1、1等差和等比数列名称 等差数列 等比数列定义 an - an-1 = d (n2) (n2)qa1n通项公式an = a1 + (n-1)d= am + (n-m)d nN *an = a1q n-1 = amq n- m nN *递推公式 an - an-1 = d , an = an-1 + d an = an-1q , 1n前 n 项和 2)1(2)(S1n1 qa)(Sn1已知 Sn求 an 1n 2a1nn中项 a, A,b 成等差数列， 2baAa,A,b 成等比数列， abA,2性质 1 若项数 m + n = p + q ,则 am +an = ap + aq若项数 m + n
2、 = p + q ,则 am an = ap aq性质 2an为等差数列，公差 d= K 2dSk = a1 + a2 + a3 + +akS2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 + +a2kS3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k+3+a3kan为等比数列，公比 q= q kSk = a1 + a2 + a3 + +akS2k- Sk = ak+1 + ak+2 + ak+3 + +a2kS3k-S2k = a2k+1 + a2k+2 +a2k+3+a3k性质 3anbn为等差数列，S n,Tn为前 n 项和： 1n2Tb性质 4|q|0, an+10,求出
3、 n,再求 Sn ;配方 Sn = an2 + bn 2= a(n+ a4b)22求通项的方法（1） 转化法（转化成等差和等比）1、 已知数列a n的各项为正数，满足 2sn=3an-3 ,求（1） 数列a n的的通项公式；2、 已知数列a n的各项和为 sn，满足 2sn-1sn+an=0 , 求（1）求证：2,1a；（2） 数列a n的的通项公式；是 等 差 数 列ns13、 在a n中，a 1=2,an+1=3an+24、 在a n中，a 1=1,an+1=3an+24n5、 在a n中，a 1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0（2） 叠加和叠乘1、在 数 列 里 ，
4、第 n 项 及 前 n 项 和 满 足 ， 求 数 列n 1),2(2anSn的 通 项 公 式naa2、在 数 列 里 ，n1 )()1(321ann求 数 列 的 通 项 公 式aa（3） 构造法1、在数列 n中， 111,()2nna（I）设 ab，求数列 b的通项公式； （II）求数列 na的前 项和 nS2、在数列 中， ，其中 n 1112()()nnN， 0（）求数列 的通项公式；（）求数列 的前 项和 ；ann3、设数列 n的前 项和为 ,nS 已知 1,a142Sa（I）设 12nb，证明数列 b是等比数列 （II）求数列 a的通项公式。（4）已知求 求 anS1、设数列 的
5、前 项的和3，14233nnSa,A（）求首项 与通项 ；（）设 ， ，证明：1n2nTS1,3A132niT2、数列 的前 项和为 ，已知nanS21,naa（）写出 与 的递推关系式 ，并求 关于 的表达式；S13、数列 an中， a15, an an1 an2 a2 a1, (1) 求通项公式 an； (2) 求 .n214、已知数列 n的前 n 项和 1()nSa（n 为正整数）。（）令 2nba，求证数列 b是等差数列，并求数列 n的通项公式；（）令 1nnc，12.nnTcc求和的方法（1） 列项相消1、设数列 na满足 10且 1.nna（）求 n的通项公式；（ ）设11,1.n
6、n knabbS记 S证 明 ：2、等比数列 a中， 123,a分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 123,a中的任何两个数不在下表的同一列第一列 第二列 第三列第一行 3 2 10第二行 6 4 14第三行 9 8 18（）求数列 na的通项公式；（）若数列 b满足： (1)lnna，求数列 nb的前 n 项和 nS解：（I）当 13时，不合题意；当 2a时，当且仅当 236,8时，符合题意；当 10时，不合题意。4因此 123,6,18,aa所以公式 q=3，故1.n（II）因为 ()lnnba11123()23l()lnn3,n所以 21 22(3)(1)ln3)125(1)ln3
7、,nnS 所以当 n 为偶数时，3l12nnS3l;2当 n 为奇数时，312(ln23)()ln31nS13l.综上所述， ln,21nS为 偶 数3-l-为 奇 数3、（天津 2011）已知数列 na与 b满足： 123(1)0,2nnnnaba， *nN，且 12,4a（）求 345,的值；（）设*1,nncN，证明： nc是等比数列；（III）设*242,kkSa证明：4*17()6kSnNa（I）解：由*3(1),nnbN5可得1,nb为 奇 数2为 偶 数又 10,nnaa231234435 ;5;.当 =时 ,+=由 ,可 得 a当 时 ,可 得当 时 ,可 得（II）证明：对任
8、意*,nN21210naa 2120,nna3,n ，得 23.na将代入，可得 21321()nn即*1()ncN又 3,0,na故 c因此1,nnc所 以是等比数列.（III）证明：由（II）可得 21()kka，于是，对任意 *kN且 ，有1357231,(),(1).kkaa将以上各式相加，得 21()(),ka即121()kk，此式当 k=1 时也成立.由式得12()3).kk从而 246842()(),k kkSaaa13.k6所以，对任意*,2nN，44341112( )nkmmSSSaaa12( )3nm1( )(2)2nm2533(1)()nmn21()(2)n5113( )
9、357(2)nn 1362(2)7.n对于 n=1，不等式显然成立.所以，对任意*,nN2112nSSaa 321124()()()nSa2211()()()4(4(n221()()()4nnn.43n（2）错位相减1、已知数列a n满足 a10，a 22，且对任意 m、nN *都有7a2m1 a 2n1 2a mn1 2(mn) 2（）求 a3，a 5；（）设 bna 2n1 a 2n1 (nN *)，证明：b n是等差数列；（）设 cn(a n+1a n)qn1 (q0，nN *)，求数列c n的前 n 项和 Sn.解：(1)由题意，零 m2,n 1,可得 a32a 2a 126再令 m3
10、,n1，可得 a52a 3a 1820 (2)当 nN *时，由已知(以 n2 代替 m)可得a2n3 a 2n1 2a 2n1 8于是a 2(n1)1 a 2(n1)1 (a 2n1 a 2n1 )8即 b n1 b n8所以b n是公差为 8 的等差数列(3)由(1)(2)解答可知b n是首项为 b1a 3a 16,公差为 8 的等差数列则 bn8n2，即 a2n+=1a 2n1 8n2另由已知(令 m1)可得an -(n1) 2.那么 an1 a n 22n1 82n12n于是 cn2nq n1 .当 q1 时，S n2462nn(n1)当 q1 时，S n2q 04q 16q 22nq
11、 n1 .两边同乘以 q，可得qSn2q 14q 26q 32nq n.上述两式相减得(1q)S n2(1qq 2q n1 )2nq n2 2nq n211()q所以 Sn212()nnq综上所述，S n 12()1()nnqA等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数(0xybr且 1,br均为常数)的图像上. 8（1）求 r 的值；（2）当 b=2 时，记 1()4nbNa 求数列 nb的前 项和 nT3、数列 na的通项 22(cosi)3n，其前 n 项和为 nS. (1) 求 S; (2) 3,4nb求数列 nb的前 n 项和 T.解: (
12、1) 由于 22cosicos3,故312345632132 22()()()()k kkSaaaak 8(9)2k,3134,2kkSa 23213(9)(31)321,6kkkk故 ,6(1)3,14,6nnSkn( *kN)(2) 39,2nnb144nT13,n两式相减得 1 231919944938,1242nnnn nT 故 2318.nn9数学归纳法1、在数列 na中， 1=1， 112*nnacN，其中实数 0c。求 的通项公式；2、等比数列 na的前 n 项和为 nS， 已知对任意的 nN ，点 (,)nS，均在函数(0xybr且 1,br均为常数)的图像上.（1）求 r 的
13、值； （11）当 b=2 时，记 2(log1)(nnba . 证明：对任意的 nN ，不等式 12n成立3、设函数 数列 满足 ， ()lnfxxna101()nnaf（）证明：函数 在区间 是增函数；f(1)，（）证明： ；1na证明：（用数学归纳法）（i）当 n=1 时， ， ，10a1ln02111()lf由函数 在区间 是增函数，且函数 在 处连续，则 在区间 是x(0)， ()fx()fx(01，增函数， ，即 成立；211lnafa12a（）假设当 时， 成立，即(*)xkNk110ka那么当 时，由 在区间 是增函数， 得nf(0， .而 ，则 ，1()(kkfaf1)nnaf
14、121(),()kkkaff，也就是说当 时， 也成立；12 kn根据（）、（）可得对任意的正整数 ， 恒成立.1104、数列 22122,(1cos)sin,1,3.nnaaa满 足()求 并求数列 的通项公式；34,()设 证明：当2112,.nnbSba 62.nS时 ，解: ()因为 所以12,2311(cos)i,aa4 2(cos)in4.一般地，当 时，*(N)nk22121()cssink ka ，即21ka21.ka所以数列 是首项为 1、公差为 1 的等差数列，因此21.k当 时，*(N)nk222(cos)sink kaa所以数列 是首项为 2、公比为 2 的等比数列，因此2ka 2.k故数列 的通项公式为n*21,(N),.nka()由()知， 21,nb23,nnS24112n n-得， 2311.n nS11().212nn所以 2.nnnS要证明当 时， 成立，只需证明当 时， 成立.6S6n(2)1n证法一(1)当 n = 6 时， 成立.6(2)483111(2)假设当 时不等式成立，即(6)nk(2)1.k则当 n=k+1 时， 13()3()31.2()2kk k A由(1)、(2)所述，当 n6 时， .即当 n6 时，21.nS
