1、数学归纳法的理论依据数学教学改革实验与理解能力培养我们在中学教数学归纳法时，经常碰到一些勤于思考的学生提出：“数学归纳法的理论依据是什么？”这个问题在高等代数中早有论述，但中学生一般还很难看懂。为了保护学生们的好奇心、求知欲望和探索精神，提高与发展学生的领会理解能力，我们以数学课外活动的方式，开设“数学专题讲座” ，给这个问题作出深入浅出的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。1962 年我国著名数学家华罗庚教授在一次讲话中说：“简单朴素的数的性质，成为数学概念和方法的一个重要源泉。 ”数学归纳是用来证明某些与自然数 n 有关的数学命题 P（n）的重要方法。它的理论依据就必定与自然数的基本
2、性质有关。1889 年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数集的公理体系，揭示出自然数集 N 的基本性质。这五条公理是（1）1 属于自然数集 N，即 ；（2）若 ，则有且仅有一个自然数紧跟在 a 后面，记为 a+1；（3）若 a 属于自然数集 N，即 ，则 ；（4）设 ， ，当 x+1=y+1 时，x=y；（5）若 M 是 N 的一个子集，具有下面两个性质：1） ；2）若 ，有 ，则 M=N。依皮亚诺公理，有 ，1+1 记为 2，则 2 ，2+1 记为 3，则，3+1 记为，则 4 ，则依此递推，便得自然数集。事实上，我们数自然数时，第一个数便是 1，这就是公理 1。公理 2 说明，任何自然数 a
3、 都有唯一确定的后继数 a+1。公理 3 说明，1 是自然数中唯一不是后继数的数；1 是自然数集 N 中的最小数。公理 4 说明，除 1 以外，每个自然数都是一个唯一确定的自然数的后继数。公理 5 说明，从 1 开始，一直数下去，以至无穷，便得到所有的自然数。这个公理 5，又称为归纳公理，它就是数学归纳法最原始的理论依据。二、最小数原理与数学归纳法原理。依皮亚诺公理，自然数集 N 有最小数 1。这个性质加以推广，便得 “最小数原理” 。定理一、自然数集的任意非空子集必有一个最小数。证明：设 A 是自然数集的任意非空子集。在 A 中任意取出一个数 m。依皮亚诺公理，从 1 到 m 共有 m 个自
4、然数，则 A 中不超过 m 的数最多有 m 个。因为这是有限个数，则其中必有一个最小数 K。K 对于 A 中不超过 m 的数来说最小。而 A 中其余的数都比 m 大，因而更比 K 大，所以，K 就是 A 中的最小数。例 1、用“最小数原理”证明证明：假设至少存在一个自然数 m，使得上述等式 P（m）不成立。令 S表示所有使等式 P（m ）不成立的那些自然数 m 的集合。因为当 n=1 时，等式 P（ 1）显然成立，则 ，所以，S 是 N 的一个真子集。又由假设得，S 是非空的。依最小数原理，S 中必有一个最小数 K，使得 P（K）不成立。且 K1。因为 K-1K+1 成立，两边同时加上 1，得 K+1K+2 也成立。但不能断定“任何自然数都大于它的后继数” 。因为它缺乏递推的基础，论断的真实性不一定可靠。事实上，当 K=1 时，11+1 显然不成立。注：本文原为我在新化二中，以数学课外活动方式，举办“数学专题讲座”的讲稿，发表于湖北中学数学1984 年第 10期。后来，我又在 中学数学等刊物中相继发表几篇关于数学归纳法的论文，发展成数学归纳法浅析书稿，共 15万字，由湖南数学会常务副理事长、湖南教育学院院长欧阳录教授作序，以待出版。本文是该书稿的第二章。
