1、2019/2/27,1,5.1 矩阵的特征值和特征向量,2019/2/27,2,5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 设A为数域F上的n阶矩阵, 如果存在数lF和非零的n维列向量X, 使得 AX=lX 就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量. 注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言 的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.,2019/2/27,3,AX=lX,根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次线性方程组 (lI-A)X=0有非零解的l值. 即满足方程det(lI-A)=0 即 的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI
2、-A)的根.,2019/2/27,4,AX=lX, det(lI-A)=0 (5.2) 定义 设n阶矩阵A=(aij), 则,称为矩阵A的特征多项式, lI-A称为A的特征矩阵, (5.2)式称为A的特征方程.,2019/2/27,5,显然, n阶矩阵A的特征多项式是l的n次多项式. 特征多项式的k重根也称为k重特征值. 当n5时, 特征多项式没有一般的求根公式, 即使是三阶矩阵的特征多项式, 一般也难以求根, 所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值,一般用0,1,-1,2, -2进行尝试先得到一个根, 则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解.,2019/2/27,6,例,解,验证： 是
3、否为A的特征向量,2019/2/27,7,注1,注2,注3,如果 是A对应于特征值 的特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。,2019/2/27,8,注5,矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的,注4,如果 是A对应于特征值 的线性无关特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。,2019/2/27,9,例 求下列矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,即,对应的特征向量可取为,2019/2/27,10,对应的特征向量可取为,A属于 的全部特征向量：,A属于 的全部特征向量：,2019/2/27,11,例 求矩阵,的特征值和特征向量. 解 矩阵A的特征多项式为
4、,A的特征值为l1=2, l2，3=1(二重特征值).,2019/2/27,12,当l1=2时, 由(l1I-A)X=0, 即,得其基础解系为X1=(0,0,1)T, 因此k1X1(k10为常数)是A的对应于l1=2的特征向量.,2019/2/27,13,当l2=1时, 由(l2I-A)X=0, 即,得其基础解系为X2=(1,2,-1)T, 因此k2X2(k20为常数)是A的对应于l2=1的特征向量.,2019/2/27,14,例 求矩阵的特征值和特征向量,解,A的特征多项式为,A的特征值为,2019/2/27,15,得基础解系,得基础解系,2019/2/27,16,例 主对角元为a11,a2
5、2,.,ann的对角阵A或上(下)三角阵B的特征多项式是 |lI-A|=|lI-B|=(l-a11)(l-a22).(l-ann), 故A,B的n个特征值就是n个主对角元.,2019/2/27,17,2、n阶矩阵A=(aij)的n个特征值为l1,l2,.,ln. 则,5.1.2 特征值和特征向量的性质,1、设n阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特征值均不为0.,2019/2/27,18,矩阵的特征值和特征向量还有以下性质: 3、若l是矩阵A的特征值, X是A属于l的特征向量, 则 (i) kl+a是kA+aI的特征值(k,a是任意常数), (ii) lm是Am的特征值(m是正整数); (iii
6、) 当A可逆时, l-1是A-1的特征值; (iv) 当A可逆时, detA/l是A*的特征值. 且X仍是矩阵kA+aI, Am, A-1,A*的分别对应于特征值kl+a, lm, 1/l,detA/l的特征向量.,2019/2/27,19,证 已知AX=lX (i) kl是kA的特征值(k是任意常数), 这是因为(kA)X=k(AX)=klX, 即kl是kA的特征值, X是kA的属于特征值kl的特征向量. (ii) A(AX)=A(lX)=l(AX)=l(lX), 即 A2X=l2X 再继续上述步骤m-2次, 就得AmX=lmX. (iii) 当A可逆时, l0, 由AX=lX可得 A-1(
7、AX)=A-1(lX)=lA-1X 因此 A-1X=l-1X 故l-1是A-1的特征值, 且X也是A-1对应于l-1的特征向量,2019/2/27,20,4、矩阵A和AT的特征值相同. 证 因为(lI-A)T=(lI)T-AT=lI-AT 所以 det(lI-A)=det(lI-AT) 因此 A和AT有完全相同的特征值.,2019/2/27,21,定理,设 阶方阵A 有互不相同的特征值 ，(iI A)x= 0的基础解系为 则 ； ； 线性无关,推论,6、设A为n阶方阵， ,若为A的特征值，则 是f(A)的特征值,7、设为A的k重特征值,A关于的线性无关的特征向量的最大个数为s，则1 s k (
8、矩阵A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）,2019/2/27,22,例 设A是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，试求： (1)A对角线上元素之和；(2)|A|；(3)|A2+A+I|,解 设A=(aij)由定理知(1) a11+a22+a33=1+2+3=1+2+3=6(2) |A|=123=123=6(3) 因A的特征值为1，2，3，设f(x)=x2+x+1,由性质知,A2+A+I的特征值:1+1+1=3，22+2+1=7,32+3+1=13再由性质知 |A2+A+I|=3713=273,（|A-1+2A+A*+I|？）,例 如果A是一个三阶方阵，且A3-3A+2I=0，求|A|,
