基本导数公式与高阶导数

1、2020年5月14日星期四 一 高阶导数及其运算法则 一阶导数的物理意义 于是瞬时加速度 例如 二阶导数的物理意义 现实背景 即平均加速度 2020年5月14日星期四 Def 2020年5月14日星期四 例1 结论 2020年5月14日星期。

2、第2.2节 高阶偏导数、方向导数与梯度,二、方向导数,三、梯度,一、高阶偏导数,作业 习题5.2(A) 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25,一、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数：,（混合偏导数）,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,3/23,例1. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数。

3、1 2常数函数与幂函数的导数及导数公式表 基本初等函数的导数 注意 1 求函数的导数 一般不用定义 而主要应用导数公式 这就要求必须熟记常见函数的导数公式 2 应用公式时 一定要遵循 先化简 再求导 的基本原则 练习 名师点评 求函数在某一点处的导数需要先对原函数进行求导 再将变量值代入导函数求解 练习 答案 2 再见 练习 。

4、 3 5 3 5 1高阶导数与高阶微分的概念 机动目录上页下页返回结束 高阶导数与高阶微分 第3章 3 5 2高阶导数与高阶微分的运算法则 3 5 1高阶导数与高阶微分的概念 其瞬时为速度为 即 其加速度为 即 引例 变速直线运动方程为 机。

5、基 本 求 导 法 则 与 导 数 公 式 、 微 分 公 式（ 先 写 左 侧 ， 再 得 出 右 侧 ）1.常 数 和 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 和 微 分 公 式0)( C 1)( nn nxx dxnxxd nn 1)( xx cos)(sin xdxxd cos)(sin xx sin)(cos xdxxd sin)(cos xx 2sec)(tan xdxxd 2sec)(tan xx2csc)(cot xdxxd 2csc)(cot xxx tansec)(sec xdxxxd tansec)(sec xxx cotcsc)(csc xdxxxd cotcsc)(csc aaa xx ln)( )1,0( aa adxaad xx ln)( )1,0( aaxx ee )( dxeed xx )(axxa ln1)(log )1,0( aa dxaxxd a ln1)(log )1,0( aaxx 1)(ln dxxxd 1。

6、四、基本求导法则与导数公式 . 基本初等函数的导数公式和求导法则 基本初等函数的求导公式和上述求导法则，在初等函数的基本运算中起着重要的作用，我们必须熟练的掌握它，为了便于查阅，我们把这些导数公式和求导法则归纳如下： 基本初等函数求导公式 (1) 0)(C (2) 1)(x(3) xcossin (4) sinco(5) 2e)(ta(6) xx2c)(t(7) xxtansc (8) otscs(9) l)( (10) (e)x(11) axaln1log(12) 1ln，(13) 21)(rcsi(14) 21)(arcosxx(15) 2(artn)x(16) 2(rt)函数的和、差、积、商的求导法则设 )(xu， )(v都可导，则（1） )( （2） uC)(（ 是常数）（3） vu（。

7、 7 5高阶偏导数与高阶全微分 一 高阶偏导数 二 高阶全微分 三 二元函数的泰勒公式 一 高阶偏导数 例1 解 先求一阶偏导数 因此 例2 解 例3 解 因此 由此可得 从而 二 高阶全微分 例4 解 记 因此 三 二元函数的泰勒公式 定。

8、第二节 偏导数与高阶偏导数,一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数,一、偏导数的定义及其计算法,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如 在 处,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在 连续.,一元函数中在某点可导 连续，,多元函数中在某点偏导数存在 连续，,4、偏导数的几何意义,如图,几何意义:,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,二、高阶偏导数,解,原函数图形,偏。

9、主要内容,一、基本初等函数的导数 二、函数四则运算求导法则 三、复合函数求导法则 四、隐函数求导法则,一、常数和基本初等函数的导数,二、函数的四则运算的求导法则,证(3),推论,例1,解,例2 求函数,的导数.,解,例3,解,同理可得,例4,解,同理可得,定理3,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),三、复合函数的求导法则,推广,例6,解,解,例。

10、2019/11/14,1,第八节 高阶导数与高阶微分,一、高阶导数的定义,二、高阶导数求法举例,三、高阶微分,2019/11/14,2,一、高阶导数的定义,问题:变速直线运动的加速度.,定义,记作,2019/11/14,3,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,2019/11/14,4,二、高阶导数求法举例,例1,解,1.直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,2019/11/14,5,例2,解,同理可得,2019/11/14,6,例3,解,同理可得,2019/11/14,7,例4,解,特别地,2019/11/14,8,例5,解,注意,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析。

11、1,3.1 导数的概念,第三章 导数与微分,3.2 求导法则,3.3 基本导数公式与高阶导数,3.4 函数的微分,3.5 导数在经济学中的简单应用,2,3.3 基本导数公式 与高阶导数,3/30/2018,3,3/30/2018,4,3/30/2018,5,3/30/2018,6,3/30/2018,7,解:,注意, 当 k = n 时,3/30/2018,8,综上所述：,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并，分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)逐阶求导，寻求规律，写出通式,3/30/2018,9,对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶导数均为 0 .,。

12、2.2 导数的基本公式与运算法则,2.2.1基本初等函数的导数公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外还有反三角函数的导数公式：,例1 求下列函数的导数：,定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，,在 x 处也可导，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);,2.2.2导数的四则运算,且,则它们的和、差、积与商,推论 1 (cu(x) = cu(x) (c 为常数).,推论 2,乘法法则的推广：,补充。

13、 3 4高阶导数与高阶微分 定义3 4 1 x0二阶可导 且称 若函数y f x 的导函数在x0可导 则称y f x 在 x0的 在x0的导数为y f x 在 若函数y f x 在区间I内每一点都二阶可导 二阶导数 记作 则称它在I内二阶可。

14、1 微积分I 教师 陈新宏单位 数学与计算科学学院 2 3 5高阶导数与微分 一 高阶导数二 微分 3 复习 函数求导的基本方法 1 求导定义与基本求导公式 2 求导四则运算与复合规则 3 隐函数求导与对数求导法 4 一 高阶导数 引例 函。

15、第三章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 柯西积分公式和高阶,一、柯西积分公式,二、高阶导数公式,三、调和函数,导数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,解析，,一、柯西积分公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,解析，,二、高阶导数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式,常用于计算积分：,这两个积分的被积函数分别为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,计算积分,解：,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,计算积分,解：,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,计算积分,解：,内解析，,所以,。

16、第三章 复变函数的积分,第3节 柯西积分公式,柯西积分公式,高阶导数公式,设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0B,在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向),绕z0的任一正向简单闭曲线, 则,设C为B内,B,C,一、柯西积分公式,定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内部的任一点, 则,D,C,证明: 由于f(z)在z0连续,D,C,CR,z,z0,R,且 Rd.,故任给e 0, 存在d 0, 当|z-z0|d 时, |f(z)-f(z0)|e.,在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向),=0,柯西积分公式,特别, 如C: |z-z0|=R, z=z0+Reiq, 则上式成。

17、一、基本导数公式 二、高阶导数,第三节 基本函数公式与高阶导数,一、基本函数公式,基本初等函数公式,基本求导法则,()线性法则: 为常数;,其中 表示复合函数fu(x)对x求导, 表示函数f(u)对u求导,然后代入u=u(x).,()链式法则:,()商法则:,()积法则:,()反函数法则: 其中y=f(x)为 的反函数.,。