1、主要内容,定义,7.3 特征值与特征向量,几何意义,求法,举例,特征子空间,性质,我们知道，在有限维线性空间中，取了一组基,之后，线性变换就可以用矩阵来表示.,为了利用矩,阵来研究线性变换，对于每个给定的线性变换，我,们希望能找到一组基使得它的矩阵具有最简单的形,式.,从现在开始，我们主要来讨论，在适当的选择,基之后，一个线性变换的矩阵可以化成什么样的简,单形式.,为了这个目的，先介绍特征值和特征向量,的概念.,定义 7.3.1 设 A 是数域 P 上线性空间 V 的一个,线性变换，如果对于数域 P 中一个数 0 ，存在一,个非零向量 ，使得,A = 0 .,那么 0 称为 A 的一个特征值，
2、而 称为 A 的属,于特征值 0 的一个特征向量.,这里需要注意，特征值 0 是数域 P 中的数量,特征向量 是非零向量.,显然，零向量对任意的0,都满足 A = 0 ，因此这不具有“特征”意义.,二、几何意义,在几何向量空间 R2 和 R3 中，线性变换 A 的,特征值与特征向量的几何意义是：,特征向量 ( 起,点在坐标原点) 与其像 A 同向(或反向)，同向时，,特征值 0 0，反向时， 0 0，且 0 的绝对值等,于 | A | 与 | | 之比值；,征向量被线性变换变成 0 .,如果特征值 0 = 0，则特,例如：在 R2 中，向量绕原点按逆时针方向旋转, 角的旋转变换 S ，当 0
3、时，对任意非零,向量 R2 ， S ( ) 与 都不共线 ( 图 7-8所示 ),此时， S 没有实特征值；,当 = 时，R2 中任何非零向量 都与 S ( ),共线，且S ( ) = - (图 7-9所示)，,S 的特征值，而且任何非零向量 都是其特征向,量.,所以，- 1 是,如果 是线性变换 A 的属于特征值 0 的特征,向量，那么 的任何一个非零倍数 k 也是 A 的属,于 0 的特征向量 .,因为从 A = 0 可以推出,A (k ) = 0 (k ) .,这说明特征向量不是被特征值唯一决定的.,相反，,特征值却是被特征向量所唯一决定，因为一个特,征向量只能属于一个特征值.,三、求法
4、,设 V 是数域 P 上的 n 维线性空间，1 , 2 , ,n 是它的一组基，线性变换 A 在这组基下的矩阵,是 A.,又设 0 是 A 的特征值， 是 A 的属于0 的,一个特征向量， 在基 1 , 2 , , n 下的坐标是,x01 , x02 , , x0n .,则 A 的坐标是,0 的坐标是,因此 A = 0 相当于坐标之间的等式,上式可进一步变形成,这说明特征向量 的坐标 (x01 , x02 , , x0n ) 满足,齐次方程组,( 0E - A ) X = 0 .,由于 0，所以它的坐标 x01 , x02 , , x0n 不全为,零，即齐次方程组 ( 0E - A ) X =
5、 0 有非零解.,我们,知道，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,它的系数行列式等于零，即,我们引入以下定义.,定义 7.3.3 设 A 是数域 P 上一 n 级矩阵， 是,一个数字.,矩阵 E - A 的行列式,称为 A 的特征多项式，,次多项式.,这是数域 P 上的一个 n,上面的分析说明，如果 0 是线性变换 A 的特,征值，那么 0 一定是矩阵 A 的特征多项式的一个,根；,反过来，如果 0 是矩阵 A 的特征多项式在数,域 P 中的一个根，即 |0E - A | = 0，那么齐次线性,方程组 ( 0E - A ) X = 0 就有非零解.,这时，如果,(x01 , x02 , ,
6、 x0n ) 是方程组 ( 0E - A ) X = 0 的一,个非零解，那么非零向量, = x011 + x022 + + x0nn,满足 A = 0 ，即 0 是线性变换 A 的一个特征值,线性变换 A 的特征值与特征向量的步骤如下：,Step 2 ：计算 A 的特征多项式，并求出特征,方程在数域 P 中的所有根.,的特征值 1 , 2 , , s ，它们也就是线性变换 A, 就是属于特征值 0 的一个特征向量.,于是可得求,Step 1 ：在线性空间 V 中取一组基1 , 2 , ,n ，写出 A 在这组基下的矩阵 A ；,设矩阵 A 有 s 个不同,的全部特征值.,特征向量在基 1 ,
7、 2 , , n 下的坐标.,Step 3 : 对 A 的每个特征值 i ( i = 1, 2,s ), 求解齐次线性方程组 (i E - A ) X = 0，该,方程组的全部解即为矩阵 A 的对应于 i 的全部,矩阵 A 的特征多项式的根有时也称为 A 的,特征值，而相应的线性方程组 (i E - A ) X = 0 的,解也就称为 A 的属于这个特征值的特征向量.,四、举例,例 1 在 n 维线性空间中，数乘变换 K 在任,意一组基下的矩阵都是 kE，它的特征多项式是,| E - kE | = ( - k)n .,因此，数乘变换 K 的特征值只有 k .,由定义可知,每个非零向量都是属于数
8、乘变换 K 的特征向量.,例 2 设线性变换 A 在基1 , 2 , 3下的矩阵是,求 A 的特征值与特征向量.,解,A 的特征多项式为,单击这里求特征值,所以，A 的特征值为,当,时, 解方程组,即,单击这里开始求解,解之得基础解系为,所以属于,的一个线性无关的特征向量就是, 1 = 1 + 2 + 3，,全部特征向量就是,当,时, 解方程组,即,解之得基础解系为,单击这里开始求解,所以属于,的一个线性无关的特征,向量就是,全部特征向量就是,例 3 在空间 Pxn 中，线性变换,D f (x) = f (x),在基,下的矩阵是,D 的特征多项式是,因此，D 的特征值只有 0 .,通过解相应的
9、齐次线性,方程组知道，属于特征值 0 的线性无关的特征向量,组只能是任一非零常数.,这表明微商为零的多项式,只能是零或非零的常数.,例 4 平面上全体向量构成实数域上一个二维,线性空间，第一节,中旋转 S 在直角坐标系,下的矩阵为,它的特征多项式为,当 k 时，这个多项式没有实根，因而，当 ,k 时， S 没有特征值.,五、特征子空间,容易看出，对于线性变换 A 的任一个特征值,0 ，全部适合条件,A = 0,的向量 所成的集合，,部特征向量再添上零向量所成的集合，是 V 的一,个子空间，,显然，,的维数就是属于 0 的线性无关的特征向,的最大个数.,也就是 A 的属于 0 的全,称为 A 的
10、一个特征子空间，,记为,(2) 12 n = |A|.,证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多,六、性质,性质7.3.1 设 1 , 2 , n 是 n 阶矩阵 A = (aij),的 n 个特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则,(1) 1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,项式,性质 1,因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项,中, 有一项是主对角线上 n 个元素的乘积,( - a11) ( - a22) ( - ann),而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素.,| E - A | = n - (a11 +
11、a22 + + ann)n-1+ + (-1)n |A| .,确定.,不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为,-(a11 + a22 + + ann).,另外, 在特征多项式中,令 = 0 可得其常数项为 |A| .,故,12 n = |A|. 证毕,由于 1 , 2 , , n 是 A 的 n 个特征值, 所以,| E - A | = ( - 1)( - 2) ( - n) .,比较上述两式可得,1 + 2 + + n = a11 + a22 + + ann ;,特征值自然是被线性变换所决定的.,但是在有,限维空间中，任取一组基之后，特征值就是线性变,换在这组基下矩阵的特征多项式
12、的根.,随着基的不,同，线性变换的矩阵一般是不同的.,但是这些矩阵,是相似的。,性质7.3.2 相似的矩阵有相同的特征多项式.,证明,设 A B，即有可逆矩阵 X，使,B = X-1AX .,于是,| E - B | =,| E - X-1AX |,= | X-1(E - A)X |,= | X-1 | | E - A | | X |,= | E - A | .,证毕,性质7.3.2 正好说明，线性变换的矩阵的特征多项,式与基的选择无关，它是直接被线性变换决定的.,因此，以后就可以说线性变换的特征多项式了.,既然相似的矩阵有相同的特征多项式，当然特征,多项式的各项系数对于相似的矩阵来说都是相同
13、的.,譬如说，考虑特征多项式的常数项，得到相似矩阵,有相同的行列式.,因此，以后就可以说线性变换的,行列式了.,应该指出，性质7.3.2 的逆是不对的，特征多项式,相同的矩阵不一定是相似的.,例如,它们的特征多项式都是 ( - 1)2 ，但 A 和 B不相似,因为和 A 相似的矩阵只能是 A 本身.,性质 3,哈密顿 - 凯莱(Hanmilton-Caylay) 定理,设 A 是数域 P 上一个 n n 矩阵，,f () = | E - A |,是 A 的特征多项式，则,f (A) = An-(a11+a22+ann)An-1+ (-1)n |A|E = O.,证明,设 B( ) 是 E -
14、A 的伴随矩阵，由行列,式的性质，有,B( ) (E - A) = | E - A |E = f ( ) E .,因为矩阵 B( ) 的元素是 | E - A | 的各个代数,余子式，都是 的多项式，其次数不超过 n - 1 .,因,此由矩阵的运算性质， B( ) 可以写成,B( ) = n-1B0 + n-2B1 + + Bn-1 .,其中 B0 , B1 , , Bn-1都是 n n 数字矩阵.,再设 f ( ) = n + a1n-1 + + an-1 + an ，则,f ( )E = nE + a1n-1E + + an-1E + an E .,而,B( ) (E - A),= (n-
15、1B0 + n-2B1 + + Bn-1)(E - A),= nB0 + n-1(B1 - B0A) + n-2 (B2 - B1A),+ + (Bn-1 - Bn-2 A) - Bn-1A .,比较上述两式，得,以 An , An-1 , , A , E 依次从右边乘上式中的第一,式 , 第二式 , , 第 n 式 , 第 n + 1 式，得,把上式中的 n + 1 个式子一起加起来，左边变成零,右边即为 f (A) , 故 f (A) = O .,证毕,因为线性变换和矩阵的对应是保持运算的，所,以由这定理得,推论 设 A 是有限维空间 V 的线性变换，,f ( ) 是 A 的特征多项式，那
16、么 f ( A ) = 0 .,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮.,本节内容
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