特征值和特征向量集美大学

1、4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定义4.5 给定Rn中向量,实数,称为向量和的内积.,记为T.,则和的内积为,(一）向量的内积,2)T=,故向量和的内积记为,两个n维实向量的内积是一个实数.,3) 只有维数相同的两个向量才有内积.,和的内积为,T,说明1),例,和的内积为,内积具有如下性质：,4）T 0,T =0,（分配律）,（交换律）,（二）向量的长度,定义4.6 对Rn中向量,非负实数,称为向量的长度,或向量的范数,记为,（k为实数）,向量的长度具有以下性质：,3）对任意向量和，有,对Rn中任意非零向量，,事实上，,用非零向量的长度去除向量,得到一个,通常称为把。

2、1,第3章 矩阵特征值和特征向量,简介迭代法（乘幂法）乘幂法的加速反幂法,2,1 简介,线性代数中矩阵的特征值与特征向量能反映矩阵的性态，在理论上重要。而工程技术中的许多问题，如桥梁的振动，机械的振动，建筑物的振动及飞机机翼的颤动，这些问题的求解常归结为求矩阵的特征值问题，另外一些稳定性分析问题(例如地震信号反演)也会转化为求特征值与特征向量的问题。,3,基本概念n阶方阵A的特征值是特征方程det(A-E)=0 的根. A的特征向量是齐次线性方程组(A-E)x=0 的非零解.,4,即要求,将行列式展开，得关于的n次多项式：,n不大时，如n4 解特。

3、第五章 特征值和特征向量,矩阵的对角化,矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件,预备知识,向量的内积,在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系,内积定义 ：,夹角 ：,向量的长度：,内积的坐标表示式 ：,定义1 设有 维向量,令,称为向量 与 的内积.,内积性质（其中 为 维向量， 为实数）:,（1）,（2）,（3）,（4） 等号当且仅当 时成立.,定义2 令,称为 维向量 的长度（或范数）.,向量的长度具有下述性质：,（1）非负性：,（2）齐次性：,（3）三角不等式：,当 时，称 为单位向量.,不等式：。

4、第六章 矩阵的特征值和特值向量,1 矩阵的特征值和特征向量,矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法.,一. 定义和计算,定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量满足关系式A=0 则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量.,如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0有非零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有,可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解都是A的属于特征值0=0的特征向量.,A=0=0,一般地, 由A=0 可得,(0E A)=0。

5、1 矩阵的特征值和特征向量 第四章 2 本章介绍矩阵的特征值 特征向量以及矩阵的对角化问题 3 第一节矩阵的特征值与特征向量 定义 一 特征值与特征向量的基本概念 例如 4 一个特征向量只能属于一个特征值 证明如下 说明 1 特征值问题是针。

6、20.01.2021,1,3 线性变换的特征值与特征向量,在有限维的线性空间中，取定一组基后，线性变换的矩阵就 确定下来。线性变换在不同基下的矩阵是相似的。这一节 初步讨论如何选择基，使得线性变换的矩阵的形式尽量简单。,线性变换的特征值与特征向量 若干例子 矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法 特征多项式, 齐次线性方程组 特征值的一些重要性质,20.01.2021,2,例子: 线性。

7、1,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,P2/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理3.9 对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵,P3/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,于是有,两式相减，得,P4/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,注,P5/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,证明,于是,定理3.10 设l1, l2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若l1 l2, 则p1, p2正交.,P6/12,3 实对称矩阵的特征值和特征。

8、1 第四章习题课 2 四 证明所给矩阵为正交矩阵 典型例题 五 将线性无关向量组化为正交单位向量组 一 特征值与特征向量的求法 二 特征值与特征向量的应用 三 矩阵的相似及对角化 六 利用正交变换将实对称矩阵化为对角阵 3 第三步将每一个特。

9、7.4 QR算法,7.4.3 带原点位移的QR算法,7.4.2 QR算法及其收敛性,7.4.1 化矩阵为Hessenberg形,7.4.1 化矩阵为Hessenberg形,定理7.9 （实Schur分解定理）,为（初等）镜面反射矩阵，或Householder变换矩阵。,Houholder矩阵H=H（w）有如下性质：,(1),(2),(3) 记S为与w垂直的平面,则几何上x与y=Hx关于平面S对称。事实上,由,对应于性质（2），有下面的定理。,证,由此可得,定理得证。,（7.4.2）,（7.4.3）,例7.4,解,证,变换，有,如此类推，经n-2步对称正交相似变换，得到Hessenberg形矩阵。,7.4.2 QR算法及其收敛性,上式左边为正交阵，即,这个式子。

10、返回上 页 下 页目 录第三章矩 阵 的特征 值 与特征向量户晓白机儒侍之冒露母宫蓬琉樟其绅壳王午哉邓窄鸽姑辩总徽颈批瓢生旷3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 1返回上 页 下 页目 录第三章 矩 阵 的特征 值 与特征向量1 方 阵 的特征 值 与特征向量2 矩 阵 的 对 角化稠持雷夸贱撮菲溶戎柬旺祁闭卷疯员播逼锑质竞究霖赚进屁芍懂构篷肛旁3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 2返回上 页 下 页目 录第 1节方 阵 的特征 值 与特征向量冰爽敬憎闰滤欠克品路凤判吁端丢归皖幌域萎拜妈翠啤舀积醇匠砍固蓖涡3。

11、 2方阵的特征值与特征向量 引言 纯量阵lE与任何同阶矩阵的乘法都满足交换律 即 lEn An An lEn lAn 矩阵乘法一般不满足交换律 即AB BA 数乘矩阵时 数l都是可交换的 即l AB lA B A lB Ax lx 例 定义。

12、第7章 矩阵的特征值和特征向量,很多工程计算中，会遇到特征值和特征向量的计算，如：机械、结构或电磁振动中的固有值问题；物理学中的各种临界值等。这些特征值的计算往往意义重大。,特征值：,的根 为矩阵A的特征值,特征向量：满足,的向量v为矩阵A的对于特征值 的特征向量,称为矩阵A的特征多项式,是高次的多项式，它的求根是很困难的。没有数值方法是通过求它的根,来求矩阵的特征值。通常对某个特征值，可以用些针对性的方法来求其近似值。若要,求所有的特征值，则可以对A做一系列的相似变换，“收敛”到对角阵或上（下）三角阵，,从而求。

13、机动 目录 上页 下页 返回 结束,数学科学学院 陈建华,矩 阵 论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1.1 特征值和特征向量,一、方阵的特征值和特征向量,二、线性变换的特征值和特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、定义,假设 A 是 n 阶方阵，如果存在数 和非零向量 X，使得,AX= X,称 是矩阵 A 的一个特征值， X 是对应于 的一个特征向量。,一、方阵的特征值和特征向量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,AX = X,非零向量,特征向量,特征值,n阶方阵,对应于特征值 的特征向量不唯一。,注：,2、求法,AX = X,(EA)X = 0,|EA| = 0,特征方程,特征多。

14、2019/2/27,1,5.1 矩阵的特征值和特征向量,2019/2/27,2,5.1.1 特征值和特征向量的基本概念 定义 设A为数域F上的n阶矩阵, 如果存在数lF和非零的n维列向量X, 使得 AX=lX 就称l是矩阵A的特征值, X是A的属于(或对应于)特征值l的特征向量. 注意: 特征向量X0; 特征值问题是对方阵而言 的, 本章的矩阵如不加说明, 都是方阵.,2019/2/27,3,AX=lX,根据定义, n阶矩阵A的特征值, 就是齐次线性方程组 (lI-A)X=0有非零解的l值. 即满足方程det(lI-A)=0 即 的l都是矩阵A的特征值. 因此, 特征值是l的多项式det(lI-A)的根.,2019/2/27,4,AX=lX, det(lI-A)=0 (5。

15、2.5特征值与特征向量,邵阀缓茅点嘛滓碍桔勾冈枝赂捕苑桃株阮殴韦贵堑川闪迷照汝勃尸去负饿苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,复习回顾,1矩阵 的行列式为 , 若有 则矩阵 存在逆矩阵.,左拥毡签汛卓骤峙茹湍及园脱肚输宣锑共啡揽震倘秀吊洞列烹琼变萌俺垃苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,3.逆矩阵的求解,复习回顾,浚苫蔫赋记撂挛劲亢顾唤丽橙锻札艰雷标绸壳胺脯井居就卞贮穴卿釜儒嚎苏教版特征值和特征向量苏教版特征值和特征向量,5.设线性方程组为,复习回顾,脆彬伦找宇沥唇霹槽此兆纤往仿驶谢煮扳次抽乓循澎谆泛。

16、2019/3/14,集美大学理学院,1,第4章 矩阵的特征值和特征向量,4.1 矩阵的特征值和特征向量 4.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件 4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量,2019/3/14,集美大学理学院,2,1. 特征值与特征向量定义,2. 相关概念,4.特征值与特征向量求法,3.两个有用公式,(特征方程根与系数的关系),5.特征值与特征向量的性质,4.1 矩阵的特征值和特征向量,2019/3/14,集美大学理学院,3,1. 特征值与特征向量定义,例：设,即,2019/3/14,集美大学理学院,4,2、相关概念(定义4.2),称,因为 即n元齐次线性方程组 有非零解，,等价于,2019/3/14,集美大学。