找一
12、个书的排列顺序，使得如果书以这样的顺序印刷和装订，在第一本书印刷完成之后装订机保持忙碌而没有空闲时间。构造有向图D=(V,A)，V=1,2,n，从顶点i到顶点j有弧当且仅当bipj，这个图是一个竞赛图，存在一条有向Hamilton路。即为印刷顺序。,工件排序问题,设某台机器必须加工多种工件J1,J2,Jn；在一种工件加工完毕之后，为了加工下一种工件，机器必须进行调整。如果从工件Ji到工件Jj的调整时间为tij ，求这些工件的一个排序，使得整个机器的调整时间最少。构作具有顶点v1,v2,vn有向图D，使得(vi,vj) A当且仅当tij tji 。则D包含一个生成竞赛图。求D的一个有向Hamil
13、ton路。,其它问题,单行路系统的构造：给定一个道路系统，怎样把它改成单行道路系统，而使交通尽可能畅通？图的定向使其双向连通竞赛参加者的名次的排列：一场网球循环赛中，若干选手两两相互竞赛，得出比赛成绩后，应该怎样排参加者的名次？T.H. Wei 和 M.G. Kendall曾给出一个排名方法,网络流问题,随着中国经济快速的增长，物流业逐渐成为要大力发展的新兴服务产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品输送量最大。这就是一个网络最大流问题。,网络,网络N=(D,A,c)、收点y、发点x、中间点I容量函数c(a)网络N中的流是指定义在A上的一个整数值函数f，使得(1)容量约束 0f(a)c
14、(a)，对所有aA成立(2)守恒条件 f-(v)=f+(v)，对所有vI成立从x点流出的总流量等于y点流进的总流量，定义为流值。最大流就是流值最大的流。最大流最小割定理：在任何网络中，最大流的值等于最小割的容量。,Ford-Fulkerson 最大流标号算法,1 给x标号(0, ), x成为标号未检查点,2 取标号而未检查的点vi, 对一切未标号点vj,此时vj成为标号未检查点, vi成为标号已检查点,重复上述步骤, 若y被标号转到3 。 否则停止。,3 找到x到y的一条路, 对路上顺向弧,逆向弧, 转到1,匹配,图G=(V,E)，设M是E的子集，并且M中的任意两条边在G中均不相邻，则称M为G
15、的匹配。若匹配M的某条边与顶点v关联，则称M饱和顶点v，并且称v是M饱和的，否则称v是M非饱和的。若G的每一个顶点均为M饱和的，则称M为G的完美匹配。,匹配,最大匹配：若G中没有另外的匹配M，使得|M|M|，则称M为G的最大匹配。每个完美匹配都是最大匹配。M交错路：边在EM和M中交错出现的路M可扩路：起点和终点都是M非饱和的M交错路。G的匹配M是最大匹配当且仅当G不含M可扩路。,Hall定理,设S为图G的任一顶点集，将与S中的顶点相邻的所有顶点的集合称为S的邻集，记为NG(S)。Hall定理：设二部图G=(X,Y)，则G中存在饱和X的每个顶点的匹配，当且仅当|N(S)| |S|，对所有X子集S
16、成立。推论(婚姻定理)：若G是k正则二部图(k 1)，则G有完美匹配。,婚姻问题,如果一个村子里每一个女孩都恰好认识k个男孩，并且每一个男孩也恰好认识k个女孩，那么每一个女孩都可以嫁给她认识的一个男孩，并且每一个男孩都可以娶一个他认识的女孩。,稳定的婚姻问题,但这样的安排方法不一定是最好的。假如能找到两对夫妇（如A男-a女和B男-b女），如果彼此都更喜欢对方的配偶， A男更喜欢b女 ，而b女也更喜欢A男，那么这样婚姻有潜在的不稳定性。用图论匹配理论中Gale-Shapley算法，可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现。,稳定的婚姻问题,一个实际的用途：美国的医院在确定录取住院
17、医生时，他们将考虑申请者的志愿的先后次序，同时也给申请者排序。按这样的次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。实际上，高考学生的最后录取方案也可以用这种方法。,人员分配问题,某公司准备分派n个工人X1,X2,Xn做n件工作Y1,Y2,Yn，已知这些工人中每个人都能胜任一件或几件工作。试问能不能把所有的工人都分派作一件他所胜任的工作？构作二部图G=(X,Y)，X=x1,x2,xn，Y=y1,y2,yn，并且xi与yj相连当且仅当工人Xi胜任工作Yj 。问题转化为G是否存在完美匹配的问题。,匈牙利算法,基本思想：从G的任一匹配M开始，若M饱和X中的每个顶点，则M就是所需要的匹配。
18、否则在X中选择一个M非饱和顶点u，并且系统地寻找以u为起点的M可扩路P(寻找方法略)。若P存在，则M=ME(P) 是比M更大的匹配，以M代替M重复进行。若P不存在，则由Hall定理，G没有完美匹配。,最优分配问题,在人员分配问题中，还可以把工人们对各种工作的效率考虑进去（或者是公司的收益），以便使工人们的总效率达到最大。构作赋权二部图G=(X,Y)，X=x1,x2,xn，Y=y1,y2,yn，边xiyj有权wij表示工人Xi做工作Yj 时的效率。在赋权图中寻找权最大的完美匹配。Kuhn-Munkres算法,疾病预防问题,为预防某种传染病的爆发，制定一项应急处理预案。安排全市居民到卫生站或医院注
19、射预防疫苗。若每个居民可以去居住地附近5公里内的任一接种点进行接种，而每个接种点在某一时间内的接待能力是有限的。试给出一个居民和接种点之间的分配方案，使得更多的人能在第一时间进行疫苗接种。,匹配问题的推广,在城市道路交通系统中，有一些关键的路口处安装有摄像头，以便及时捕捉到交通违法者的信息或跟踪逃犯。如何设置摄像头的位置，使得若城市中某一点处发生违法案件，则肇事者向任意方向逃窜后，不超过k个路口即可被摄像头捕捉到。k=1时，即完美匹配问题。,边着色,一个无环图的k边着色是指将k种颜色分配给G的各边，若没有相邻的两条边着相同颜色，则称这个k边着色是正常的。图G一个正常的k边着色中的每一种颜色包含
20、的边都是G的一个匹配。,顶点着色,一个图G的k顶点着色是指将k种颜色分配给G的各顶点；若没有相邻的两条顶点着相同颜色，则称这个k顶点着色是正常的。G的色数(G)是G的最小正常着色数。Brooks定理：若G是连通的简单图，并且它既不是奇圈，又不是完全图，则G的色数。,储藏问题,一家公司制造 n 种化学制品X1,X2,Xn，其中某些制品是互不相容的，如果它们相互接触，则会发生化学反应。作为一种预防措施，该公司希望把仓库分成间隔，以便把互不相容的化学制品贮存在不同的间隔里。试问：这个仓库至少应该分成几个间隔？,储藏问题,构作图G，V(G)=x1,x2,xn，xi与xj相连当且仅当化学制品Xi和Xj
21、互不相容。问题相当于求图G的一个顶点正常着色。仓库的最小间隔数等于G的色数。求一个图的色数的问题是NP完备的。基于逻辑的一种算法计算量大求任一图的一种正常着色的方法Welch-Powell算法,博物馆的保安问题,假设一个博物馆的管理者想确保博物馆中的任何一个角落，在任何时间都能被监控到。如果保安的位置是固定的(如摄像头)，但他们可以转动，那么需要多少个保安？,网络的可靠性参数,割点和割边；(G)表示连通分支的个数,连通度,坚韧度,m(G)表示G的最大连通分支的阶数,以点连通性为例，令,完整度,最短网络问题,一个通讯网络怎样布局稳定性最好，而且费用最节省？美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流
22、的组合数学家在研究这个问题，这个问题直接关系到巨大的经济利益。,最短网络问题,如何用最短的线路将三部电话连起来？此问题可抽象为设ABC为等边三角形，连接三顶点的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线者显然是二边之和（如ABAC）。,A,B,C,最短网络问题,但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最短路线为PAPBPC。最短新路径之长N比原来只连三点的最短路径O要短。这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性也更好。,A,B,C,P,斯坦纳最小树,斯坦纳（Steiner）最小树是可以在给定的点之外再增加若干个点(称为斯坦纳点)，然后将所有这些点连起来。如果不允许增加任何额外
23、的点作为网络的顶点，这种最短网络称为最小生成树。在前面的例子中Steiner最小树的长为 而最小生成树的长为2。,1967年前,贝尔公司按照连结各分部的最小生成树的长度来收费。1967年一家航空公司戳了贝尔公司一个大洞。当时这家企业申请要求贝尔公司增加一些服务点，而这些服务点恰恰位于构造该公司各分部的斯坦纳最小树需增加的斯坦纳顶点上。这使得贝尔公司不仅要拉新线，增加服务网点，而且还要减少收费。这一意外事件迫使贝尔公司自此以后便采用了斯坦纳最小树原则 。,一个富有戏剧性的事件,平面图与四色猜想,五色定理：每一个平面图都是5顶点可着色的。一个著名的世界难题“四色猜想” ：一张地图，用一种颜色对一个
24、地区着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。,四色问题,1852年，刚从伦敦大学毕业的 Francis Guthrie提出了四色猜想。1878年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答。此后数学家 Heawood 花费了毕生的精力致力于四色研究，于1890年证明了五色定理。直到1976年，美国数学家Appel与 Haken，在3台不同的电子计算机上，用了1200小时，才终于完成了“四色猜想”的证明，从而使四色猜想成为了四色定理。,想认识刘翔吗？,1950年， Pool 和 Kochen提出这样一个问题：“两个毫无关系的人，要让他们互相认识，至少要经过多少人？”美国哈佛
25、大学社会心理学家Milgram在1967年做过一项有趣的实验，据说他从内布拉斯加州的奥马哈随机选了300人，然后请他们每个人尝试寄一封信到波士顿的一位证券业务员。寄信的规则很简单，就是任何收信者只能把信寄给自己熟识的人。,这个世界太小了！,“6度分离” 对每个人来说，平均大约只需要通过个人就能将信寄到目的地。这样的网络被称为无尺度网络，可用来研究如何防备黑客攻击、防治流行病、和开发新药等。在1999年，Barabasi et al.发现在因特网上，任意两个网页间的链接最多为19次。(Nature 401, 1999),无尺度网络的一个例子,因特网是一个无尺度网络，左图的星爆形结构描绘了从某一测
26、试站点到其他约十万个站点的最短连结路径。图中以相同的颜色来表示相类似的站点。,网络搜索的关键技术是组合方法，使得在很短的时间内利用关键词找到相关的网页。利用组合方法可以建立强大的索引系统。PageRank 算法。,Google 的传奇,生物数学,目前，计算生物学、基因理论、生物信息学都是最前沿的研究领域。随着人类基因组计划的完成和其他基因计划的完成，所有公认的和潜在的蛋白质元都可以被确定，通过大规模的实验技术，可以生成大量的生物学数据。,生物数学,如何处理这些数据来获得生物学的信息，这里组合数学和随机图论都起到了关键的作用。如果将基因看作网络中的顶点，将他们之间的作用看作网络中的边，那么每一次大规模实验将给我们带来关于基因交互作用网络的一些信息。这个网络的拓扑性质是科学家们关心的焦点（如每一个顶点的度和网络中的最小距离问题是两个初步的问题）。,
