柯西积分公式

1、第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,2,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,3,4,二、柯西积分公式,定理,证,5,6,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,7,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路。

2、第二节 柯西积分定理,一、单连通区域的柯西积分定理 二、复函数的牛顿莱布尼兹公式 三、多连通区域上的柯西积分定理,一、单连通区域的柯西积分定理,1. 问题的提出,此时积分与路线无关.,观察上节例2,观察上节例1,由于不满足柯西黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析.,由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,2. 单连通区域的柯西积分定理,定理3.2.1(Cauchy积分定理),证,注：,定理3.2.2(CauchyGoursat积分定理),Goursat,例1,解,根据柯西古尔萨(Cauchy-Goursat)定理, 有,例2,解,根据柯西古尔萨(Cauch。

3、,2,一、重点与难点,重点：,难点：,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式,复合闭路定理与复积分的计算,3,二、内容提要,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数的定义,复合闭路 定 理,柯西积分公 式,高阶导数公式,调和函数和共轭调和函数,4,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线,5,2.积分的定义,6,7,3.积分存在的。

4、第二节 柯西积分定理,一、单连通区域的柯西积分定理 二、复函数的牛顿莱布尼兹公式 三、多连通区域上的柯西积分定理,一、单连通区域的柯西积分定理,1. 问题的提出,此时积分与路线无关.,观察上节例2,观察上节例1,由于不满足柯西黎曼方程, 故而在复平面内处处不解析.,由以上讨论可知, 积分是否与路线有关, 可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,2. 单连通区域的柯西积分定理,定理3.2.1(Cauchy积分定理),证,注：,定理3.2.2(CauchyGoursat积分定理),Goursat,例1,解,根据柯西古尔萨(Cauchy-Goursat)定理, 有,例2,解,根据柯西古尔萨(Cauch。

5、22第三章 复变函数的积分(II)3-3 柯西公式【教材 P36-42】(一) 单连通区域中的柯西公式柯西公式： 设复变函数 在闭单连通区域 （ ）中解析( 是区fzDll域 的边界线)， 则 在区域 内任一点 的值可由沿边界线的D积分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）: ， ，12lfzf diA2()lfzdifA柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。这是解析函数的重要性质之一。证明： 对于任意固定的 ，由前面的例子知:D112ldziA两边乘以 ，得: , flff dzi因此只要证明: ，即得: ，0lfz 2llffzifzA这就证得柯。

6、第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,2,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,3,4,二、柯西积分公式,定理,证,5,6,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,7,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路。

7、三、解析函数的定积分公式,证明：如图，解析函数f(z)由点 经 到 ，再经 到 的积分等于从 经 到 的积分，即则：由于解析函数的积分与路径无关，可取 为直线，设 为直线上任意一点，考虑到解析函数必连续，所以任给 ，必存在 ，使当 ，有,则有这表明：当 时， 的极限为f(z)，即定理得证。,四、小圆弧引理与大圆弧引理1.小圆弧引理:若 在 的无心邻域内连续，在小圆弧 上一致成立，则证明：由(1)式及极限的定义可得，任给 ，存在使当 时，有又,则因为 可任意地小，而 为常量，即 所以即,2. 大圆弧引理:若 在无穷远点的无心邻域内连续，在大圆。

8、第三章 复变函数的积分,第3节 柯西公式及其推论,柯西公式：,设f(z)在以圆,为边界的闭圆盘上解析，f(z)沿C的积分为零。考虑积分,则有：(1)被积函数在C上连续，积分I必然存在；,（2）在上述闭圆盘上 不解析，I的值不一定为0，,柯西公式：,因此，I的值只f(z)与在z0点附近的值有关。,例如：,由柯西定理，得,现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr，,令，,由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有,柯西公式：,即,事实上，当r趋近于0时，有,则有,柯西公式：,由于由f(z)在点z0的。

9、第三节 柯西积分公式,注：,(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 积分。,注：用(4)计算某些周线积分,被积函数在C的内部 只含有一个奇点,若有两个奇点，则不能直接用 柯西积分公式。,2. 解析函数的无穷可微性,注：,如果被积函数含有多个奇点，就不能直接用公式(3.19)和(3.19),应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性,定理2.5 (解析的充要条件),函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的,充要条件是:,柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函数在解析点a的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关.,注: 这。

10、 （ 2012 届）本科毕业论文（设计）题 目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 学 院： 教师教育学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 班 级： 数学 082 学 号： 姓 名： 指导教师： 完成日期： 教 务 处 制诚 信 声 明我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。论文(设计)作者签。

11、第三章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第三节 柯西积分公式和高阶,一、柯西积分公式,二、高阶导数公式,三、调和函数,导数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,解析，,一、柯西积分公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则,解析，,二、高阶导数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公式,常用于计算积分：,这两个积分的被积函数分别为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,计算积分,解：,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,计算积分,解：,内解析，,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,计算积分,解：,内解析，,所以,。

12、第三章 复变函数的积分,第3节 柯西积分公式,柯西积分公式,高阶导数公式,设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0B,在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向),绕z0的任一正向简单闭曲线, 则,设C为B内,B,C,一、柯西积分公式,定理(柯西积分公式)：如果f(z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内部的任一点, 则,D,C,证明: 由于f(z)在z0连续,D,C,CR,z,z0,R,且 Rd.,故任给e 0, 存在d 0, 当|z-z0|d 时, |f(z)-f(z0)|e.,在C内部作CR: |z-z0|=R (取其正向),=0,柯西积分公式,特别, 如C: |z-z0|=R, z=z0+Reiq, 则上式成。

13、补充：柯西积分公式的推广,如区域D是圆环域，,在D内解析，以圆环的中心,为中心作正向圆周,与,包含,为,之间任一,点，则有,由4.3 知, f (z) 在 z0 解析，则 f (z)总可以在z0 的某一个圆域 z - z0R 内展开成 z - z0 的幂级数。若 f (z) 在 z0 点不解析，在 z0的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域 R1z - z0R2 内解析，那么，f (z)能否用级数表示呢？,例如，,本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。,2. 双边幂级数,-。

14、 3 3柯西积分公式 一 柯西积分公式 在边界C上连续 如图 以为圆心 d为半径作圆G 则 左边 右边 右边 左边 则 在边界C上连续 则 一 柯西积分公式 定理 如果函数在区域D内解析 D d G C 证明 思路 当充分小时 右边 左边 。

15、第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,二、柯西积分公式,定理,证,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方。

16、第三节 柯西积分公式,注：,(5) 柯西积分公式的主要用途：用(4)计算某些周线 积分。,注：用(4)计算某些周线积分,被积函数在C的内部 只含有一个奇点,若有两个奇点，则不能直接用 柯西积分公式。,2. 解析函数的无穷可微性,注：,如果被积函数含有多个奇点，就不能直接用公式(3.19)和(3.19),应用上述定理得到：解析函数的无穷可微性,定理2.5 (解析的充要条件),函数f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的,充要条件是:,柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式,说明解析函数在解析点a的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关.,注: 这。

17、第三节 柯西积分公式,一、解析函数的柯西积分公式 二、解析函数的任意阶可导性与莫勒拉定理三、柯西不等式与刘维尔定理 四、调和函数,一、解析函数的柯西积分公式,1. 问题的提出,根据多连通区域上的柯西积分定理得,该积分值不随闭曲线 C的变化而改变。,如何求这个值？,2. 柯西积分公式,引理3.3.1,证,根据多连通区域上的柯西积分定理得,定理3.3.1(柯西积分公式),证,Cauchy,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在L内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 。

18、第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,2,一、问题的提出,如果我们测得地球表面各点的温度，能否测得地心的温度？如何测？,分析,3,4,猜想积分,5,定理(Cauchy 积分公式),证明,6,7,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,8,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数。