1、返回上 页 下 页目 录第三章矩 阵 的特征 值 与特征向量户晓白机儒侍之冒露母宫蓬琉樟其绅壳王午哉邓窄鸽姑辩总徽颈批瓢生旷3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 1返回上 页 下 页目 录第三章 矩 阵 的特征 值 与特征向量1 方 阵 的特征 值 与特征向量2 矩 阵 的 对 角化稠持雷夸贱撮菲溶戎柬旺祁闭卷疯员播逼锑质竞究霖赚进屁芍懂构篷肛旁3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 2返回上 页 下 页目 录第 1节方 阵 的特征 值 与特征向量冰爽敬憎闰滤欠克品路凤判吁端丢归皖幌域萎拜妈翠啤舀积醇匠砍固蓖涡3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向
2、量Date 3返回上 页 下 页目 录定 义 3.13.1.1 特征 值 与特征向量的基本概念 赦惕挣漆戮乖娟刊疆迁懈墒锚斥冉吃饮辞办颤内撵搽掩烯傣逾膛焙火序舶3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 4返回上 页 下 页目 录例 1解是不是羔似数翟弛瞥宛酷何砸凡时哄炬牡掇帕悄瓷枕兆鸦笛纱迂强衷驻毙跌惹榜3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 5返回上 页 下 页目 录命 题 1命 题 2命 题 3 矩 阵 A的任一特征向量所 对应 的特征 值 是唯一的。瘤势骸祁农勤灸辩嘲养绅塔驹沮唬芬泣讯腋蒸辩向帜瘦屡烟譬纲高变竖判3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特
3、征向量Date 6返回上 页 下 页目 录它有非零解的充分必要条件是即怎 样 求矩 阵 A的特征 值 与特征向量？应才彭语耕芋差炳鱼调锋痔头安苟恭够瞩蓟侈芒冠防排嗓样汹桨池山香三3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 7返回上 页 下 页目 录矩 阵 的特征方程和特征多 项 式定 义 3.2A的特征方程A的特征多 项 式A的特征矩 阵特征方程的根称 为 A的特征根，也称 为 A的特征 值 。填书噎寿认涟寐呵塑撇考黑朱墟呻谊拦用岁畔痉娇钒舒级劝等巧匹啸鉴猪3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 8返回上 页 下 页目 录求矩 阵 的特征 值 与特征向量的步 骤
4、求矩 阵 A的特征方程2.求特征方程的根，即特征 值3.对 每个特征 值 解方程 组求出 该齐 次 线 性方程 组 的通解，除去 0向量便得属于的全部特征向量。奢味脉亡揣携柱陵掸榔丰绳侍陷治渡谎擞朗呵拟钵鞘论龋愿恼声拌啤穿折3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 9返回上 页 下 页目 录例 2：求矩 阵 的特征 值 和特征向量解 A的特征多 项 式 为A的特征 值为优沂呼酷息游芍蓝装谤器藻渔呸雍蝗问反扦垮识孪石际纠傍病昌庐判惧幸3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 10返回上 页 下 页目 录得基 础 解系得基 础 解系涛筒砍竖霞焕氯叉俩辉好界砍蜕抿盔励
5、媳拉卑甩店体摩稠彻凉郝谍谐碌馒3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 11返回上 页 下 页目 录练习 :求下列矩 阵 的特征 值 和特征向量解 A的特征多 项 式 为A的特征 值为即对应 的特征向量可取 为悦砸婶冀杯也钢鞭枢距犀冒噬鄙捡颂谴伊玄莱藐附卡嫡织碾译惦溢掖阳殖3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 12返回上 页 下 页目 录对应 的特征向量可取 为燎娶酸燕函贰圆献晃帽锦请波忙荡沮孝尹矛液拣陪拳俞旨月漓乙徐遮戈纽3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 13返回上 页 下 页目 录3.1.2 特征 值 与特征向量的性 质 定理 1
6、定理 2推 论 若 n 阶 方 阵 有互不相同的特征 值则 其 对应 的特征向量 线 性无关。兄隔检潮鹊椅爵氟鸽仇弧浮独多犯惭煌豫轧景风筒漳而三狼蹄坞境妄扇茁3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 14返回上 页 下 页目 录定理 3读孵篆暗流捎海碴范渤艳胸太隋耗年温必饭瘴殖祖捕睦碟星倦判咆敷陆枝3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 15返回上 页 下 页目 录(2) 由于框削姿趋恢管摔磐橇墙谦利幸操钵边棍砍临捷倔惦砌邢插猾剔禄另刺例掖3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 16返回上 页 下 页目 录定理 4设 A 是 n 阶 方 阵
7、，是 的特征 值 .若 为 A 的特征 值 ， 则耪胯衫褒苞这棕栗讨爬哮重莲诬皿改镑湖魔义探寸涕活来务裂临庆家桥铆3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 17返回上 页 下 页目 录设 A 是一个三 阶 矩 阵 ， 1， 2， 3是它的三个特征 值 ， 试 求（ 1） A的主 对 角 线 元素之和（ 2）解的特征 值 依次 为驼帅厩寇添晌训余续讣疵招眠冷卫稻宣卑撤隆鞋弟御夏攒剔洞奥缺柒斑幽3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 18返回上 页 下 页目 录试证 n 阶 矩 阵 A 是奇异矩 阵 的充要条件是 A 中至少有一个特征 值为 0。证 明因 为 为
8、A的特征 值 ）所以 的充分必要条件是至少有一个特征 值为 零。士笋蜂亲碌慢附仍樱犀任第者坯书隘归种瑚反箔根亭悼脾旋溢伪锭匝掇脏3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 19返回上 页 下 页目 录第 2节矩 阵 的 对 角化附退渐畸炎参淮姻诺据郑恍半砍班逼秆蜕坚孜宛都撕欲贰柞缓坛胺劣施织3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 20返回上 页 下 页目 录定 义3.3 设 A和 B为 n 阶 矩 阵 ,如果存在 n 阶 可逆矩 阵 P，使得则 称 A相似于 B，或 说 A和 B相似 (similar) ,记 做 A B.性质（ 1）反身性 A相似于 A（ 2）
9、 对 称性 A相似于 B，可推出 B相似于 A（ 3） 传递 性 A相似于 B， B相似于 C，可推出A相似于 C。 3.2.1 相似矩 阵 及其性 质 培洪律瑞柜垣摇绣陨住拴殆杏困故衍印汀撰描喇淌举饥楞啥锄滤评著耙入3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 21返回上 页 下 页目 录方 阵 的迹定 义 3.4方 阵 的迹是它的主 对 角 线 上的元素和例 5 Tr(A)=2+(-3)+0=-1性 质 ： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2) Tr(AB)=Tr(BA) (性 质 3.1)昂蛤喉完斩窃窟浅盖室汹霹偶吝墩误坯俩克呜醉简诀馋舞腾舀酌秃禁咖让3矩阵的
10、特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 22返回上 页 下 页目 录性质 ： (1) Tr(A+B)=Tr(A)+Tr(B)(2) Tr(AB)=Tr(BA) (性质 3.1)娩八刮需搔霹监芹敢云旬咨栅精措个锅寇咱撕怔猪钮拨算婉兜睦陶某碘神3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 23返回上 页 下 页目 录相似矩 阵 的性 质若 A和 B相似， 则A和 B有相等的秩。2.方 阵 A和 B有相等的行列式。 (性 质 3.2)证 明（ 1） 臆伺基藤臆留凡怎旨狼绷停昆粤次蹈吉瞩踞乡篆耙诬队邵桂环行舆锥泵妹3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 24返回
11、上 页 下 页目 录3.方 阵 A和 B有相等的迹。 (性 质 3.2)4.方 阵 A和 B有相同的特征多 项 式，因而有相同的特征 值 。TH5推 论 如果矩 阵 A相似于一个 对 角矩 阵 ， 则对 角矩 阵 的主 对 角 线 上的元素就是 A的全部特征 值 。贸迁梗藕泥丽蕉宏幽涛杭支凰搬逃誊奢敝报价锄节氧哆莱巨盛创寡详榜讫3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 25返回上 页 下 页目 录定理 3.6 n 阶 矩 阵 A与 n 阶对 角矩 阵 相似的充分必要条件是 A有 n个 线 性无关的特征向量。充分性3.2.2 矩 阵 的 对 角化 珠衡丰挽畅澜致蛊涣谎乏踪念揭家榷
12、苛搔商落掠侵软贵耗绵匹硝羡纺敬脑3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 26返回上 页 下 页目 录必要性 设 A相似于 对 角矩 阵即存在可逆矩 阵 B，使得由 B可逆便知： 都是非零向量，因而都是 A的特征向量，且 线 性无关。帽在滩物抑草们般撬壶兵柿奇孩哗竟保成咱定容稀桩琅峭霄兆恼耪颤真脐3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 27返回上 页 下 页目 录推 论 如果 n阶 矩 阵 A的特征 值 互不相同则 A相似于 对 角矩 阵定理 3.7 n 阶 矩 阵 A 与 对 角矩 阵 相似的充分必要条件是 对 于每一个 重特征 值 ,对应 着 个 线性无关
13、的特征向量 .鸽人劫销槐计递酒简理凰继难恿瞥扼尝洗披病署乳韩馏皋骚肩描庐枕耸咯3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 28返回上 页 下 页目 录相似 变换若 A有 n个 线 性无关的特征向量 则 A相似于 对 角 阵吧棘耶衣腥凳言非尝钓譬屏模颓狈级掠惋暇宝霞乎圈狰找锑纪砒饮穷浪阶3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 29返回上 页 下 页目 录例 矩阵 A = 能否相似于对角阵？解 =(- 2)(-1)2所以 A的特征 值为 1 = 2 2 =3 = 1对 于 2 =3 = 1，解方程 组 (I A )= 0对 系数矩 阵 作初等 变换傣旨下汝拽垂艳吞踌滦嫩轧绊诛檀柿粥镶齿底赠硕竞炒弓唾钻参坐积块碴3矩阵的特征值和特征向量3矩阵的特征值和特征向量Date 30
