3 3柯西积分公式 一 柯西积分公式 在边界C上连续 如图 以为圆心 d为半径作圆G 则 左边 右边 右边 左边 则 在边界C上连续 则 一 柯西积分公式 定理 如果函数在区域D内解析 D d G C 证明 思路 当充分小时 右边 左边 即只要d足够小 所证等式两边的差的模可以任意小 由于左边与右边均为常数 与d无关 故等式成立 在边界C上连续 则 一 柯西积分公式 定理 如果函数在区域D内解析 D C 意义 将换成 积分变量换成 解析函数在其解析区域内的值完全由边界上的值确定 换句话说 解析函数可用其解析区域边界上的值以一种 特定的积分形式表达出来 则上式变为 是多连域 一 柯西积分公式 应用 推出一些理论结果 从而进一步认识解析函数 比如对于二连域D 其边界为 反过来计算积分 则 2 函数在上解析 则 解 试考虑积分路径为的情况 二 平均值公式 在上连续 则有 三 最大模原理 则在D内没有最大值 理解 如图 函数在解析区域 D内任意一点的函数值是 以该点为圆心的圆周上所有 点的函数值的平均值 因此 不可能达到最大 除非为常数 三 最大模原理 在上的最大值 必在上取得 因此 当时 有 即是r的单调上升函数 即 附 连续函数的平均值 以平均气温为例 设某时间段内的温度函数为 将n等份 等分点为 记 即 平均气温 平均气温
