1、第2.2节 高阶偏导数、方向导数与梯度,二、方向导数,三、梯度,一、高阶偏导数,作业 习题5.2(A) 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 25,一、高阶偏导数,设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数,若这两个偏导数仍存在偏导数，,则称它们是z = f ( x , y ),的二阶偏导数 .,按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数：,（混合偏导数）,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,偏导数为,3/23,例1. 求函数,
2、解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,4/23,例如,二者不等,5/23,则,定理.,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序. (即与求导次序无关. ),因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,(证明在课件P29-30),6/23,例2. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,7/23,（偏微分方程）,二、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数
3、在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,8/23,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,证明: 由函数,且有,在点 P 可微 ,得,故,9/23,对于二元函数,为, ) 的方向导数为,特别:, 当 l 与 x 轴同向, 当 l 与 x 轴反向,向角,10/23,例3. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,3) 的方向导数 .,11/23,解2:按定义做，麻烦。,例4. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,解:,方向余弦为,而,同理得,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,12/23,
4、三、梯度,方向导数公式,令向量,这说明,方向：f 的值增长最快的那个方向;,模 : f 的最大方向导数的值.,方向导数取最大值：,13/23,例5. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,解:将已知曲线用参数方程表示为,它在点 P 的切向量为,14/23,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,向量,2. 梯度的几何意义,15/23,称为函数 f 的等值线(P5) .,则L*上点P 处的法向量为(P29),同样, 对应函数,有等值面(等量面
5、),当各偏导数不同时为零时,其上,点P处的法向量为,16/23,（等值线实质就是曲面 z=f(x,y）与平面z=C 的交线在xoy坐标平面上的投影.）,3. 梯度的基本运算公式,17/23,函数在一点的梯度垂直于等值面(或等值线),在该点的切线(或梯度与等值线在相应点的法线平行),指向函数增大的方向.,例6.,证:,试证,18/23,例7.,已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点,试证,证: 利用例4的结果,这说明场强:,处所产生的电位为,垂直于等位面,且指向电位减少的方向.,19/23,内容小结,混合偏导数连续,与求导顺序无关,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时, 应选择方便
6、的求导顺序),1. 高阶偏导数,20/23,2. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,21/23,3. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,22/23,5. 方向导数的几何意义(P26),4. 几个概念之间的关系,方向导数存在,偏导数存在,可微,23/23,思考与练习,1. 设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,24/30,曲线,1. (1),
7、在点,解答提示:,M (1,1,1) 处切线的方向向量,25/30,26/30,备用题 1.,函数,在点,处的梯度,解:,则,注意 x , y , z 具有轮换对称性,(92考研),27/30,指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .,在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点A,2. 函数,提示:,则,(96考研),28/30,证:令,则,则,定理.,令,29/30,补充内容,同样,在点,连续,得,30/30,数学实验安排,第8周 （4月10号） 第10周（4月24号）第12周（5月8号） 第14周（5月22号）主C-204上数学实验理论课第13周上机实验，地点:理科楼2261. ACCA11,12, 公管11时间: （5月15号）星期二早上8:00-12:00;2. 软件11,12,13,14 时间:(5月15号)星期二晚上18:00-22:00; 第15周上机实验，地点:理科楼2261. ACCA11,12, 公管11时间: （5月29号）星期二早上8:00-12:002.软件11,12,13,14时间:(5月29号)星期二晚上18:00-22:00;,
