1、文正实验学校高二数学学案（选修 4-2） 第五节 特征值与特征向量 2013/6/1912.5 特征值与特征向量【学习目标】 1.理解特征值与特征向量的含义.2.掌握求矩阵的特征值和特征向量的方法,能从几何变换的角度加以解释.3.能利用矩阵的特征值和特征向量求向量多次变换的结果.【学习重点】特征值与特征向量的概念【学习难点】求矩阵的特征值和特征向量【学习过程】一、问题情境: 已知伸压变换矩阵 M= , 向量 = 和 = 在 M 对应的变换作用下得01210到的向量 和 分别与 , 有什么关系? 对伸压变压矩阵 N= 呢?201二、建构数学1.矩阵的特征值和特征向量的定义.2.特征多项式3.矩阵
2、 M= 的特征值和特征向量的计算方法: abcd(1) (2) (3) 三、数学应用例 1 从几何变换的角度对问题情境中的两个矩阵 M,N 的特征值与特征向量加以解释文正实验学校高二数学学案（选修 4-2） 第五节 特征值与特征向量 2013/6/192变式 从几何变换的角度写出矩阵的特征向量与特征值。.(1)A= (2) B= （3）C= （4）D= 1001201210思考 1 属于一个特征值的特征向量唯一吗？如何解释？思考 2 不同特征值下的特征向量是否共线？思考 3 并非所有的变换都是我们熟悉的常见变换，那若不是常见变换，又该如何求特征值与特征向量呢？有没有更一般的方法呢？例 2 求出
3、变式 1 中矩阵 A，B，C，D 的特征值和特征向量变式 1 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1) (2) 2 142文正实验学校高二数学学案（选修 4-2） 第五节 特征值与特征向量 2013/6/193变式 2 已知 是矩阵 M 属于特征值 =3 的特征向量, 其中 M= ，= , 且2amb15a+b+m=3 , 求 a , b , m .例 3 已知矩阵 A = ，102（1）求出 A 的特征值与特征向量。并从几何的直观角度加以解释（2） ，求320变式 1 已知 M= ,= , 计算 M50.217变式 2 若矩阵 A 有特征向量 和 ，且它们所对应的特征值分别为10ij12,（1）
4、求矩阵 A 及其逆矩阵 ；（2）求逆矩阵 的特征值与特征向量；11A（3）对任意向量 ，求xy0文正实验学校高二数学学案（选修 4-2） 第五节 特征值与特征向量 2013/6/194四、课堂练习1. 下列对于矩阵 A 的特征值 的描述正确的是 （ ）A、存在向量 ，使得 B、对任意向量 ，有AC、对任意非零向量 ， 成立 D、存在一个非零向量 ，有2.矩阵 A = ，其特征多项式为 ，特征值为 1-233.已知 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量, 其中 A= , = , 求 a , b .1ab234.求投影变换矩阵 的特征值和特征向量，并计算 的值，解释它的几0 1M 203M何意义。5.五、回顾总结六、课后作业凤凰新学案
