1、1,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,一、对称矩阵的性质 二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,P2/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,定理3.9 对称矩阵的特征值为实数.,证明,一、对称矩阵的性质,本节所提到的对称矩阵, 除非特别说 明, 均指实对称矩阵,P3/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,于是有,两式相减，得,P4/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,注,P5/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,证明,于是,定理3.10 设l1, l2是对称矩阵的两个特征值, p1, p2是对应的特征向量. 若l1 l2, 则p1, p2正交.,P6/12,3 实对称矩阵的特征值
2、和特征向量,定理3.11 设A为n阶对称矩阵, 则存在n阶正交矩阵Q, 使得Q1AQ为对角矩阵, 对角元是A的n个特征值.,P7/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,二、用正交矩阵将对称矩阵对角化的步骤,1) 作,求诸li, i = 1, 2, , m,2) 解,得基础解系,3) 正交化得,4) 单位化得,5) 作正交矩阵 及则,P8/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,解,例3.5 正交矩阵Q, 使得Q1AQ为对角矩阵.,l1 = 3(二重), l1 = 6.,P9/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,将l1 = 3代入(lEA) x = 0, 得基础解系 a1 = (2, 1,
3、 0)T, a2 = (2, 0, 1)T. 将其正交化： b1 = a1,单位化：,P10/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,将l2 = 6代入(lEA) x = 0, 得基础解系 a3 = (1, 2, 2)T. 单位化：,则Q1AQ = L.,P11/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,例3.6 设三阶对称阵A的特征值l1 = 0, l2 = 1(二重). 属于l1的特征向量为a1 = (0, 1, 1)T, 求A. 解 对应于l2 = 1的线性无关的特征向量有两个, 设为a2, a3. 则a2, a3均a1与正交, 即满足 a1Ta = x2 + x3 = 0, a = (x1, x2, x3)T. 解之得基础解系 a2 = (1, 0, 0)T, a3 = (0, 1, 1)T, 且已正交. 单位化：,P12/12,3 实对称矩阵的特征值和特征向量,且Q1AQ = L. 则,
