1、,2,一、重点与难点,重点：,难点：,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式,复合闭路定理与复积分的计算,3,二、内容提要,有向曲线,复积分,积分存在的条件及计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数的定义,复合闭路 定 理,柯西积分公 式,高阶导数公式,调和函数和共轭调和函数,4,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线, 如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向), 那末我们就把C理解为带有方向的曲线, 称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,1.有向曲线,5,2.积分的定义,6,7,3.积分存在的条件及计算,（1）化成线积分,
2、（2）用参数方程将积分化成定积分,8,4. 积分的性质,9,10,11,6.原函数的定义,(牛顿-莱布尼兹公式),12,7. 闭路变形原理,一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,那末,13,14,8.柯西积分公式,一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,15,9. 高阶导数公式,16,10.调和函数和共轭调和函数,任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,17,定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,共轭调和函数,18,三、典型例题,例1 计算 的值，其中C为1）沿从 到 的线段：2）沿从 到 的线段： 与从 到
3、 的线段 所接成的折线.,解,19,说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同.,20,因此,证,例2 设C为圆周 证明下列不等式.,21,解,例3 计算,当 时,22,解,23,解法一 利用柯西-古萨基本定理及重要公式,由柯西-古萨基本定理有,24,25,解法二 利用柯西积分公式,26,因此由柯西积分公式得,27,28,解,分以下四种情况讨论：,29,30,31,32,33,解,34,解法一 不定积分法. 利用柯西黎曼方程,35,因而得到解析函数,36,解法二 线积分法.,37,因而得到解析函数,38,解法三 全微分法,39,解,例8 已知 求解析函数 ,使符合条件,40,放映结束，按Esc退出.,41,作业,课后习题311、12、13、16,
