1、第三章 复变函数的积分,第3节 柯西公式及其推论,柯西公式：,设f(z)在以圆,为边界的闭圆盘上解析，f(z)沿C的积分为零。考虑积分,则有：(1)被积函数在C上连续，积分I必然存在；,（2）在上述闭圆盘上 不解析，I的值不一定为0，,柯西公式：,因此，I的值只f(z)与在z0点附近的值有关。,例如：,由柯西定理，得,现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr，,令，,由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有,柯西公式：,即,事实上，当r趋近于0时，有,则有,柯西公式：,由于由f(z)在点z0的连续性，所以,使得当
2、,柯西公式：,因此,即当r趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而,因此，结论成立。,定理4 .1(柯西公式),定理4.1 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 上解析，那么在内任一点z，有,其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我们称它为柯西公式。,注解：,注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。,定理4.1的证明：,证明：设 ，,在满足 的点 处解析
3、。,以z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径为r，边界为圆Cr。,在 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域 。,显然函数,定理4.1的证明：,定理4.1的证明：,其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的，,沿Cr的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。,解析，所以有,在 上， 的函数 以及,定理4.2(高阶导数公式)：,定理4.2 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域,上解析，那么f(z)在D内有任意阶导数,高阶导数公式：,证明：先证明结论关于n=1时成立。设,是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0,高阶导数公式：,现在
4、估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0|h|d，那么当 时,设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有,因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,高阶导数公式：,现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有,高阶导数公式：,由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。,系4.1：,系4.1 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数。 注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异；
5、注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论；,定理4.3：,定理4.3 设函数f(z)在以,为边界的闭圆盘上解析，那么,其中,定理4.3的证明：,证明：令,是圆,那么，由导数公式，有,其中，n=0,1,2,;0!=1。,注解：,注解1、上面的不等式称为柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如,等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理,刘维尔定理：,定理4.4： 有界整函数一定恒等常数,证明：f(z)是有界整函数，即存在,使得,f(z)在上,解析。由柯西公式，有,令 ，可见,从而f(z)在C上恒等于常数。,莫勒拉定理：,5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理， 定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有,那么f(z)在区域D内解析。,莫勒拉定理：,证明：,作以为z0心的圆盘,在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即,于是F(z)在K内解析。由系4.1，f(z)在K内，在z0,解析，从而有任意阶导数。又因为z0的任意性，结论成立。,
