1、数学归纳法在高等代数中的应用内容摘要：文章主要通过实例介绍了数学归纳法在多项式、排列、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换等方面的应 用简单的做了汇总， 说明了数学 归纳法在解决高等代数实际问题中的重要作用.关键词：数学归纳法 高等代数 应用在高等代数课本中我们经常用第一数学归纳法和第二数学归纳法来证明许多的定理，但是课本中却没有数学归纳法明确的定义.因为在上高等代数课老师讲到数学归纳法时讲数学归纳法有好几种（查看附录），我就对这个课题产生了兴趣，所以写了这个课题.数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它是用来证明与自然数 有关的命题.而在高等代n数中，行列式的阶、多项式的元、矩阵的行
2、与列、线性方程组的未知量、二次型的元、线性空间的维数均与自然数有关,因此数学归纳法在高等代数中的应用非常重要.本文将第一数学归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用做叙述.一数学我归纳法概念【18】【19】1第一数学归纳法：设 是关于自然数 的命题，若()Pnn（1） 在 时成立；1（2）在 （ 是任意自然数）成立的假定下，可以推出 成立，则()k (1)Pk对一切自然数 都成立.Pnn2第二数学归纳法：设 是关于自然数 的命题，若，()nn（1） 在 时成立;()P11（2）在 （ ,其中 是任意自然数）成立的假定下，可以推出 成立，()Pk1nk (1)Pk则 对一切自然数 都成立.n二、
3、数学归纳法的应用（一） 数学归纳法在多项式中的应用例 1 【 7】 【12】 【14】 每个次数 的实系数多项式在实数域上都可以唯一的分解成一次因式1与二次不可约因式的乘积.证明：对次数 作第二数学归纳法.n对一次多项式显然成立.假设对次数 的多项式已经证明.设 是 次实系数多项式.有代数基本定理， 有一个复根 如果 是实数,()fx ()fx那么 ，其中 是 次实系数多项式.如果 不是实数，那么1()f1()fxn也是 的根且 .于是 .()fx2()(xf显然 是一实系数二次不可约多项式.从而2)()x是 次实系数多项式.由归纳法假定， 或 可以分解成一次与二次不可2()fxn1()fx2
4、f约多项式的乘积，因之 也可以如此分解. ()fx例 2 【9】 【10】 【17】 已知 是不全部为零的多项式,其中121,()sfx（1） ，存在多项式1(),(,()ssfxfxf 1,(),ssfxf，使 .2suu 1()()()s sxu 证：对 用第二数学归纳法当 时，结论显然成立.假定对 个多项式结论成立，即存在多项式，使 (2)（11(),()skx 11111()()(),()ss skxfkxffxfdx 为 的一个公因式）.d2,sf再证对 个多项式结论也成立.s由于 （ 为 的一个公因式） ，故存在1(),()xfdx(1),()sfxf，使 .),su1 1,)s
5、sudfx把（2）式代入（1）式，得121 111()()()()(),()sss suxkfuxkfxufxffx 或 .1,sss sf 其中 .()(),2,iixk例 3 【8】设 及 为 个多项式，而且1,mffx 1()()ngx m.()(,;,ijfxgij 证明: .121121)()()()mnffxxgx 证：对 用第二数学归纳法.当 时，再对 用第二数学归纳法.n当 时，结论当然成立，因为有 .n1(),(fx假定 时，结论成立，即有 .121()nggx但是 ,(),(nfxg故由(若 得 )知，)1(),1fxfhx(),(fxh有 .12),(nfxg即 时结论成
6、立.m假定结论对 成立，即有 .11121()(),()()mnfxfgxgx 再根据 时成立的结论,有 ,得21,n.即结论对 成立。121121()(),()()mnfxfxgxx m从而有数学归纳法原理知，结论对任意正整数 均成立.,（二） 数学归纳法在行列式中的应用例 4 【6】 【9】 【13】设 及 为数码 得任意两个排列.1ni 1nj ,2n证明：总可以通过对换把一个变成另一个，且若二者奇偶性相反（相同） ，则必须用奇(偶）数个对换.证：对数码个数 用第二数学归纳法.当 时结论显然成立.2n假定对 个数码结论已成立.下证对 个也成立.1n若 ,则 与 是 个数码的排列，按归纳假
7、设他们可以通过对换互ij2ni 2nj 13化，亦即 与 可通过对换互化.12ni 12nj如果 ,设 ,则 通过对换（ ）化成 ,它与 就i12i 1i21ini 12nj是上面情形.所以又可通过对换把 化为 .1in nj又由于对排列每施行一次对换都改变排列的奇偶性，故当 与 的奇偶性相反时，只能通过奇数个对换把一个变成另一个；而12ni 12nj当二者奇偶性相同时，只能通过偶数个对换把一个变成另一个.例 5 【14】 【17】 行列式 （1）称为 级的范德蒙德行列式.12321123nnnnaad证明：对任意的 ， 级范德蒙德行列式等于 这 个数的所有可能的差(2)n12,na的乘积.1
8、ijai我们对 作第一数学归纳法.当 时， ，结论是对的.2n211a设对于 级的范德蒙德行列式结论成立，现在来看 级的情况.n在（1）中，第 行减去第 行的 倍，第 行减去第 行的 倍.也就是由n121a下而上依次的从每一行减去它上一行的 倍，有a21311221121222330 nnnnnnaada 221311222nnnnaaa4.后面这行列式1232213122131()() nnnnnaaa 是一个 级的范德蒙德行列式，根据归纳假设，它等于所有可能差n(2)ijai的乘积；而包含 的差全在前面出现了.因之，结论对级范德蒙德行列式也成立.根据数学1a归纳法，完成了证明.例 6 【1
9、1】 【12】设 ,证明：120n= .23111n naaa 121(+)nia证：对行列式的阶数 用第二数学归纳法.n当 时可以直接验算结论成立.2n假定对这样的 阶行列式结论成立，进而证明对阶数为 时结论成立.按 的最后一列，把 拆成两个 阶行列式相加：nn11 22 11 011n nnaa a = .2n-11na 但由归纳假定， ，从而有112(+)nniaa 11212()nnnia = . 1211(+)nnia例 7 证明：512312(1)1nnnnxDxxx证：对 用第一数学归纳法.当 时显然成立.2n假定对 成立，下证对 也成立.1n按第一列把 表示成两个行列式相加，再
10、由归纳假设即得nD2312310121nxxnxx =1233112()2111nnxxx = 2 1()()()nnnxx= .n（三）数学归纳法在矩阵中的应用注：数学归纳法不仅可以在证明题中运用还可以在计算题中运用.在计算题中用到时首先用不完全归纳法猜想出结果，再用数学归纳法证明其结果正确.例 8 【7】 【12】 【14】计算 .10n解：利用不完全归纳法可猜想到 ，121()100nnn6下面用第一数学归纳法证明.当 时，有 ，即结论成立.2n21210假设对于 ，结论成立，即 .123121()()100nnnn 则对于 ，有n11000nn123121()() 100nnnn .1
11、21()0nnn故 .121()100nnn例 9 【12】 【14】设 是一 矩阵， ，求证： 可以表成 这一类初等矩An1A(,)Pijk阵的乘积.证明：用第一数学归纳法.当 时，结论成立.2n假定对于 结论成立，可推证当 时的结论.1n7 若 ，则10a111122 221 1n nnnnnaaAr .2221210()nnnnabra .即 可以通过一系列第三种初等变换化成 ，由于第三种初等变10B AB换不改变行列式的值，因此 .又 是 级矩阵，由归纳假设有， 可11Bn1B以用第三种初等变换化成单位矩阵 ，因而 也可以用第三种初等变换化成 ，这就是说，EE可以用一系列第三种初等变换
12、化成 ，所以 可以表示成 这一类初等矩阵的AA(,)Pijk乘积.若 ，则由 可知， 的第一列至少有一个 ，不妨设10a10A10()ia，则 这就化成了的情形，21122 2121121 ()n nnn nnaraa 结论也成立.综上，结论成立.（四）数学归纳法在二次型中的应用例 10 【7】 【12】 【14】数域 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和p的形式.221ndxdx证明：我们对变量的个数 作第二数学归纳法.对于 ，二次型就是 .已经是平方和了.现在假定对 元的二次型，n211()fa1n定理的结论成立.再设 .121(,)()nijijjiifxx分三种情况来讨
13、论：1） 中至少有一个不为零，例如 .这时(,)ian 10a821211122(,)nnnnji ijj ifxaxxaax2112nnj ijji11212 2()()nnnj j ijj jiaxaxaxax12122()nnj ijj ib这里 1222()nnnij j iji jibxaxax是一个 的二次型.令23,nx 112,njjnyxy即112njjnxyaxxy这是一个非退化线性替换，它使 .21212(,)nnijifxayby由归纳假定，对 有非退化线性替换2nijiby323233,nnnnzccyzy能使它变成平方和 .223ndzdz于是非退化线性替换 就使
14、变成122,nnycz 12(,)nfx2221213(,) nfxazdzdz 9即变成平方和了.根据归纳法原理，得证.2） 所有 ，但是至少有一 ，不失普遍性，设 .0ia10()ja120a令 .它是非退化线性替换，而且使12213,=,.nxzxz，这22121212111(,)() ,fxaazzaz 时上式右端 是的二次型，且 的系数不为零，属于第一种情况定理成立.,nz3） .1210a由于对称性，有 这时 .是21310naa 122(,)nijifxax元二次型，根据归纳法假定，它能用非退化线性替换变成平方和.1n这样我们就完成了证明.（五） 数学归纳法在线性空间中的应用例
15、11 【12】设 是数域 上 维线性空间 的一个 维子空间， 是 的WPnVm12,m W一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.也就是说，在 中必定可以找到 个向量n，使得 是 的一组基.12,mn 12,n证明：对维数差 作第一数学归纳法，当 ，定理显然成立，因为0已经是 的基.现在假定 时定理成立，我们考虑 的情12, Vmk1nmk形.既然 还不是 的一组基，它又是线性无关的，那么在 中必定有一个向12,m V量 不能被 线性表出，把 添加进去 必定是线性无ma 1ma121,ma关的.由于，子空间 是 维的.12(,)L因为 ，)nnk由归纳假设， 的基 可以扩充为整个空间的基
16、.121(,)ma 121,ma根据归纳法原理，定理得证.10例 12 【17】证明：如果集合 的代数运算 满足结合律，则对 中任意 个元素MM(3)n，只要不改变元素的前后次序，无论怎样结合，其结果都是相等的.12,na证: 对元素的个数 用第二数学归纳法 .当 时，结论当然成立.3假定对元素的个数少于 时结论成立，来证明对 个元素 也成立.nn12,na令 是由元素 按某种结合方法算得的结果.但由于不论怎样结合，其最后一A12,a步总是把两个元素结合起来，因此可设 ，其中 是前 个元素12Ab1k按某种加括号方法算得的结果， 是后 个元素12,()kan 2bn按某一种加括号算得的结果.由
17、于，故 由归纳假定，kn k，12212,kknbabaa 于是再由结合律及归纳假定可得 121212()()kknA 1()knaaa 1( .21()n 这就是说，这 个元素无论怎样结合，其结果都等于 ，从而它们121()naa 是相等的.例 13 【2】 【3】证明下面各组多项式都是次数低于 的多项式空间 的基：nnFx（1） ，为定数.(),01,iifxanaF（2） .12 0()0,1,()1.()i i ijxfxa 证：（1）因为 是 维的，故只需证 线段无关即可.对 用第nF(ifxn n二数学归纳法.当 时， 显然线段无关.假设 个 线性10()1fx1()0,12)if
18、x无关.设 ，取 ，则上式得 .2101 1()()()0nnkxakkxa a0k11把 代入上式后等式两端约去因式 得 .0kxa2121()()0nnkxakxa按归纳法假设 个 线段无关，所以上式得1n()0,in.因此 线性无关，从而是 的一组12kk (,)ifx nFx基.（2）对 用第二数学归纳法证明 线性无关.当 时，n()0,1)ifn 10()1fx显然线性无关.假设 个 线性无关.设1(),2)ifx， （1）012212() ()()0n nkxakakxaxa 比较等式两端 的系数，得到 .把它代入（1）有n0n.01222()()()0nkxkxx 由归纳假设 个
19、 线段无关，因此得 .nif 12nkk于是 线性无关.从而是 的一组基.011(),()fxx nFx例 14 【6】 【8】设 是线性空间 的 个非平凡的子空间.证明： 中至少有一个2sV VsV向量不属于 中任何一个.1,s证：对 用第二数学归纳法.s当 时，结论成立.2假定对 个非平凡的子空间结论成立，即在 中存在向量 ， V使 .,1,iVs对第 个子空间 ，若向量 ，结论已对；若 ，则由于 为非平凡子空间，sssssV故存在向量 使 .对任意数 ，向量sksV（如果 与 矛盾） ，且对不同的数 ，向量,()(s skVs 12,k不属于同一个 （如果 不属于同一个 ，12, 1)i
20、12,kiV则 ，得 与 矛盾）.2()()()kkViiV取 个互不相同的数 ，则 个向量s1,s12中121,sskk至少有一个不属于任何 ，这样的向量即满足要求.1sV（六）数学归纳法在线性变换中的应用例 15 【12】 【14】属于不同特征值的特征向量是线性无关的.证明：对特征值的个数作第二数学归纳法.由于特征向量是不为零的，所以单个的特征向量必然线性无关.现在设属于 个不同k特征值的特征向量线性无关，我们证明属于 个不同特征值 的特征向量1k121,也线性无关.121,k假设关系式 （1）成立.等式两端乘以，1210kkaa得 （2）.121kkka（1）式两端同时施行变换，即有 （
21、3）.2 10kkka（3）减去（2）得到 .11()()ka根据归纳假设， 线性无关，于是 .12,k 10,2,ikik但 ，所以 .这时（1）式变成 .又因为0()iki0,2,i 10ka，所以只有 .11ka这就证明了 线性无关.12,根据归纳法原理，得证.例 16 【9】 【10】 【11】设 是线性空间 的线性变换.证明：如果 ，但 ，TV1kTk则线性无关.1,(0)kT证：对 用第一数学归纳法.当 时，向量组即 ，当然是线性无关的.假定 时结论成立，下证km时成立：即设 ，但 ，即 .1kmkT1k1(),()TT于是由归纳假设 （1）相性无关.2,(),m而如果 （2）线性
22、相关，2,m13则 必可由（1）线性表示，设 ，两边施以 ，由于21mlTlT mT，故得 .这与 矛盾.故（2）必线性无关.mTmTk例 17 【4】 【7】设 是复数域上的一个 阶方阵.证明：复数域上任意一个 阶方阵都与一个Ann上三角矩阵相似.证：对阶数 用第一数学归纳法n当 时结论当然成立.假定对 阶结论成立，证明对 阶成立.11设 为任一 阶复方阵，由 （ ）知，存在可逆A1212120nnnbQA Q可 逆方阵 ，使 .1Q1212120nnnb由于 是 阶复方阵，故由归纳假设，存在 阶可逆方阵 ，使22nnbB 11n2Q.2312 *0nQ从而可逆方阵 ，使12Q1112 20
23、0nbAQB1212 *00nQ从而得证.（七）数学归纳法在 -矩阵中的应用14例 18 【2】 【8】 【17】设 为特征根是 的 阶若当块，1j n而 ，01()sfxaax证明： .(1)(2)(3)1()()()!2!(!() 1()(!)nnfffffJfff 证：可以用第二数学归纳法证明.，112mnmmCJ其中 ，而当 时认为 .于是(1)()kmk k0kmC.201() sfJaEJaJ将 代入上式后即得 的第 行第 列的元素为2,s ()fik.()0!skmkaCf所以 .(1)(2)(3)1()()()!2!(!() 1()(!)nnfffffJfff 15（八）数学归
24、纳法在欧几里得空间里的应用例 19 【12】 维欧式空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.n证明：设 是一正交向量组，我们对 作第一数学归纳法.12,m nm当 时， 就是一组正交基了.012,m假设 时结论成立，也就是说，可以找到向量 ，使得nk 12,k成为一组正交基.1212,mk 现在看来 的情形.因为 ，所以一定有向量 不能被n线性表出，作向量 .这里 是待12,m 112mmkk 12,mk定的系数.用 与 作内积，得 .i1(,)(,)(,)i iii取 .有 .由 的选择可知(,),2iik 1,0,2im .因此 是一正交向量组，根据归纳假定， 可10m121,m 12
25、1,m以扩充成一正交基.于是，命题得证.附录 四种数学归纳法数学归纳法的表达形式是有很多，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法和螺旋式归纳法.下面给出四种归纳法的定义.1第一数学归纳法：设 是关于自然数 的命题，若()Pnn（1） 在 时成立；()Pn1（2）在 （ 是任意自然数）成立的假定下，可以推出 成立，则k (1)Pk对一切自然数 都成立.()2第二数学归纳法：设 是关于自然数 的命题，若，()Pnn（1） 在 时成立;()Pn116（2）在 （ ,其中 是任意自然数）成立的假定下，可以推出 成立，()Pk1nk (1)Pk则 对一切自然数 都成立.n3、倒推归纳法（反向归纳法
26、）：设 是关于自然数 的命题，若：()Pnn（1）验证对于无穷多个自然数 命题 成立；（2）假设 成立，并在此基础上，推出 成立；(1)0Pk()Pk综合（1）（2），对一切自然数 ，命题 都成立.n()4、螺旋式归纳法：对两个与自然数 有关的命题 ，若：,()nQ（1）验证 时 成立；0n()P（2）假设 成立，能推出 成立，假设 成立，能推出 成立；k()k()k(1)Pk综合（1）（2），对一切自然数 ， 都成立.0n,PnQ而在本文中主要介绍第一数学归纳法和第二数学归纳法在高等代数中的应用.所以对与其他的归纳法不作进一步的讲解. 三、小结总之，在高等代数中还是在其他学科中，解题证明问题
27、时，我们常用数学归纳法证明这些问题,使得在解决问题是显得思路清晰,又能找出相应的递推关系,非常凑效.我们常把数学归纳法作为解题的一种重要的方法.用数学归纳法解决高等代数中的问题时，让我们更简便，更快的解决问题.参考文献：【1】 北京大学数学系.高等代数M.北京：高等教育出版社 .1988 年.【2】 张贤科，许甫华.高等代数M.北京：清华大学出版社 .2000 年.【3】 李师正.高等代数复习方法与技巧M.北京：高等教育出版社 .2005 年.【4】 杨子胥.高等代数习题解（上，下）.济南：山东科学技术出版社.2001 年 09 月.【5】 唐忠明，戴桂生.高等代数.南京：南京大学出版社.20
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30、关系J.2002 年 25（5）34-35.The application of Mathematical Induction method in Higher AlgebraAbstract: This article mainly introduced by examples using arrangement, mathematical induction in polynomial, determinant, matrix, the two type, linear space, linear transformation in the aspect, illustrates the mathematical induction is very important in solving algebra problems.Key words: Mathematical Induction Higher Algebra Application
