1、2020年4月10日星期五 1 第三章 矩阵的特征值与特征向量 2020年4月10日星期五 2 第三章矩阵的特征值与特征向量 1方阵的特征值与特征向量 2矩阵的对角化 2020年4月10日星期五 3 第1节 方阵的特征值与特征向量 2020年4月10日星期五 4 定义3 1 3 1 1特征值与特征向量的基本概念 2020年4月10日星期五 5 例1 解 是 不是 2020年4月10日星期五 6 命题1 命题2 命题3 矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的 2020年4月10日星期五 7 它有非零解的充分必要条件是 即 怎样求矩阵A的特征值与特征向量 2020年4月10日星期五 8 矩阵的
2、特征方程和特征多项式定义3 2 A的特征方程 A的特征多项式 A的特征矩阵 特征方程的根称为A的特征根 也称为A的特征值 2020年4月10日星期五 9 求矩阵的特征值与特征向量的步骤 求矩阵A的特征方程 2 求特征方程的根 即特征值 3 对每个特征值 解方程组 求出该齐次线性方程组的通解 除去0向量便得属于 的全部特征向量 2020年4月10日星期五 10 例2 求矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 A的特征值为 2020年4月10日星期五 11 得基础解系 得基础解系 2020年4月10日星期五 12 练习 求下列矩阵的特征值和特征向量 解 A的特征多项式为 A的特征值为 即 对
3、应的特征向量可取为 2020年4月10日星期五 13 对应的特征向量可取为 2020年4月10日星期五 14 3 1 2特征值与特征向量的性质 定理1 定理2 推论 若n阶方阵有互不相同的特征值 则其对应的特征向量 线性无关 2020年4月10日星期五 15 定理3 2020年4月10日星期五 16 2 由于 2020年4月10日星期五 17 定理4 设A是n阶方阵 是 的特征值 若为A的特征值 则 2020年4月10日星期五 18 例3 设A是一个三阶矩阵 1 2 3是它的三个特征值 试求 1 A的主对角线元素之和 2 解 的特征值依次为 2020年4月10日星期五 19 例4 试证n阶矩阵
4、A是奇异矩阵的充要条件是A中至少有一个特征值为0 证明 因为 为A的特征值 所以 的充分必要条件是至少有一个特征值 为零 2020年4月10日星期五 20 第2节 矩阵的对角化 2020年4月10日星期五 21 定义3 3 设A和B为n阶矩阵 如果存在n阶可逆矩阵P 使得 则称A相似于B 或说A和B相似 similar 记做A B 性质 1 反身性A相似于A 2 对称性A相似于B 可推出B相似于A 3 传递性A相似于B B相似于C 可推出A相似于C 3 2 1相似矩阵及其性质 2020年4月10日星期五 22 方阵的迹定义3 4 方阵的迹是它的主对角线上的元素和 例5 Tr A 2 3 0 1
5、 性质 1 Tr A B Tr A Tr B 2 Tr AB Tr BA 性质3 1 2020年4月10日星期五 23 性质 1 Tr A B Tr A Tr B 2 Tr AB Tr BA 性质3 1 2020年4月10日星期五 24 相似矩阵的性质 若A和B相似 则 A和B有相等的秩 2 方阵A和B有相等的行列式 性质3 2 证明 1 2020年4月10日星期五 25 3 方阵A和B有相等的迹 性质3 2 4 方阵A和B有相同的特征多项式 因而有相同的特征值 TH5 推论 如果矩阵A相似于一个对角矩阵 则对角矩阵的主对角线上的元素就是A的全部特征值 2020年4月10日星期五 26 定理3
6、 6n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 充分性 3 2 2矩阵的对角化 2020年4月10日星期五 27 必要性 设A相似于对角矩阵 即存在可逆矩阵B 使得 由B可逆便知 都是非零向量 因而都是A的特征 向量 且 线性无关 2020年4月10日星期五 28 推论 如果n阶矩阵A的特征值 互不相同 则A相似于对角矩阵 定理3 7 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值 对应着个线性无关的特征向量 2020年4月10日星期五 29 相似变换 若A有n个线性无关的特征向量则A相似于对角阵 2020年4月10日星期五 30 例矩阵A 能否相似于对
7、角阵 解 2 1 2 所以A的特征值为 1 2 2 3 1 对于 2 3 1 解方程组 I A 0对系数矩阵作初等变换 2020年4月10日星期五 31 解方程组得通解 为任意常数 因为 2 3 1是二重根 而对应于 2 3 1无两个线性无关的特征向量 故A不能与对角阵相似 2020年4月10日星期五 32 例用相似变换化下列矩阵为对角形 解 A的特征方程为 特征值为 对于 可求得特征向量 对于 可求得线性无关的特征向量 这三个特征向量线性无关 2020年4月10日星期五 33 2020年4月10日星期五 34 练一练 用相似变换化矩阵为对角形 2020年4月10日星期五 35 应用 利用对角
8、化计算矩阵的乘方 2020年4月10日星期五 36 设 解 A的特征方程为 特征值为 对应的特征向量为 对应的特征向量为 例7 2020年4月10日星期五 37 2020年4月10日星期五 38 2020年4月10日星期五 39 THEEND P88将一个方阵A对角化的三步骤 思考 第三章作业 1 4 3 7 9 10 3 11 15 16 2020年4月10日星期五 40 练习已知 问满足什么条件时 A可对角化 解首先 所以 A的特征值为2 重数为1 和1 重数为2 2020年4月10日星期五 41 考虑A的特征值1 对方程组 仅当秩时 才能使基础解系含2个解向量 又 故 所以 当时 A可对角化
