1、竞赛讲座 17-数学归纳法基础知识数学归纳法是用于证明与正整数 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方n法在数学竞赛中占有很重要的地位1数学归纳法的基本形式（1）第一数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果)(nP当 （ ）时， 成立；0N)(nP假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据,(0k1k)(nP对一切正整数 时， 成立n)(（2）第二数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果)(P当 （ ）时， 成立；0nN)(nP假设 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据,(0k1k)(nP对一切正整数 时， 成立)(2数学归纳法的其他形式（1）跳跃数学归纳法当 时， 成立，l
2、n,3,)(,3),2(1lPP假设 时 成立，由此推得 时， 也成立，那么，根据对k)(knn一切正整数 时， 成立1n（2）反向数学归纳法设 是一个与正整数有关的命题，如果)(nP 对无限多个正整数 成立；n假设 时，命题 成立，则当 时命题 也成立，那么根据k)(kP1k)1(kP对一切正整数 时， 成立13应用数学归纳法的技巧（1）起点前移：有些命题对一切大于等于 1 的正整数正整数 都成立，但命题本身对n也成立，而且验证起来比验证 时容易，因此用验证 成立代替验证 ，0nn01n同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点（2）起点增多：
3、有些命题在由 向 跨进时，需要经其他特殊情形作为基k础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设 时命题成立”不可，kn需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明5归纳、猜想和证明在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严
4、格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法例题分析例 1用数学归纳法证明：（ ）31)21()7(4)( n 1,*nN例 2已知对任意 ， ， 且*Nn0a，求证： 221331 )(naa n例 3如果正整数 不是 6 的倍数，则 不是 7 的倍数1986例 4设 都是正数，证明 na,21 nnaaa 212例 5已知函数 的定义域为 ，对于区间 内的任意两数 均有)(xf,b,bdc,求证：对于任意 ，均有2)(dcdcf ,21axn)()(1)21 nn fx
5、ffxxf 例 6 试证：对一切大于等于 1 的自然数 都有2sin1cos2cos21 例 7 试证：对一切自然数 （ ）都有 n12例 8证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于 5 个的正方形例 9设 ， ， ，求证：对一切 均有10aaan1Nn1na例 10已知 ， ，求证：对一切 ， 都是整21 nn121)( n数例 11设 ，是否存在关于正整数 的函数 使等式nf3)( n)(g对于 的一切自然数都成立？并证明你1)(12)1( nfgf 2的结论例 12设整数数列 满足 ， ， ，且na12a03证明：任意正整数 ， 是一个整数的平方nna123 n14na例 13设 为正数（
6、 ） ，证明：nx, 12112432321 nxxx nn例 14已知 ， （ ） ，求证： 1a2na,*N309a例 15整数列 （ ）满足 ，且有n1,*7,21求证： 时， 是奇数2211na2na训练题1证明 时， 能被 31 整除N1532n2设 不小于 6 的自然数，证明：可以将一个正三角形分成 个较小的正三角形n n3用数学归纳法证明： 2411n4设 为自然数，求证： 325对于自然数 （ ） ，求证： nnn)(16已知 ， ，求证：对于一切 ， 是整数121anna21 *Nna7设有 个球分成了许多堆，我们可以任意选甲、乙两堆来按照以下规则挪动：若n甲戴盆望天的球数 不小于乙堆的球数 ，则从甲堆拿 个球放堆乙堆，这样算是挪动一pqq次证明：可以经过有限次挪动把所有的球合并成一堆8已知数列 满足： ， ， （na3182a 20453)(4221 nann） ，试证： 3nn2
