1、学优中考网 初中数学竞赛辅导资料（14）经验归纳法甲内容提要1通常我们把“从特殊到一般”的推理方法、研究问题的方法叫做归纳法。通过有限的几个特例，观察其一般规律，得出结论，它是一种不完全的归纳法，也叫做经验归纳法。例如由 ( 1)2 1 ， （ 1 ） 3 1 ， （ 1 ） 4 1 ，归纳出 1 的奇次幂是 1，而 1 的偶次幂 是 1 。由两位数从 10 到 99 共 90 个（ 9 10 ） ，三位数从 100 到 999 共 900 个（910 2） ，四位数有 91039000 个（910 3） ，归纳出 n 位数共有 910n-1 (个) 由 1+3=22, 1+3+5=3 2,
2、1+3+5+7=4 2推断出从 1 开始的 n 个連续奇数的和等于 n2 等。可以看出经验归纳法是获取新知识的重要手段，是知识攀缘前进的阶梯。2. 经验归纳法是通过少数特例的试验，发现规律，猜想结论，要使规律明朗化，必须进行足夠次数的试验。由于观察产生的片面性，所猜想的结论，有可能是错误的，所以肯定或否定猜想的结论，都必须进行严格地证明。 （到高中，大都是用数学归纳法证明）乙例题例 1 平面内 n 条直线，每两条直线都相交，问最多有几个交点？解：两条直线只有一个交点， 1 2第 3 条直线和前两条直线都相交，增加了 2 个交点，得 12 3 第 4 条直线和前 3 条直线都相交，增加了 3 个
3、交点，得 123 第 5 条直线和前 4 条直线都相交，增加了 4 个交点，得 1234第 n 条直线和前 n1 条直线都相交，增加了 n1 个交点由此断定 n 条直线两两相交，最多有交点 123n1（个） ，这里 n2，其和可表示为1+（n+1） , 即 个交点。)(例 2符号 n！表示正整数从 1 到 n 的連乘积，读作 n 的阶乘。例如5！12345。试比较 3n 与（n+1）！的大小（n 是正整数）解：当 n 1 时，3 n3, （n1）！122当 n 2 时，3 n9， （n1）！1236当 n 3 时，3 n27, （n1）！123424学优中考网 当 n 4 时，3 n81, （
4、n1）！12345120当 n 5 时，3 n243, （n1）！6！720 猜想其结论是：当 n1，2，3 时，3 n（n1）！，当 n3 时 3n（n1）！。例 3 求适合等式 x1+x2+x3+x 2003=x1x2x3x2003 的正整数解。分析：这 2003 个正整数的和正好与它们的积相等，要确定每一个正整数的值，我们采用经验归纳法从 2 个，3 个，4 个直到发现规律为止。解：x 1+x2=x1x2 的正整数解是 x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3 的正整数解是 x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4 的正整数解是 x1=x2=1,x3=2,
5、x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5 的正整数解是 x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6 的正整数解是 x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6由此猜想结论是：适合等式 x1+x2+x3+x 2003=x1x2x3x2003 的正整数解为x1=x2=x3=x 2001=1, x 2002=2， x 2003=2003。丙练习 141 除以 3 余 1 的正整数中，一位数有个，二位数有个，三位数有个，n 位数有个。2 十进制的两位数 可记作 10a1a 2,三位数 记作 100a1+10a2+a3,四位数
6、21a321a记作，n 位数 记作431a3 由 132 3（12） 2，1 32 33 3（123） 2，1 32 33 34 3（） 2 ,1315 2，1 32 3n 3=( )2。4 用经验归纳法猜想下列各数的结论（是什么正整数的平方） （） 2； ； （ ） 2。个 10 25 1n个 2n （） 2； （） 2996 565 把自然数 1 到 100 一个个地排下去：1239101199100 这是一个几位数？这个数的各位上的各个数字和是多少6计算 2314209（提示把每个分数写成两个分数的差）7a 是正整数，试比较 aa+1 和(a+1) a 的大小.8. 如图把长方形的四条边
7、涂上红色，然后把宽 3 等分，把长 8 等分，分成 24 个小长方形，那么这 24 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个。本题如果改为把宽 m 等分,长 n 等分(m,n 都是大于 1 的自然数)那么这 mn 个长方形中，两边涂色的有个，一边涂色的有个，四边都不着色的有个9把表面涂有红色的正方体的各棱都 4 等分，切成 64 个小正方体，那么这 64 个中，三面涂色的有个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有学优中考网 个。本题如果改为把长 m 等分,宽 n 等分,高 p 等分， （m,n,p 都是大于 2 的自然数）那么这 mnp个正方体中，三面涂色的有
8、个，两面涂色的有个，一面涂色的有个，四面都不涂色的有个。10一个西瓜按横，纵，垂直三个方向各切三刀，共分成块，其中不带皮的有块。11已知两个正整数的积等于 11112222，它们分别是，。丙练习 14 参考答案：1. 3，30，310 2，310 n-12. 10n-1a1+10n-2a2_+10a n-1+an4. 33333 2, 个n 位9234， 位n2345.192 位，901 位（50 个 18，加上 1）6. 12 207. a=1,2 时，a a+1(a+1)a 8. 4,14,6； 4, 2m+2n-8, (m-2)(n-2)9. 8,24,24,8； 8，4（m2）（n-2）+(p-2),2（m-2）(n-2)+(m-2)(p-2)+(n-2)(p-2),(m-2)(n-2)(p-2) 10. 64,8 11. 3334学优中考网 学优 中 考，网
