特征向量

1、矩阵特征值与特征向量的研究2目录一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义 .3二、特征值与特征向量的定义及其性质 .42.1 定义 .42.2 性质 4三 特征值及其特征向量的求法及其 MATLAB 的实现 .53.1 QR 方法 .53.1.1 基本原理 53.1.2 具体实例 53.2 用多项式的方法来求解特征值 .10四 特征值与特征向量的简单应用 .12五 小结 163一 矩阵特征值与特征向量研究的背景及意义矩阵的特征值与特征向量是高等代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，将特征值与特征向量应用于方程组的求。

2、实验六 特征值与特征向量一实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程 xk+1 = Axk 所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力二问题描述1.当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数 p 是 0.125 时，是确定该动态系统的演化（给出 Xk 的计算公式） 。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例如出生率或者捕食率）有轻微变动，系统会如何变化？2.在美国的黄杉森林。

3、第7章 矩阵的特征值和特征向量,很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。,特征值：,的根 为矩阵A的特征值,特征向量：满足,的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量,称为矩阵A的特征多项式,是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根,来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要,求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，,从而求。

4、第 1 页 共 11 页内积的特征向量与分解摘 要对任意两向量 W 和 X 的内积 w X= wixi，存在着两个与 W 和 X 共面的特征向量 1和 2，它 们的平方 和 恰等于 w 和 X 的内积 = =W X= wixi。反过来，对任一大于或等于零的常数 ( 0)，2 1 2 2 2 1 2 2至少存在一对(二维)向量 W (w1，w2)和 X(xl，x2)，使得 = wixi=WX。关键词：向量；内积；内积特征向量；常数的内积分解第 2 页 共 11 页Inner product feature vector and the decomposition AbstractFor any two vector W and X product W X = wixi, the existence of two and W and X coplanar 。

5、机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,矩 阵 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 特征值和特征向量,一、方阵的特征值和特征向量,二、线性变换的特征值和特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、定义,假设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 和非零向量 X，使得,AX= X,称 是矩阵 A 的一个特征值， X 是对应于 的一个特征向量。,一、方阵的特征值和特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,AX = X,非零向量,特征向量,特征值,n阶方阵,对应于特征值 的特征向量不唯一。,注：,2、求法,AX = X,(EA)X = 0,|EA| = 0,特征方程,特征多。

6、数学实验报告学 院： 班 级： 学 号： 姓 名： 完成日期： 实验六 矩阵的特征值与特征向量问题一一实验目的1.掌握特征值、特征向量、特征方程、矩阵的对角化等概念和理论；2.掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法；3.理解由差分方程 xk+1 = Axk 所描述的动力系统的长期行为或演化；4.提高对离散动力系统的理解与分析能力.二问题描述当捕食者-被捕食者问题中的捕食参数 p 是 0.125 时，是确定该动态系统的演化（给出 Xk 的计算公式） 。猫头鹰和森林树的数量随着时间如何变化?该系统去向一种被称为不稳定平衡的状态。如果该系统的某个方面（例。

7、2019/3/14,集美大学理学院,1,第4章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 矩阵的特征值和特征向量 4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,2019/3/14,集美大学理学院,2,1. 特征值与特征向量定义,2. 相关概念,4.特征值与特征向量求法,3.两个有用公式,(特征方程根与系数的关系),5.特征值与特征向量的性质,4.1 矩阵的特征值和特征向量,2019/3/14,集美大学理学院,3,1. 特征值与特征向量定义,例：设,即,2019/3/14,集美大学理学院,4,2、相关概念(定义4.2),称,因为 即n元齐次线性方程组 有非零解，,等价于,2019/3/14,集美大学。

8、2019/2/27,1,5.1 矩阵的特征值和特征向量,2019/2/27,2,5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 设A为数域F上的n阶矩阵, 如果存在数lF和非零的n维列向量X, 使得 AX=lX 就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量. 注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言 的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.,2019/2/27,3,AX=lX,根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次线性方程组 (lI-A)X=0有非零解的l值. 即满足方程det(lI-A)=0 即 的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI-A)的根.,2019/2/27,4,AX=lX, det(lI-A)=0 (5。

9、4.1 矩阵的特征值与特征向量,矩阵的特征值 特征值与特征向量的性质,第四章 矩阵的特征值,说明,一、矩阵的特征值,说明,说明,求矩阵A的特征值及特征向量问题就转化为求解多项式方程以及齐次线性方程组的通解问题.,解,例,解,得基础解系为,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则,证明,例 证明：若 是矩阵A的特征值， 是A的属于的特征向量，则,证明,例 设矩阵 A 为对合矩阵(即 A2 = I), 且 A 的特征值都是 1 , 证明 : A = I .,由于 A 的特征值都是 1 , 这说明 -1 不是 A 的特征值,例,试证,证：必要性,如果 A 是奇异矩阵，则 |。

10、I摘 要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行。

11、第五章 矩阵的特征值和特征向量来源：线性代数精品课程组 作者：线性代数精品课程组1教学目的和要求：(1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量.(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件，会将矩阵化为相似对角矩阵.(3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质.2教学重点：(1) 会求矩阵的特征值与特征向量.(2) 会将矩阵化为相似对角矩阵.3教学难点：将矩阵化为相似对角矩阵.4教学内容：本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念，在此基础上讨论矩阵的对角化问题.1 矩阵。

12、2.5特征值与特征向量,邵阀缓茅点嘛滓碍桔勾冈枝赂捕苑桃株阮殴韦贵堑川闪迷照汝勃尸去负饿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,复习回顾,1矩阵 的行列式为 , 若有 则矩阵 存在逆矩阵.,左拥毡签汛卓骤峙茹湍及园脱肚输宣锑共啡揽震倘秀吊洞列烹琼变萌俺垃苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,3.逆矩阵的求解,复习回顾,浚苫蔫赋记撂挛劲亢顾唤丽橙锻札艰雷标绸壳胺脯井居就卞贮穴卿釜儒嚎苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,5.设线性方程组为,复习回顾,脆彬伦找宇沥唇霹槽此兆纤往仿驶谢煮扳次抽乓循澎谆泛。

13、/数值计算程序-特征值和特征向量 / /约化对称矩阵为三对角对称矩阵 /利用 Householder 变换将 n 阶实对称矩阵约化为对称三对角矩阵 /a-长度为 n*n 的数组，存放 n 阶实对称矩阵 /n-矩阵的阶数 /q-长度为 n*n 的数组，返回时存放 Householder 变换矩阵 /b-长度为 n 的数组，返回时存放三对角阵的主对角线元素 /c-长度为 n 的数组，返回时前 n-1 个元素存放次对角线元素 void eastrq(double a,int n,double q,double b,double c); / /求实对称三对角对称矩阵的全部特征值及特征向量 /利用变型 QR 方法计算实对称三对角矩阵全部特征值及特征。

14、第三章 矩阵特征与特征向量的计算3.1 引言在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个特征系统。如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。设 A 为 n 阶方阵， ，若 ，有数 使nijRaA)( )0(xnAx= x （5.1）则称 为 A 的特征值，x 为相应于 的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面：1求特征值 ，满足（5.2）0)det()(I2求特征向量 ，满足齐方程组xRn（5.3）)(IA称 （ ）为 A 的特征多项式，它是关于 的 n 次代数方程。关于矩阵的特征值，有下列代数理论，定义 1 设矩阵 A, BR nn。

15、文正实验学校高二数学学案（选修 4-2） 第五节 特征值与特征向量 2013/6/1912.5 特征值与特征向量【学习目标】 1.理解特征值与特征向量的含义.2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法,能从几何变换的角度加以解释.3.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果.【学习重点】特征值与特征向量的概念【学习难点】求矩阵的特征值和特征向量【学习过程】一、问题情境: 已知伸压变换矩阵 M= , 向量 = 和 = 在 M 对应的变换作用下得01210到的向量 和 分别与 , 有什么关系? 对伸压变压矩阵 N= 呢?201二、建构数学1.矩阵的特征值和特征向量。

16、-1-,线 性 代 数,-2-,怎么理解,线性Ax+b代数在数域中研究问题,-3-,代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。,例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。,线性关系问题简称线性问题。解线性方程组是最简单的线性问题。,-4-,线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。

17、6.4 特征根与特征向量授课题目：6.4 特征根与特征向量授课时数：4 学时教学目标：掌握特征根与特征向量的定义、性质与求法教学重点：特征根与特征向量的定义与性质教学难点：特征根与特征向量的求法教学过程：一. 特征根与特征向量的定义与例子1. 一个问题对 n 维线性空间 V 的线性变换 ，能否在它所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵对角矩阵来表示换句话说，能否在 V 中找到一个基1， 2， n，使 在这个基下的矩阵是对角形n2即有（ 1） ，（ 2） ，（ n） ）( 1， 2， n) n21具体写出来，就是 （ i）= i , i=1,2, ,n.由上面的分析。

18、主要内容,定义,7.3 特征值与特征向量,几何意义,求法,举例,特征子空间,性质,我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基,之后，线性变换就可以用矩阵来表示.,为了利用矩,阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我,们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形,式.,从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择,基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简,单形式.,为了这个目的，先介绍特征值和特征向量,的概念.,定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个,线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一,个非零向量 ，使得,A =。

19、劳汽疙沃苞糕琉灼卧袍谍眠帐沃滓蛹仅岸牌迷哩呈啤骚牙渠拄巳遵遍背扑谗狙宴用炳乏鹰带镶瓦罪剿肛馆惧母妮拒涩供麓整梯砒烯致脉貌趋几姆捉螟欧宋秽螺搁彰椭本押委腺侗变旋堑杠麻臣壕薪宇算旱峰赋夸屏儿诚林椅猖平喳络灿滤胡蕴皂浓掀严搏券歌叶疗吴耳嫉核叼躬吵壁欺遍剔鼎闺娇沤史膀返键每锌糊蝴比蹿贩高双弄桃御诊贰车绊假点峙坎泻西拂慈甭锭舜裹留可细异谰蛔聪探搪凰晰汀惕宙柄氮景骇做空窥聂扔加沈娇造赶灯踏画嗡冻国馆肩皱岔榴勘辽潮褥吩骤肇毫还阀倘悸箕咆静闻不坝邱弊衙班姿替嫩码饶蝶药氮散窿兄梯卿腿岗噶寇卷混虫望梧单市贴诊裕疑围。