特征值与特征向量及其应用.doc

1、I摘 要特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论和学习和实际生活，特别是现代科学技术方面都有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的性质，通过实例展现特征值与特征向量的优越性，探讨特征值与特征向量及其应用有着非常重要的价值.正文共分四章来写，其中第一章介绍了写作背景以及研究目的.第二章介绍了特征值与特征向量的定义以及性质，并且写出了线性空间中线性变换的特征值、特征向量与矩阵的特征值、特征向量之间的关系.第三章介绍了特征值与特征向量的几种解法：利用特征方程求特征值进而求特征向量、列行互逆变换法、利用矩阵的初等变换求特征值和特征向量.第四章重点介绍了特征值特征向量的应用，如 n

2、 阶矩阵的高次幂的求解以及矩阵特征值反问题的求解等等.本文充分利用特征值与特征向量的特性求解相关问题，这带有一定的技巧性，但并不难想象，特别是跟其它方法相比，计算显得非常简洁，在解决具体问题上具有很大的优越性.当然关于矩阵的特征值和特征向量的内容很广，本文仅就特征向量的性质以及一些应用展开研究.关键词：特征值；特征向量；矩阵；递推关系；初等变换IIAbstractAs an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretica

3、l study and practical life, especially in modern science and technology. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.It has a very important value of exploring eigenvalue and eigenvec

4、tor and its application.The text is divided into four chapters to write,Among them,the first chapter presents the background and research purposes.The second chapter presents the definition of eigenvalue and eigenvector and their properties, it writes the relationship between the eigenvalue, eigenve

5、ctor of the linear transform of the linear space and eigenvalues and eigenvectors of matrix. The third chapter presents several solutions of the eigenvalue and eigenvector:the characteristic equation for eigenvalue and eigenvector;the method of reversible transform on Rows and columns;the elementary

6、 transformation of matrix inverse for eigenvalues and eigenvectors. The fourth chapter introduces the application of eigenvalue eigenvector, such as solving the high power of n order matrix ,dealing with the inverse problem of matrix eigenvalues and etc. This paper fully utilize eigenvalue and eigen

7、vector to solve related issues, this approach needs certain skills，but it is not hard to imagine that it has the great superiority in sovling specific issues, comparing with other methods.Of course, the content about matrix eigenvalues and eigenvectors is very wide, this article mainly deals with th

8、e properties of eigenvector and some application.Key words:eigenvalue； eigenvector；matrix ；recursive relations；elementary；transformation 目 录摘 要 .IAbstractII1 引 言 11.1 研究背景 11.2 研究现状 11.3 本文研究目的及意义 22 特征值与特征向量 32.1 特征值与特征向量的定义和性质 32.1.1 线性变换的特征值与特征向量 32.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量 .32.2 ,Vp中线性变换 的特征值、特征向量与矩阵

9、R的特征值与特征向量之间的关系 .33 特征值与特征向量的解法 53.1 求数字方阵的特征值与特征向量 53.2 列行互逆变换法 63.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量 104 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 154.1 n 阶矩阵 1*,mkAabIAf的特征值和特征向量. 154.2 n 阶矩阵的高次幂的求解 .164.3 矩阵特征值反问题的求解 174.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用 184.5 特征值法求解二次型的条件最值问题 224.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法 224.5.2 应用举例 254.6 特征值与特征向量在矩阵运算中的作用 26

10、4.6.1 特征值与特征向量在矩阵运算中使用的性质 264.6.2 特征值与特征向量在矩阵运算中的应用 26总 结 30参考文献 31致 谢 3211 引 言1.1 研究背景矩阵是数学中的一个重要的基本概念之一,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具. 矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮

11、助，而且在理论上也很重要，可以直接用来解决实际问题.现在矩阵已成为独立的一门数学分支，矩阵特征值与特征向量的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技方面都有十分广泛的应用.1.2 研究现状在此之前已有很多专家学者涉足此领域研究该问题.吴江、孟世才、许耿在浅谈中“特征值与特征向量”的引入中从线性空间 V 中线性变换在不同基下的矩阵具有相似关系出发引入矩阵的特征值与特征向量的定义.郭华、刘小明在特征值与特征向量在矩阵运算中的作用中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.矩阵的特征值与特征向量在结构动力分析中有重要作用，矩阵

12、迭代法是求矩阵的第一阶特征值与特征向量的一种数值方法,但是选取不同的初始向量使结果可能收敛于不同阶的特征值与特征向量，而不一定收敛与第一阶,陈建兵在矩阵迭代法求矩阵特征值与特征向量初始向量选取的讨论中讨论了初始向量的选取问题.特征值理论是线性代数中的一个重要的内容，当方阵阶数很高时实际计算比较繁琐，赵娜、吕剑峰在特征值问题的 MATLAB 实践中从实际案例入手，利用 MATLAB 软件讨论了求解特征值问题的全过程.汪庆丽在用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法，论证其方法的合理性，并阐述此方法的具体求解步骤.岳嵘在由特

13、征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用中探究了已知 n 阶对称矩阵 A 的 k 个互不相等的特征值及 k-1 个特征向量计算出矩阵 A 的计算方法.张红玉在矩阵特征值的理论及应用中讨论了通过n 阶方阵 A 的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在矩阵的特征值、特征向量和应用一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.冯俊艳、2马丽在讨论矩阵的特征值与行列式的关系中讨论了利用矩阵的特征值解决行列式的问题.1.3 本文研究目的及意义在前人研究的基础上，本文给出了特征值与特征向量的概念及其性质，特征值与特征向量性

14、质是最基本的内容，特征值与特征向量的讨论使得这一工具的使用更加便利，解决问题的作用更强有力，其应用也就更广泛.在此基础上，对矩阵的特征值与特征向量的计算进行详尽的阐述和说明. 利用特征方程求特征值进而求特征向量法、列行互逆变换法、矩阵的初等变换求特征值和特征向量.由于特征值与特征向量的应用是多方面的，本文重点介绍了对特征值与特征向量的应用探究,阐述了特征值和特征向量在矩阵运算中的作用，利用特征值法求解二次型最值问题以及矩阵的高次幂和反求解问题的应用.在例题解析中运用一些特征值与特征向量的性质和方法，可以使问题更简单，运算上更方便，是简化有关复杂问题的一种有效途径.本文就是通过大量的例子加以说明

15、运用特征值与特征向量的性质可以使问题更加清楚，从而使高等代数中的大量习题迎刃而解，把特征值与特征向量在解决实际问题中的优越性表现出来.32 特征值与特征向量2.1 特征值与特征向量的定义和性质2.1.1 线性变换的特征值与特征向量定义 1：设 是数域 上的线性空间 的一个线性变换，如果对于数域 中一数V，存在一个非零向量 ，使得00=那么 称为 的一个特征值，而 称为 的属于特征值 的一个特征向量.0 02.1.2 n 阶方阵的特征值与特征向量定义 2：设 是 阶方阵，如果存在数 和 维非零向量 ，使得 成立，R0nX0RX则称 为 的 特征值， 是 的对应特征值 的特征向量.0X性质 1 若

16、 是 的 重特征值， 对应特征值 有 个线性无关的特征向量，则iirRiis.isr性质 2 如果 都是矩阵 的属于特征值 的特征向量,则当 时, 12,x0120kx仍是 的属于特征值 的特征向量10kxR0性质 3 如果 是矩阵 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是12,n R，则 线性无关12,n x性质 4 若 的特征值为 ，则ijnr12,n， 12nrr 12nR性质 5 实对称矩阵 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交R性质 6 若 是实对称矩阵 的 重特征值，则对应特征值 恰有 个线性无关i i iir的特征向量，或 iirEnr性质 7 设 为矩阵 的特征值，

17、 为多项式函数，则 为矩阵多项式PxP的特征值 PR2.2 中线性变换 的特征值、特征向量与矩阵 的特征值与特征向量之间的关,VpnR系 定理：设 是 的一组基 ,12,n ,VpLV12,nR 1） 的特征值 必是 的特征值， 的属于 的特征向量00，则 必是 的属于特征值 的特征向量.2nxx 12,nx R02）设 是 的一个特征值，且 ，则 是 的一个特征值.若0 004是 的一个属于特征值 的一个特征向量，则12,nx R0是 的一个属于 的特征向量.nx 证明：1）设 是 的特征值，于是有 使得 ，其中 ，设00=0，则2nx，1212 12,nnxxxR = 又 ，所以有0=，1

18、1221220, ,nnxxR= 由他们的坐标列相等可得，1200nxER所以其次线性方程组 有非零解，于是 ，故 是 的特征多0X0ER0R项式的根，即 是 的特征值，从而 的坐标是 的属于 的特征向量.0R2）设 是 的一个特征值， ，且 ，于是 有非000X零解， ，令 ，12,nx nxxV12200nERx，即 ，于是 ，故 是 的一个特征值，且11220=nnRx0=0是 的属于 的特征向量.053 特征值与特征向量的解法3.1 求数字方阵的特征值与特征向量由方阵的特征值和特征向量的定义知: 是 的属于 的特征向量 因为a0A所以 是齐次线性方程组 的非零解，所以 是特征方程AaE

19、x的根。 将上述过程逆叙得到求数字方阵 的特征值和特征向量的步0fE骤如下:(1) 计算的特征多项式 ；Af(2) 解特征方程 ,求出它的全部根 ,它们就是 的全部特征值。012,n A(3) 对每一个特征值 ,求出齐次线性方程组 的一个基础解1in0iEx系,这个基础解系 便是 的属于 的线性无关的特征向量,则2,iira Ai的属于 的全部特征向量是这个解系的非零线性组合: ,其中Ai 12iinirkaka是不全为零的数.12,nk例 3.1.1 设线性变换 在 下的矩阵是 ，求 的特征值与特123,R21征向量.解：因为特征多项式为.ER21215所以特征值 （二重）和 5.1把特征值

20、 代入齐次方程组 ,x1230得到 ,x1230它的基础解系是， .106因此属于 的两个线性无关的特征向量就是1，13.2而属于 的全部特征向量就是 ， ， 取遍数域 中不全为零的全部数对.1k1k2再用特征值 5 代入，得到 ,x12340它的基础解系是，1因此，属于 5 的一个线性无关的特征向量就是，3123而属于 5 的全部特征向量就是 ， 是数域 中任意不等于零的数.k3.2 列行互逆变换法为了定理的叙述方便，先给出一个定义.定义 1.把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换:1 . 互换 i、j 两列 ,同时互换 j、i 两行 ；ijcjir2 . 第 i 行乘以非零数 ，同时第 j

21、列乘 ；kk13 . 第 i 行 倍加到第 j 行，同时第 j 列 倍加到第 i 列 .k定理 1 为 n 阶可对角化矩阵，并且ATnE 一 系 列 行 列 互 逆 变 换 TDP其中，, ,TiiinnnPbn 11112则 为 的全部特征值， 为 的对应 的特征向量.12,n ATiiAi证明：由行初等变换等价于左乘初等矩阵，列变换等价于右乘初等矩阵的性质及行列互逆变换的定义知， 为若干初等矩阵的乘积，当然可逆，且TP，即 ，1D1P7所以.APD因为，11,nnD 所以，111nnnA 则，11nn 所以 0,2,.iiiA因此，该方法求出的 为 的特征值， 为 的对应特征值 的特征向量

22、 iiAi为了运算上的方便，这里约定： 1. 表示矩阵的第 j 行 倍加入第 i 行； ijrk k2. 表示矩阵的第 j 列的 倍加入第 i 列 ij 由于用定理 1 求解时，总会遇到形如 或 形式的矩aAcb10acAb2阵化对角阵问题，为此给出具体方法： TacAEb120112rk akb10或，Tc221rk k1其中 .ckab则 为 的分别对应特征值 和 的特征向量；,TT1201Aab为 的分别对应特征值 和 的特征向量.k2例 3.2.1 求 的特征值与特征向量.65解：8TAE2150612r 7016421126rr 704121r 065所以，特征值 ；特征向量分别为

23、.,12 ,TT12例 3.2.2 求 的特征值与特征向量.A01解： TAE 401012143rr 002124r 10031221324rr 001212342rrrr 034141229. 1031所以，特征值分别为 ；特征向量分别为 ，,1234 ,T13， ， .,T213,T3,T1下面给出定理 1 的推广定理.定理 2. 为任意 阶方阵，若 ，其中AnTnAE 一 系 列 行 列 互 逆 变 换 TJP为约当矩阵， 为约当标准形. 1rJ ,ii iJr 11， ，则 为 的特征值； 为1TrP,;riri ninrr 112iAiTir的对应特征值 的特征向量.Ai证明：由一

24、般代数书中定理可知 必相似于一约当矩阵，按定理 2 中化简方法，A则有，即 ，其中 ，1TPJ1,TTPJP11TTr , ,iTTir irJ 1 1所以，11111TTTTTr r TrJA 故有，,iiAn所以 为 的特征值； 为 的对应 的特征向量.iAii10例 3.2.3 求 的特征值与特征向量.A2103解： TE3201313r 01421r 014r 321012321r 021所以特征值为 ，对应特征值 的特征向量 ，,13412,T1对应 的特征向量为 .34T3.3 利用矩阵的初等变换解特征值特征向量引理 矩阵 左乘或右乘一个可逆矩阵，其秩不变.即若 为 矩阵，AAmn

25、分别是 m 和 n 阶可逆矩阵，则PQ、.,rPrQArPr、由此可知，若 ，且 为 n 阶单位矩阵，则形如 的 矩阵必可I In经过一系列变换成 的形式，其中 为 矩阵且 ， 分别为BCD0BmrBrCD、和 矩阵， 为 零矩阵，从而有nrrnr定理 1 设 为 矩阵，其秩 ， ，则比存在 nAmAn12,Tnxx阶可逆矩阵 ，使 ，且 的 个列向量就是齐次线性方程组QBICD0r的基础解系 .0Ax证明： 此处只需证明 的列向量是 的基础解系即可.0Ax11事实上，由 得 ，即 ，从而ABQICD0,0AQBC,ADB0， .这说明 的 个列向量 是齐次线性方程组ACBnr12,nr的解向

26、量.x0另设矩阵 的列向量为 ，则由 知向量组nr12,r ,Q即为 的列向量，因 可逆，所以向量组1212,rrD Q线性无关，因此 的列向量就是 的基础解系.nr DAx0例 3.3.1 组 的一组基础解系.xx123412305解：利用初等列变换，得cAI 2134018224150531010 c c 243 4573201157050114246从而， ，所求基础解系为 .rA3,T576定理 2. 设 为 n 阶方阵，则其特征矩阵 可通过初等列变换化为下三角矩IA阵，记为12，12*nllLl从而使 的解就是矩阵 的全部特征值.120nll A证明：由初等变换理论，存在 n 阶可逆

27、矩阵 ，使 ，由QIAQL此得 .12nILll从而使 的解就是 的解.120nll 0IA这样，由定理 1 和定理 2 可以得到同时求解方阵的特征值与特征向量的一种解法：第一步，作如下初等变换：，并由 求得矩阵 的特征值nIA 初 等 列 变 换 LQLA.,i12第二步，将 代入 ，则有 或iA317562iLBCD0iLQ 互 换 某 几 列.0BCD因为 ，所以由定理 1 即知 的列向量就是 的对应于特征i iLIAQ A值 的线性无关的特征向量.i例 3.3.2 求矩阵 的特征值与特征向量.317562解： cIA 133113755762260011013 ,n nii nFxim

28、yfxfximn 2 21121001所以，由 得矩阵 的特征值为 .4A,234将 代入，得1.LQ10610所以对应于 的特征向量为 ( 此处二重特征值只对应一个线性无2,T1关的特征向量).将 代入，得34.cLQ 2330101660011所以对应于 的特征向量为 .4,T2这里用初等列变换的方法同时求出来矩阵的特征值与特征向量，完全类似地，利用初等行变换也可以实现这一过程，其方法如下：(1) 对矩阵 施行初等行变换将其化为矩阵 ，其中TIA UP为含有 的上三角矩阵， 为 经过初等变换得到的矩阵； UPI(2) 由行列式 求得矩阵 的特征值 ； ()0,in12(3) 将 代入 中，

29、若 不是行标准形， 则通过初,in12 Ui等行变换将其化为行标准型，并记秩 ， 则 中的后 个行向量的irriPnr转置就是 对应的特征向量 i例 3.3.3 征值与特征向量.解：因为特征矩阵 ，所以IA1356414TIA1361054r 13601r 2133 2400153332r UP 240108233从而由 即 求得 的特征值为 （二重）和U20A.4当 时， ，所以 ，且2P6100 rU21的后两行的转置即为 对应的特征向量，即 .P2,TT120当 时， ，所以 ，且4UP3062 4rU的最后一行的转置即为 对应的特征向量，即 .P431,2T154 矩阵的特征值与特征向

30、量的应用研究4.1 n 阶矩阵 的特征值和特征向量.1*,mkAabIAf若 是 n 阶矩阵 的特征值，非零向量 为 对应于 的特征向量，则 ， xAk， ， ， ， 是 的特征值，非零abmf 1*,mkabIf向量 是 对应于特征值 ， ， ， ，x1*,mkbI kabm1， 的特征向量.Af证明： 由于 是 的特征值， 为 对应于 的特征向量，则有AxA，那么：（1）.在 两端同时左乘系数 得 ，即 .所以xkxkAx是方阵 的特征值，且向量 是方阵 对应于特征值 的特征向量.kAxA（2）.由于 ，所以 是方阵abIbabab的特征值，且向量 是方阵 对应于特征值 的特征向量.abI

31、I（3）.由于， 2 2xxx，322 3AA，1111mmmmxxAxx所以 是方阵 的特征值，且向量 是方阵 对应于特征值 的特征向量.（4）在 两端同时左乘 得 ，即 ，有A1A11成立，所以 是方阵 的特征值，且向量 是方阵 对应于特征值 的x11x16特征向量.（5）.在 两端同时左乘 得 ，由于 ，那么Ax*A*x*1A，即有 成立，所以 是方阵 的特征值，且向量*x*xm是方阵 对应于特征值 的特征向量.mAA（6） ，则110nnfxaxax A 1110 10nn nnfAxaxax = .aaf上面的证明用到了（3）的结论，由 可知 是 的特征值，f ffA且向量 是 对应

32、于特征值 的特征向量.xfAf例 4.1.1 已知矩阵 ，求 的特征值和特征向量.12A5421分析：本题是求矩阵 的多项式的特征值和特征向量，若按一般思路求解，则需A计算 的 5 次幂并进行多项式运算，再求其特征值和特征向量，计算量非常大，但若A利用（6）的结论，计算变的很简单.解：矩阵 的特征多项式 为：detI.AI 21251，得矩阵 的特征值为 .detAI0,123当 时，解其次方程 即5AIx50x12342得其通解为 ，其基础解系中只含有一个解向量 ，,TTxt12310 ,Tx1即为特征值 所对应的特征向量.1x517当 时，解齐次方程 ，即1AIx0x123得通解为 ，其基

33、础解系中含有两个线性无关的解,TTTxtt123120向量： ，即为特征值 所对应的特征向量, 231设 ，则 ，即为 的特征值.当fAA54f54f时， ；当 时， ，于是1f16231ff23的特征值为 ，对应的特征向量为 .542, 123,x4.2 n 阶矩阵的高次幂的求解当 n 阶矩阵 可对角化时，即矩阵 可与对角阵相似时，计算其高次幂 有简AAkA单的方法，当 n 阶矩阵 满足下面的四个条件之一时，即可对角化，即 .1P（1）.n 阶矩阵 有 n 个线性无关的特征向量；（2）.n 阶矩阵 有 n 个互不相等的特征值；（3）.n 阶矩阵 的每个特征值 ，均有 ，即特征值的几何常数等于

34、其Am代数常数；（4）. 为是对称矩阵.对于 ， 是由 的 n 个特征向量组成的矩阵. 1P12,nx A是由 的 n 个特征值构成的对角阵，那么有：12,nAdiag A1111111kk kPPPAP 其中 ，故 .12,kkni 12,kkkndiag例 4.2.1 已知矩阵 ，求 （其中 为正整数）.A1kA分析 矩阵的高次幂的求解一般是有技巧的，这里因矩阵 为是对称矩阵，故可A对角化，可按上面讨论的方法求之.解：因为 ，所以矩阵 为是对称矩阵，故可对角化.TAA由例 4.1.1 知，矩阵 的 3 个特征值为 ，其对应的特征向量为,123518，故对角阵 ， ，且123,x,Adiag

35、15Px12301，又 ，那么有 ，则P11,diag151APkkkAP1 0021135.kkkkkk 1111253254.3 矩阵特征值反问题的求解矩阵特征值反问题的求解，即根据矩阵的特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素.当矩阵 有 n 个互不相等的特征值时， 必有 n 个线性无关的特征向量，AA那么矩阵 必可对角化，故 ，其中相似变换矩阵 由 的 n 个线性无关的1PAP特征向量组成.例 4.3.1.设 3 阶方阵 的特征值为 ，对应于特征向量分别是：,12301， ， ，求Tx12Tx2Tx3A分析 此题给出了矩阵的 3 个不相同的特征值及其特征向量.那么矩阵可对角化，显然是矩

36、阵特征值的反问题，可按上面讨论的方法求之.解： 由于 是方阵 对应于特征值 的特征向量，于是有：,ix1A,i123，iiAx令 ，那么Px12321P1219则有 ，其中 .由上式可得 即为所求.AA01A10324.4 特征值与特征向量在线性递推关系中的应用用特征值和特征向量对一般线性递推关系进行讨论.19设 阶线性循环数列 满足递推关系：Knx,knaaxk1212 其中 是常数，且 ，,iak2 k0方程组 12,111nnknnknkxx 可表示为矩阵形式（1）nknnknkxaaxx 211 22100 令 , ,n nknk knknk xaaxA 11211 22100 则（1

37、）可写成：（2）1nknkA由（2）式递推得 ，其中 ，于是求211nknkA 1121,Tkxx通项 就归结为求 ，也就是求 .nx k如果 可对角化，即存在可逆矩阵 ，使得 ，则 ，由P1nknkAP于 121001kkaaEA 从第一列开始每一列乘以 加到后一列上，就得到如下的矩阵：20kkkkkaaaaa 2121112 11000 11kkkaa若 是 的特征值，显然有 ，则线性齐次方程组A1REAk的基础解系中只含有一个解向量，因此当 有 个特征值 时，0EX Ak12,k这 个特征值对应的特征向量分别为 ，由这 个特征向量为列构成的方阵k 12,kP记为 ，则 是可逆的，并且 .

38、其中P120nA 例 4.4.1 设数列 满足递推关系： ，并且nx nxx1234，求通项 .,xx123解： 是三阶循环数列，将方程组n nnxx123用矩阵表示为： ，令nnxx112230A10并由上式递推得 nnnnxxxA12312322341其中 ,xx123由 ，即EA03210021得 的特征值为：A,123再由特征方程 解得对应于 的特征值 的特征向量分iEAXi0A123,别为： ,PP12341令： 123421则 ,PAP 1 1603202nnnnn nnnA 3333222311 13136062代入（2）式得：nnnnxxxx 333211262n1 196例

39、4.4.2 计算 n 阶行列式 nD60010061 解：将 按第一行展开得：nnM12136其中 与 分别是元素 和 的余子式，再将它们分别按第一列展开得：12M312a3nnnDD1236则 是三阶线性循环数列.nD将方程组22nnnDD12366表示成矩阵形式为： 令nnDD112230A160由上式递推得：12312322341nnnnD（3）由 解得 的特征值为 ，再由特征方程0EA,123， 解得对应于 的特征值 的特征向量分别为：iX,i123A12,PP12349令 123491则 ,PAP 1 156028233n nnnn nAP 3 11313121232300562由（

40、3）式可得： nnnnnDDD 1213 1256将 代入上式得：,3219056nn2234.5 特征值法求解二次型的条件最值问题4.5.1 二次型的条件最值问题及求解该问题的特征值方法二次型的条件最值问题是一类特殊的多元函数极值问题定义 设有满足条件 的 n 个变量 ，,inFxim1201 12,nx当存在变量 的一组值 ，使,ixn 2,nx（或 ）时，称2121, ,nnffx 211,nffx 为 最大（或最小）值.2,nx y特征值法原理定理 1 二次型 在条件 下的最大值1nijjijjiijaxa210niixc（最小值）恰是其实数特征值中最大值（最小值）的 c 倍.证明：利用拉格朗日数乘法，先作拉格朗日函数，21211,nnijj iij iLxxaxxc其中： 为参数，再令其关于 的一阶偏导数为 0，得12,nnj njjjnjnnnnjaxaxaxLxaxaxax 1121122 22 121 0（1）由于 ，所以（1）可化为 ijjia nnnnnaax1121221 0（2）这是一个齐次线性方程组由于 ，所以 不全为 0，从而（2）ixc