竞赛中的数学归纳法

1、1等差和等比数列名称 等差数列 等比数列定义 an - an-1 = d (n2) (n2)qa1n通项公式an = a1 + (n-1)d= am + (n-m)d nN *an = a1q n-1 = amq n- m nN *递推公式 an - an-1 = d , an = an-1 + d an = an-1q , 1n前 n 项和 2)1(2)(S1n1 qa)(Sn1已知 Sn求 an 1n 2a1nn中项 a, A,b 成等差数列， 2baAa,A,b 成等比数列， abA,2性质 1 若项数 m + n = p + q ,则 am +an = ap + aq若项数 m + n = p + q ,则 am an = ap aq性质 2an为等差数列，公差 d= K 2dSk = a1 + a2 + a3 + +akS2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 + +a2kS3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k。

2、 上教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网浅谈数学归纳法的应用数学归纳法是证明与自然数有关的命题的一种方法，应用广泛在最近几年的高考试卷中体现的特别明显，以下通过几道高考试题来谈一谈数学归纳法的应用。一、用数学归纳法证明整除问题用数学归纳法证明整除问题时，由到时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式（数）整除，这是数学归纳法证明问题的一大技巧。例 1、是否存在正整数 m，使得 f（n）=（2n+7 ）3 n+9 对任意自然数 n 都能被 m 整除?若存在，求出最大的 m 值，并证。

3、 数学归纳法在证明不等式中的应用一、数学归纳法概析随着近几年考试命题对于考查学生的探索和归纳问题的能力的侧重，很多的考试题目开始广泛出现了利用数学归纳法进行不等式证明的应用.所谓数学归纳法，是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法，主要用来探讨与正整数有关的一系列数学问题，在高考试题和数学联赛试题中应用非常频繁和广泛.数学归纳法的历史非常悠久，早在 1575 年就出现了数学家巧妙地利用递推关系证明出了前 n 个奇数的总和为 n2，以此成功地总结出了数学归纳法的证明.数学归纳法总结起来有四种，分别是第一。

4、源于名校，成就所托1创新三维学习法，高效学习加速度数列极限与归纳法例 1、设 是等差数列， ，前 项和为 ； 是等比数列， ，其前 项na1annSb1qn和为 ，已知 。T8lim,2,64TSb（1）求数列 和 的通项公式；n（2）设数列 的前 项和为 ，对一切自然数 ，有 成立，cnPn121nacbcb求 。nbPlim例 2、用数学归纳法证明： 能被 9 整除。Nn173源于名校，成就所托2创新三维学习法，高效学习加速度例 3、在数列 、 中， ，且 成等差数列， 成等nab4,21ba1,nab1,nba比数列 。N（1）求 及 ，由此猜测 、 的通项公式，并证明你的结论；432,432,n（2）证明。

5、数学归纳法引例的课后反思http:/www.pep.com.cn/gzsx/gxrz/200910/t20091002_604431.htm浙江省绍兴一中 虞金龙数学归纳法，自古以来就是数学中一种十分重要的常用的证明方法，人们可以从中领略数学思维的特点。很 多 老 师 在 上 课 时 让 学 生 把 数 学 归 纳 法 想 成 多 米 诺 效 应 更容 易 理 解 一 些 ； 如 果 你 有 一 排 很 长 的 直 立 着 的 多 米 诺 骨 牌 那 么 如 果 你 可 以 确 定 ：（ 1） 第 一 张 骨 牌 将 要 倒 下 。（ 2） 只 要 某 一 个 骨 牌 倒 了 ,与 他 相 临 的 下 一 个 骨 牌 也 要 倒 。那 么 你 就 可 。

6、数学归纳法的理论依据数学教学改革实验与理解能力培养我们在中学教数学归纳法时，经常碰到一些勤于思考的学生提出：“数学归纳法的理论依据是什么？”这个问题在高等代数中早有论述，但中学生一般还很难看懂。为了保护学生们的好奇心、求知欲望和探索精神，提高与发展学生的领会理解能力，我们以数学课外活动的方式，开设“数学专题讲座” ，给这个问题作出深入浅出的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。1962 年我国著名数学家华罗庚教授在一次讲话中说：“简单朴素的数的性质，成为数学概念和方法的一个重要源泉。 ”数学归纳是。

7、第 2 课时 数学归纳法的应用双 基 达 标 限 时 20分 钟 1利用数学归纳法证明 (nN *)的过程中，由1n 1 1n 2 12n1124nk 递推到 nk 1 时，下列说法正确的是( )A增加了一项12k 1B增加了两项 和12k 1 12k 1C增加了 B 中的两项，但又减少了一项1k 1D增加了 A 中的一项，但又减少了一项1k 1解析 当 nk 时，不等式左边为 ，1k 1 1k 2 12k当 nk1 时，不等式左边为 .1k 2 1k 3 12k 12k 1 12k 2答案 C8命题 P(n)满足：若 n k(kN *)成立，则 nk1 成立，下面说法正确的是( )AP(6)成立则 P(5)成立BP(6)成立则 P(4)成立CP(4)成立则 P(6)成立D对所有正整数。

8、数学归纳法的分析探讨谢立亚，兰州大学附属中学（甘肃 兰州 730000）数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法，也是中学数学的一个重要内容.多年以来，国内有众多的文章讨论数学归纳法是否是归纳法或者演绎法的问题1，对数学归纳法在中学数学中的教学亦产生了不小的影响.通过对国家高中数学课程标准2和普通高中课程标准实验教科书数学以及与数学归纳法有关的一些文献学习和思考，笔者以为，以数学归纳法知识容量之大、方法精妙之极、思想维度之广、文化内涵之丰，单一地肯定或者否定它是什么方法，或许有失偏颇.尽管数学方法是处理、探索。

9、学优中考网 www.xyzkw.com初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ， （ 1 ） 3 1 ， （ 1 ） 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（910 2） ，四位数有 91039000 个（910 3） ，归纳出 n 位数共有 910n-1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=3 2, 1+3+5+7=4 2推断出从 。

10、谈数学归纳法在物理中的应用 河北省鸡泽县第一中学 057350 吴社英 应用数学方法处理物理问题是高中物理教学大纲明确指出的一项重要教学内容 也是高考能力考察的重要组成部分 同时也体现了数学这门学科的工具性和实用性 加强学科间的渗透 强化对学生能力的考查 例 我们在火车站常看到载重列车启动时 机车要往后倒退一下 目的是使各节车厢之间的挂钩都离开一段距离 以便于启动 这是因为机车和车厢与铁轨之间的最。

11、数学归纳法在高等代数中的应用内容摘要：文章主要通过实例介绍了数学归纳法在多项式、排列、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换等方面的应 用简单的做了汇总， 说明了数学 归纳法在解决高等代数实际问题中的重要作用.关键词：数学归纳法 高等代数 应用在高等代数课本中我们经常用第一数学归纳法和第二数学归纳法来证明许多的定理，但是课本中却没有数学归纳法明确的定义.因为在上高等代数课老师讲到数学归纳法时讲数学归纳法有好几种（查看附录），我就对这个课题产生了兴趣，所以写了这个课题.数学归纳法作为一种证明方法有着广泛。

12、莆 田 学 院毕 业 论 文题 目数学归纳法及其在图论中的应用学 生 姓 名 余晶晶 学 号 510401425 专 业 数学与应用数学 班 级 数本 054 指导教师 陈梅香 二 00 九年五月十日目 录0 引言（1）1 数学归纳法的理论基础（2）1.1 数学归纳法的理论基础是 公理 （2）Peano1.2 第一数学归纳法（2）2 数学归纳法的基本步骤（2）2.1 的取值（2）0n2.2 验证初值（3）3 数学归纳法的其他形式（4）3.1 第二数学归纳法（4）3.2 跳跃数学归纳法（4）3.3 反向数学归纳法。

13、数学归纳法的应用 姜凯文 长春市二实验中学 摘 要： 随着现代教育的不断改革, 新课程的教学也慢慢在改变以往的教学模式, 而不 变的是那些数学领域中的方式方法, 数学归纳法就是其中之一。 数学归纳法是数 学论证方法中的一种, 在证明数学命题中常常与自然数 n相挂钩, 而在证明上 运用比较常见有数列、不等式、几何这几个方面, 所以在学习过程中掌握数学归 纳法的正确运用是学习好课程的前提。这种学习方法的目的是应用问题进行猜 想、归纳、总结、分析, 在这个过程中达到培养学生思维灵活的目的, 也全方位 提高数学学习水平的品质, 为今后。

14、数学归纳法，对于同学们无论在中学阶段还是在大学阶段的数学学习，都是一个经常用到的工具，因此是高中代数的一个重点。由于它所解决的问题五花八门，应用时的情况扑塑迷离，所以，它又是高中数学的一个难点。（一） 概念的理解1. 不完全归纳法和完全归纳法在数学推理过程中，由于一般到特殊，根据已知准确的判断去做出新的判断，称做演绎推理，反过来，从分析一些特例的共同特征，得出一般性的结论，这种由特殊到一般的推理方法，称作归纳推理。如果只从一些有限特例的验证，就得到一般性的结论，这种归纳推理，称为不完全归纳法。显然，。

15、- 1 -初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ， （ 1 ） 3 1 ， （ 1 ） 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（910 2） ，四位数有 91039000 个（910 3） ，归纳出 n 位数共有 910n-1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=3 2, 1+3+5+7=4 2推断出从 1 开始的 n 个連续奇。

16、数学归纳法中的几何问题典型例题：平面内有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点。求证：这n 个圆把平面分成 n2-n+2 个部分。分析：用数学归纳法证明几何问题，主要是搞清楚当 n=k+1 时比 n=k 时，分点增加多少，区域增加了几块，本题中第 k+1 个圆被原来的 k 个圆分成 2k 条弧，而每一条弧把它所在的部分分成了两部分，此时共增加了 2k 个部分，问题得到了解决。证明：（1）当 n=1 时，一个圆把平面分成两部分，1 2-1+2=0，命题成立。（2）假设当 n=k 时命题成立（k ）,k 个圆把平面分成 k2-k+2 个部分。当 n=。

17、节选张顺燕主编的心灵之花面试中的数学归纳法论一道微软面试题的数学思考在微软的一次面试中，面试官出了一道非常让人意外、非常经典的题目，就是“一个屋子里面有五十个人，每个人领着一条狗，而这些狗中有一部分病狗(不少于一条) 。假定有如下条件：一、狗的病不会传染，也不会不治而愈。也就是说病狗的数量一直不会改变；二、狗的主人不能看见自己的狗是否有病，但是狗的主人只有通过别人的狗是否有病才可以看出自己的狗生病了没有；三、一旦主人发现自己的狗肯定是一只病狗，就会在当天开枪打死这 条狗；四、狗必须由他的主人亲自动手。

18、竞赛讲座 17-数学归纳法基础知识数学归纳法是用于证明与正整数 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方n法在数学竞赛中占有很重要的地位1数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果)(nP当 （ ）时， 成立；0N)(nP假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据,(0k1k)(nP对一切正整数 时， 成立n)(（2）第二数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果)(P当 （ ）时， 成立；0nN)(nP假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据,(0k1k)(nP对一切正整数 时， 成立)(2数学归纳法的其他形式（1）跳跃数。

19、1竞赛中的数学归纳法（一）数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果:)(nP当 （ ）时， 成立；0N)(nP假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据对一切正,(0k1k)(nP整数 时， 成立0n)(P例 1 （07 江西理 22）设正整数数列 满足： ，且对于任何 ，有na24*nN1122nnaa（1）求 ， ； （2）求数列 的通项 13 nan解：（1）据条件得 当 时，11()2nnna1n由 ，即有 ，解得 因为 为正整数，2121a1124a1837a1a故 当 时，由 ，解得 ，所以 1n336a38039（2）由 ， ， ，猜想： 下面用数学归纳法证明:1a2492na1 当 。