1、第一章 1 、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是 0.3 ，0.2 ，0.1 和 0.4 。如果 她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是 0.25 ，0.4 和 0.1 ，但 她乘飞机来则不会迟 到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：设事件 A 表示乘火车； 事件 B 表示乘轮船； 事件 C 表示乘汽车； 事件 D 表示乘飞 机。 根据已知，可得： ( ) 0.3 PA = ( ) 0.2 PB = ( ) 0.1 PC = ( ) 0.4 PD = 事件 E 表示 迟到，由已知可得 ( | ) 0.25 ( | ) 0.4 ( | ) 0.1 (|)0
2、 PE A PE B PE C PE D = = = =根据全概率公式： ( )( )( )( )( ) PE PE A PE B PE C PE D =+ 根据贝叶斯公式： ( ) ( | ) ( ) 0.075 ( | ) 0.455 ( ) ( ) 0.165 ( ) ( | ) ( ) 0.08 ( | ) 0.485 ( ) ( ) 0.165 ( ) ( | ) ( ) 0.01 ( | ) 0.06 ( ) ( ) 0.165 ( ) (| ) () (|) 0 () () PE A PE A PA PAE PE PE PE B PE B PB PB E PE PE PE C P
3、E C PC PC E PE PE PE D PE D PD PD E PE PE = = = = = = = = = = = = = = =综上分析： 坐轮船迟到的概率最大， 因此她如果迟到， 最可能搭载的交通工具是轮船。 3 、 设随机变 量 X 服从瑞 利分布， 其概率密度函数为 2 2 2 2 ,0 () 0, 0 X x x X x ex fx x = ，求期望 () EX 和方差 () DX 。 思路： 22 22 ( ) () ( ) () () ( ) () E X x f x dx E X x f x dx DX EX E X = = = 解： 2 2 2 2 2 0 ( )
4、 () x x X x x E X xf x dx e dx = = 令 x x t = ，则 2 2 22 2 2 2 22 0 00 0 () ( ) ( ) | t t tt xx x E X t e d t t e dt te e dt = =+ 第一项为 0 ， 后一项由 2 2 0 2 t e dt = ，可得 () 2 x EX = 2 2 3 22 2 2 0 ( ) () x x X x x E X x f x dx e dx = = 令 x x t = ，则 22 2 2 2 22 22 00 () () 2 tt x xx t E X t t ed t edt = = 令
5、 2 ty = ，则 22 2 2 2 2 2 22 0 00 0 ( ) ( ) | 2 2 y y yy xx x x y E X e dy y e dy xe e dy = =+= 22 2 () ( ) () ( 2 ) 2 x DX EX E X = 6 、已知随机变量 X 与 Y ，有 ( ) 1, ( ) 3, ( ) 4, ( ) 16, 0.5 XY E X EY D X DY = = = = = ， 令 3 , 2, U XY V X Y =+= 试求 () EU 、 () EV 、 () DU 、 () DV 和 (,) Cov U V 。 解 题 思 路： 考察随机变量
6、函数的数字特征 协方差： ( ,) ( ) ( ) () C ov XY EX Y EX E Y = 相关系数 ： (,) ( ) () XY Cov X Y D X DY = 22 ( ) ( ) () ( ) ( ) () 2 ( ,) E aX bY aE X bE Y D aX bY a D X b D Y abCov X Y += + += + +解：( ) ( 3 )3 ( ) ( )3 1 36 EU E X Y E X EY = + = + =+=( )(2 )( ) 2 ( ) 1 2 3 5 E V EX Y EX E Y = = = (,) 0.5 ( ) () XY C
7、ov X Y D X DY = = ， () 4 DX = ， ( ) 16 DY = ， (,) 4 Cov X Y =( ,) ( ) ( ) () C ov XY EX Y EX E Y = 又( )7 E XY = 22 ( ) (3 ) 3 ( ) 1 ( ) 2 3 1 ( , )=76 D U D X Y D X D Y Cov X Y = + = + +2 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2) ( ) 2 1 ( 2) ( , ) 52 D V DX Y DX D Y C ov XY = = + + = 2 22 ( ) () () 41 5 EX DX E X = + =+=
8、 ， 2 22 ( ) ( ) ( ) 16 3 25 EY DY E Y = + =+= 2 22 2 ( ) (3 )( 2 ) (3 5 2 ) 3 ( ) 5 ( ) 2 ( ) 70 E UV E X Y X Y E X XY Y E X E XY E Y =+= = ( , ) ( ) ( ) ( ) 40 C ov UV EU V EU EV = 11 、 设随机变 量 X 的均值为 3 ， 方差为 2 。 令新的随机变量 6 22 YX = + ， 问： 随机变量 X 与 Y 是否正交、不相关？为什么？ 解 题思路： 考察正交、不相关的概念 0 () 0 E XY = 0 正交
9、，非 0 不正交 0 ( ( , ) 0 XY Cov X Y = 或 者 0 不相 关，非 0 相关 解： 22 ( ) ( 6 22) ( 6 22 ) 6 ( ) 22 ( ) EX Y EX X E X X EX EX = +=+ = + 2 22 ( ) () () 23 11 EX DX E X = + =+= ( ) 6 11 22 3 0 E XY = + = ， X 与Y 正交 ( ) ( 6 22) 6 ( ) 22 4 EY E X E X =+= += ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 3 4 12 0 C ov XY EX Y EXE Y = = X 与 Y 不
10、相关 第二章 1 、已知随机 信号 0 ( ) cos Xt A t = ， 其中 0 为常数，随 机变量 A 服从标准高斯 分布，求 00 2 0, , 33 t = 三个时刻 () Xt 的一维概率密度函数。 解： 00 22 00 ( ) cos cos ( ) ( ) cos cos x X m EXt EA t t EA t DXt DA t t DA = = = = = = A 服从标准高斯分布 0 2 22 00 0 , 1 cos 0 ( ) cos cos x X EA DA m EA t t DA t t = = = = 一维高斯概率密度函数 2 2 2 2 0 ( ) 2
11、cos 2 () 0 11 (,) 2 ( ) 2 | cos | x X xm t x t t x X f xt e e tt = = 当 0 t = 时， 2 2 1 ( ;0) 2 x x fx e = 当 0 3 t = 时， 2 2 0 2 (; ) 3 x x fx e = 当 0 2 3 t = 时， 2 2 0 22 (; ) 3 x x fx e =3 、随机变量 X 与 Y 相互统计独立，并且服从 2 (0, ) N 分布。它们构成随机信号 () + X t X Yt = ， （注意这里题 目做了修改 ） 试问： (1)信号 X(t)的一 维概率密度函数 (;) x f x
12、t ； (2) t 时刻的 随机变量是什么分布，求其均值和方差。 解： （1 ） , XY 服从 2 (0, ) N 分布 且 () X t X Yt = + () Xt 也服从正态分布 ( ) 0 EXt EX Y t EX t E Y =+= + = , XY 相互统计独立 ( ) 2 22 2 22 21 2 ( ) ( 1 ) 1 (;) 2 ( 1) x t x DXt DX Y t DX tD Y t f xt e t + = += + =+ = +（2 ）t 时刻 ，随机变量是高斯分布 22 ( ) 0 ( ) ( 1) EXt DXt t = = + 其均值为 0 ，方 差为
13、22 ( 1) t +4 、假定随机正弦幅度信号 0 ( ) cos( ) Xt A t = + ，其中频率 0 和相位 为常数，幅度 A 是一个服从 0,1 均匀分布的随机变量，试求 t 时刻该信号加在 1 欧姆电阻上的交流功率平 均值。 解：t 时刻该 信号加在 1 欧姆上的交流功率为 ( ) DXt 0 ( ) cos( ) DXt DA t =+ 频率 0 和相位 为常数 2 00 cos( ) cos ( ) DA t t DA += + A 服从0,1均 匀分布 1, 0 1 () 0, A a fa other = 2 11 22 2 00 2 0 1 12 1 12 1 ( )
14、 cos ( ) 12 D A E A E A a da a da DA DXt t = = = =+ 5 、 已知随机信号 () Xt 的均值为 () X mt ， 协方差函数为 12 (, ) X C tt ， 又知道 () ft 是确定的时 间函数。试求随机信号 () () () Y tX tf t = + 的均值以及协方差。 解： () () () () () E Yt EXt f t EXt Ef t =+=+ () ft 是确定信号 12 1 2 1 2 1 2 12 1 2 12 1 1 2 2 1 212211 2 1 () () () ( , ) ( ) ( ) ( ) (
15、) () () () () () () () () () () () () () () () () () () () () ( ) X Y EY t m t f t C t t E Yt Yt E Yt E Yt EXt Xt Xt ft ft Xt ft ft EXt ft EXt ft EXt Xt ft EXt ft EXt ft ft EXt =+ = =+ =+ 2 2 1 1 2 12 12 1 2 12 () () () () () ()() ( )( ) ( ) ( ) (, ) X E Xt ft E Xt ft E Xt ft ft EXt Xt EXt EXt C tt
16、= = () Yt 的均值为 () () X m t ft + () Yt 协方差为： 12 (, ) X C tt9 、 设接收机 中频放大器的输出随机信号为 () () () X t st Nt = + ，其中 () Nt 是均值为零， 方差为 2 的高斯噪声随机信号， 而 00 ( ) cos( ) st t = + 为确知信号， 求随机信号 () Xt 在任 意时刻 1 t 的一维概率密度函数。 解题思路： 根据高斯信号的性质： 高斯信号与确知信号之和仍是高斯信号， 由此可以判 断 () Xt 仍是高斯信号。 又因为高斯信号的一维概率密度函数可以由其数学期望和均值确定， 因此该题只需求
17、出 () Xt 的数学期望和方差即可。 解： () () () () () () X t st Nt Nt X t st = + = 00 ( ) cos( ) St t = + 是确知信号 () () () () () EX t Est Nt st ENt =+=+ () Nt 服从均值为 0 ，方差为 2 n 的高斯分布 2 00 2 00 2 cos( ) 2 ( ) 0 () () c os ( ) () () () () 1 (,) 2 n n xt X n ENt EX t st t DXt Dst Nt DNt f xt e + = =+ =+= =第三章 6 、设 () Xt
18、与 () Yt 是统计独立的平稳随机信号。求证由它们的乘积构成的随机信号 () () () Zt X tYt = 也是平稳的。 证： () Xt 是平稳随机信号， 12 1 2 2 1 22 ( ) , ( , ) ( ) ( ) ( ), | |, ( ) X XX X EXt m R t t EXt Xt R t t EX t = = = = = 为一常数 只与时间间隔有关 () Yt 也是平稳随机信号，可得 12 1 2 2 1 22 ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ), | | ( ) Y YY Y EY t m R t t E Yt Yt R t t EY t = = = =
19、 =() () () Zt X tYt = ，且 () Xt 与 () Yt 是统计独立的，可得 12 1 2 1 1 2 2 1 2 12 1 2 12 12 12 2 1 2 () () () () () (, ) () () ()() ()() () () ()() () () ()() (, ) (, ) () () , | | XY Z X Y XY EZt EXtYt EXt E Yt m m R t t EZt Zt EXt Yt Xt Yt EXt Xt Yt Yt EXt Xt E Yt Yt R tt R tt R R t t EZ = = = = = = 为一常数 只与时
20、间间隔有关 2 2 2 2 22 () () () () () XY t EX t Y t EX t E Y t = = = 由平稳条件可知 () () () Zt X tYt = 也是平稳的随机信号 8 、设随机信号 00 () () c os () s i n Zt Xt t Yt t = ，其中 0 为常数， () Xt 、 () Yt 为平稳信 号。试求： (1) () Zt 的自相关函数 (, ) Z R tt + ； (2)若 () () XY RR = ， () 0 XY R = ，求 (, ) Z R tt + 。 解：(1) () Xt ， () Yt 是平稳的随机信号 00
21、 0 0 0 0 00 00 0 0 ( , ) ( ) ( ) ( ( ) c os ( ) s i n ) ( () c os () () s i n () ) ( ) () c os c os ()( ) () c os s i n () () ( ) s i n c os () ( ) () s i n () s i n c Z R tt EZt Zt E Xt t Yt t Xt t Yt t EXtXt t t Xt Yt t t Xt Yt t t YtYt t t += + = + + + = + + + + + + + + = 0 0 00 00 0 0 os cos ( )
22、 ( ) cos sin ( ) ( ) sin cos ( ) ( ) sin ( )sin ( ) X XY YX Y t tR t tR t t R t tR + + + (2) 0 0 00 0 0 00 0 () () , () 0 () ( ) () ( ) () ( ) () ( ) (, ) 0 ( , ) cos cos ( ) ( ) sin sin ( ) ( ) ( )cos cos ( ) sin sin ( ) ( ) cos X Y XY YX z XY X X R RR Xt Yt Yt Yt Xt Yt Yt Xt Rt R t t tR t tR R t t
23、 tt R = = +=+ += + += += + + + = + + = 11 、已知随 机信号 ( ) sin cos Xt A t B t = + ，式中，A 与 B 为彼此独立的零均值随机变量。求证 X(t)是均 值各态历经的，而 X 2 (t) 无均值各态历经性。 解题思路：若 () Xt 是一平稳过程，定义 1 () l i m () d 2 T T T Xt Xt t T = ，若 () () X Xt EXt = = ，则称 () Xt 的均值具有各态历经。 证： ( ) sin cos ( ) sin cos sin cos 0 1 ( ) sin cos lim ( si
24、n cos ) 2 2 sin sin lim lim 0 2 () () 0 T T T TT Xt A t B t EXt EA t B t t EA t EB X t A tB t A tB t d T Bt Bt TT EXt Xt = + = + =+= =+= + = = = = () Xt 是均值各态历经的 2 22 2 2 22 22 22 22 2 22 2 2 22 2 2 ( ) sin cos 2 sin cos sin cos 2 sin cos sin cos 1 ( ) lim ( sin cos 2 sin cos ) 2 1 lim sin cos sin 2
25、 2 AB T T T TT T TT T T EX t EA t B t A B t t tE A tE B E AB t t tt X t A t B t AB t t dt T A tdt B tdt AB tdt T =+ =+ = + = + = + 2 22 22 22 2 22 22 22 1 cos 2 sin sin 2 11 1 sin 2 sin 2 24 2 1 cos 2 cos cos 2 11 1 sin 2 sin 2 24 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 0 2 T TT T TT T T T TT T TT T T TT T T TT t A t
26、dt A tdt A dt A t t AT T t B tdt B tdt B dt B t t BT T AB tdt AB tdt AB t = = =+=+ + = = =+=+ = = 22 2 22 22 2 2 22 22 11 1 ( ) lim sin 2 sin 2 22 2 1 sin 2 1 () l i m ( ) () 24 2 1 ( ) sin cos 2 T T AB X t A TT B TT T T AB AB T AB t t = + + =+ + = + + + 2 () Xt 无均值各态历经性 第四章 6 、 已知随机信 号 00 () () c o
27、s () s i n Zt Xt t Yt t = + ， 式中 () Xt ， () Yt 联合平稳， 0 为常 数。 (1)讨论 () Xt ， () Yt 的均值和自相关函数在什么条件下，才能使随机信号 () Zt 宽平稳； (2) 利用 （1 ） 的结 论，用 功 率谱 密度 () X P ， () Y P ， () XY P 表示 () Zt 的功率谱密度 () Z P ; (3)若 () Xt ， () Yt 互不相关，求 () Zt 的功率谱密度 () Z P 。 解:(1)由宽平稳的定义可知， 当 ( ) z EZt = 为常数， () ( )( ) Z R Eztzt = +
28、 只与时间常数 有关，则称 () Zt 为宽平稳或广义平稳过程。 00 0 0 () () c os () s i n () c os () s i n EZt EXt t Yt t EXt t E Yt t =+=+ 又 () Xt 与 () Yt 均为平稳过程， ( ) EXt 与 ( ) EY t 只能为常数， 若要求 ( ) EZt 为常数，则 ( ) 0 EXt = ， ( ) 0 EY t = 。 00 0 0 00 00 00 00 ( , ) ( )( ) ( ) c os ( ) s i n () c os () () s i n () ( ) () c os c os ()
29、 ( ) () s i n c os () ( ) () c os s i n () ( ) () s i n s i n () Z R tt Eztzt E Xt t Yt t Xt t Yt t EXtXt t t YtXt t t XtYt t t YtYt t t += + = + + + + = + + + + + + + + +() Xt 与 () Yt 均为平稳过程， ( ) ( )( ) X R EXtXt = + ， ( ) ( )( ) Y R E YtYt = + 又 () Xt 与 () Yt 为联合平稳， ( ) ( ) ( ) XY R EX tYt =+ ， (
30、) ( ) ( ) ( ) YX XY R R EY t X t = = + 故 00 0 00 0 00 0 00 0 11 ( , ) ( ) cos(2 ) cos ( ) cos(2 ) cos 22 11 ( ) sin(2 ) sin ( ) sin(2 ) sin 22 ZX Y XY XY R tt R t R t R t Rt += + + + + + +若要求 (, ) ( ) ZZ R tt R += ，则需满足 () () XY RR = ， ( ) () X Y XY RR = 此时， 00 ( , ) () c os () s i n () Z X XY Z R t
31、t R R R += + = ，仅与 有关。 综上，当 ( ) 0 EXt = ， ( ) 0 EY t = ， () () XY RR = ， ( ) () X Y XY RR = 时， () Zt 为 宽平 稳信号。 （2 ）令 () Z P 为 () Zt 的功率谱密度，则利用维纳- 辛钦定理，可得 00 00 0 0 ( ) () () c os () s i n 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 Z Z X XY X X XY XY P FR FR R j PP P P = = + = + +（3 ）若 () Xt ， () Yt 互不相关，则 () 0 XY X Y R m
32、m = = ， 0 00 1 ( ) ( ) cos ( ) ( ) 2 ZX X X P FR P P = = + 9 、随机信号 () Xt 和 () Yt 是统计独 立的平稳信 号，均值分 别为 X m 和 Y m ，协方差函数分 别 为 | () X Ce = 和 | () Y Ce = 。求 () () () Zt X tYt = 的自相关函数与功率谱密度。 思路：先求 () Z R ，再利用 () ( ) ZZ RP ( ) () ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () () Z XY R EZtZt EXtYtXt Yt EXtXt E YtYt
33、 RR = += + + =+ = 又 2 | 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ) () () X XXX X C EXtXt EXt EXt R C me m = + + =+=+ 同理 | 2 () YY R em = + | 2 | 2 ( ) | 2 | 2 | 2 2 ( ) ( )( ) Z XY X Y XX R e me m e me m e mm + =+ + =+又 () ( ) ZZ RP 利用 “双边指数脉冲”的傅里叶变换，可得 2 2 22 22 22 22 2( ) 2 2 () 2 () () Z X Y XY P m m mm + =+ + + +第五章
34、5 、若功率谱密度为 5W/Hz 的平稳白噪声作用到冲激响应为 2 () () t ht e ut = 的线性系统上， 求系统输出的均方值和功率谱密度。 解：思路：先求 () Y P ，再求 2 ( ) EX t 单边指数脉冲 2 1 () 2 t e ut jw +2 0 2 2 1 () () | () | 4 ( ) (0) YX Y P PH N EY t R = = + = 利用 () ( ) YY Rt P 可得 2| | 0 () 4 t Y N Rt e = 0 (0) 4 Y N R = 9 、 一个均值为 X m ， 自相关函数为 () X R 的平稳随机信号 () Xt
35、通过一个线性系统后的输出 信号为 () () ( ) Yt Xt Xt T =+ ，T 为延迟时间。 (1)试画出 该线性系统的框图； (2)试求 () Yt 的自相关函数和功率谱密度。 解： （ 1 ） T () Xt () Yt（2 ） () () ( ) Yt Xt Xt T =+ () () ( ) hT =+ () () () ( ) YX R R hh = P110 式（5-18 ） 将代入中，可得 () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )()() YX XX XX X RR T T R RT T R R TR T = + + = + +
36、 + =+又 () ( ) YY RP () 2 () () () 2 () 2 () c os jwt jwt Y XX X XX P P PePe PP w =+ + = +10 、一个中 心频率为 c 、带宽为 B 的 理想带通滤波器如下图所示。假定输入是均值为零、 功率谱密度为 0 /2 N 的高斯白噪声，试求： 0 w 0 w w B B () Hw 1 0(1)滤波器 输出噪声的自相关函数； (2)滤波器 输出噪声的平均功率； (3)输出噪 声的一维概率密度函数。 解：先求 () Y P ，再求 () Y R (1) 0 00 , | () 2 0, HH Y N P other + = 00 ( ) ( ) cos H YH w R N Sa w w = (2) 00 (0) H Y w R N NB = = (3)Y 为高斯 随机过程 2 0 2 0 0 0 (0) 1 exp( ) 2 2 Y YY Y m R NB t f NB NB = = = =
