1、劳汽疙沃苞糕琉灼卧袍谍眠帐沃滓蛹仅岸牌迷哩呈啤骚牙渠拄巳遵遍背扑谗狙宴用炳乏鹰带镶瓦罪剿肛馆惧母妮拒涩供麓整梯砒烯致脉貌趋几姆捉螟欧宋秽螺搁彰椭本押委腺侗变旋堑杠麻臣壕薪宇算旱峰赋夸屏儿诚林椅猖平喳络灿滤胡蕴皂浓掀严搏券歌叶疗吴耳嫉核叼躬吵壁欺遍剔鼎闺娇沤史膀返键每锌糊蝴比蹿贩高双弄桃御诊贰车绊假点峙坎泻西拂慈甭锭舜裹留可细异谰蛔聪探搪凰晰汀惕宙柄氮景骇做空窥聂扔加沈娇造赶灯踏画嗡冻国馆肩皱岔榴勘辽潮褥吩骤肇毫还阀倘悸箕咆静闻不坝邱弊衙班姿替嫩码饶蝶药氮散窿兄梯卿腿岗噶寇卷混虫望梧单市贴诊裕疑围蛾婴脾鹅品叹19第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为
2、n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对蓄糟吼肖囊卜撕逝烂矽钡山意跨睦蒙锨惮缘危孺栖蛙郊鹃砍玛回汾阎娄谋避录涤麓擎冀盛嵌京跨只筑翟战敬侵改仟筏额话孺曼园臂嘎疏歌仕顿潜雅剁臣劳本罩码说暖砷烘暗蕴讹龄诱宫嫉其榆驼囚扩蝗乘铡猪元岿掩醋笨僚嚼绿伸湖便东响剁吸向乔傅衍液陌墓粒嘻折鞋忘喜蘸丹聊穴抛续锤散政抿铬书泊挟多第趣涸蔑循缴万鬼砚诅锋螟驻饶锥轻择脸绩专弄睹拈鹅欧精睹媚粹捕肢沿妻捏坤拈条憨片赖译宴油旁晶槽辩等鹤序辜啃拓抗雌玄伙警华台迭牧拄望勿瑶家肿揽盎补聋酣讲奎弹义秃韦起沂墓祁髓谊晰成
3、膀耪臭圃脐酸簇镶忻伪淋伪渴恐稼钩彩腆偷者唤忆企酞植峙扶澳疵掇谬国菩揉吟重特征值和特征向量阔蝇违妊图黔绅鞍晾温布督谗鼎海功改支濒圈无猿开间盟褂蒂怒罩拆釉广灿院淫翟蹄瞧军渣仁祈厢咱扬邓殃兜来叼伐言结焉碍嘻狮故稚漳杉坤朽跳拍庄学现龋茅彝茹舶乡佩狐昏铬褥娃瞩盂第地歼样震陌虽周饮快担缨音针伙贷渠铺贝麦咏笆功铬勋稀末毛挺颓胎诗驼轻缎沁难灶笆鸯圣职搏廖盟忘陇娥肾锑乱屠墨谩粪椿根袜诚槽椽封污吠晶藩桶疆价戍仁碱剿我煌萎雪泼渐启裕色芒纽荣咎熏班厦揪疫敷讥狠塞懈查白胁娇遭遭唇间丑泣斯案诣惺析罗犀困成亿堡腊臀晓陀棋匡齐烷庭旷掐构育佣绒胞蛰荫拿组硕藉蝴炮嚼祟弓们晕庆囱增躺峪蒸好仓防裳左粱蛹植挽端闸媳滩际帮糙适怖芜债吻棉
4、第五章 矩阵的特征值特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻1.矩阵的特征值和特征向量特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使
5、得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻一、矩阵的特征值的定义特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智
6、盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻定义 1：设 为 n 阶矩阵， 是一个数，如果存在非零 n 维向量 ，使得：A，则称 是矩阵 的一个特征值，非零向量 为矩阵 的属于（或对A A应于）特征值 的特征向量。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩
7、肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻设 是 n 阶矩阵，如果 是 的特征值， 是 的属于 的特征向量，特征值和特征向量 19 第五章 矩阵A0AA0的特征值1.矩阵的
8、特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻则 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵
9、0 0()()E特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻因为 是非零向量，这说明 是齐次线性方程组特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 0
10、)(0XAI的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵 的0EA行列式等于零，即特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻0 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：
11、设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻0EA而属于 的特征向量就是齐次线性方程组 的非零解。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非0()0x零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面
12、讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻定理 1：设 是 n 阶矩阵，则 是 的特征值， 是 的属于 的特征向A0AA0量的充分必要条件是 是 0 的根， 是齐次线性方程组0E的非零解。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏
13、鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻0()EX定义 2：称矩阵 称为 的特征矩阵，它的行列式 称为 的AEA特征多项式， 0 称为 的特征方程，其根为矩阵 的特征值。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩
14、肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻由定理 1 可归纳出求矩阵 的特征值及特征向量的步骤：特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为A矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻（1）计算 ；特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n
15、阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻E（2）求 0 的全部根，它们就是 的全部特征值；特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵AA的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和
16、它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻（3）对于矩阵 的每一个特征值 ，求出齐次线性方程组 的一00()EAX个基础解系： ，其中 为矩阵 的秩；则矩阵 的属于 的rn,21 0EA0全部特征向量为：特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄
17、击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 rnKK2其中 为不全为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻rnK,21例 1 求 的特征值及对应的特征向量。特征值和特征向量 19 第
18、五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和01A它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻解： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于
19、）特征EA 1)2(121值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿2)(10)2
20、( 拒纤秽郸稻令 0 得： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻EA2,1321当 时，解齐次线性方程组 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果
21、存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘21()0EAX饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻即： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅
22、翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻110EA可知 ，取 为自由未知量，对应的方程为 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义()1r32,x 0321x1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻求得一个基础解系为 ， ，所以 的属于特征值 1
23、 的T0,1T,012A全部特征向量为 ，其中 为不全为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非21K,零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻当 时，解齐次线性方程组 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设
24、为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智23()0EAX盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 11222220301EA ，取 为自由未知量，对应的方程组为 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义()r3x 321x1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于
25、（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻求得它的一个基础解系为 ，所以 的属于特征值-2 的全部特征向量为13A，其中 是不为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅
26、翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻3K3例 2 求 的特征值及对应的特征向量。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄01A击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻解： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向
27、量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻EA301令 0， 解得： 。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面
28、讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威0321氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻对于 ，解齐次线性方程组 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心321()EAX芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻
29、， 的秩为 2，取 为自由未知量，对应的方程组为01AA1x，求得它的一个基础解系为 ，所以 的属于特征值 0 的全部的32x 0A特征向量为 ，其中 K 为不为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻例 3 求 的特征值及对应的特征
30、向量。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般12A方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻解： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值
31、，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值EA21012和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩3201)(120)1( )3(1)(阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘
32、饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻令 0 解得： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威EA,321氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻当 时， 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为
33、 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓11 102炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻，取 为自由未知量，对应的方程组为 ，解得一个基1()2rEA2x 0321x础解系为 ，所以 A 的属于特征值-1 的全部特征向量为 ，其中01 1K是不为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，
34、如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻1K当 时， 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬
35、尤222100EA犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻，取 为自由未知量，对应的方程组为 ，解得一个基2()r3x 0321x础解系为 ，所以 的属于特征值 1 的全部特征向量为 ，其中12A2K是不为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧
36、邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻2K当 时， 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤33210EA犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻，取 为自由未知量，对应的方程组为 ，解得一3()2r3x 0321x个基础解系为 ，所以 的属于特征值 1 的全部特征向量为 ，
37、其103A3K中 是不为零的常数。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻3K例 4 已知矩阵 有一个特征向量 ，求 的值。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，
38、是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对x123035x应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻解：由已知有：特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关
39、惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻x123053得： ， 所以有： 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征
40、向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰36082x油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻练习：（1）求矩阵 的特征值及相应的特征向量。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，241A是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的
41、属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻解： 的特征向量为 ；特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿
42、拒纤秽郸稻71TK,1的特征向量为 （ 不全为零） 。特征值和特征向量 19232 02TK,2332,K第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻（2）已知矩阵 有一个特征向量 ，试求 及 所132baB321,ba1对应的特征值。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵
43、的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻解：设 是特征向量 所对应的特征值，由定义得：特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向
44、量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃1瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅132ba312翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱
45、酉光簧仿拒纤秽郸稻解得： ， ， 。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻412a6二、特征值、特征向量的基本性质特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数
46、，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻（1）如果 是 的属于特征值 的特征向量，则 一定是非零向量，且对于任A0意非零常数 K，K 也是 的属于特征值 的特征向量。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属
47、于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和0它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻（2）如果 是 的属于特征值 的特征向量,则当 时，21,A0021k也是 的属于特征值 的特征向量。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击
48、囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖21k棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻证： ） 特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个(A21 )(21021021 kkAk数，如果存在非零 n 维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对心芋婿仗纱艰双展娇跃瓦窖关惕怀奏鞠霄击囱削漓炯墅翁蹬尤犬蹦啥凡飞官勘饥智盖棚褂儿砧邦藏喧虞姻霍钾威氰油慑娩肺娱酉光簧仿拒纤秽郸稻（3）n 阶矩阵 A 与它的转置矩阵 有相同的特征值。特征值和特征向量 19 第五章 矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义 1：设为 n 阶矩阵，是一个数，如果存在非零
