高等数学-高阶导数

1、第六章 一元微积分的应用,本章学习要求： 熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。 能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。,第六章 导数的应用,第 五 节 平面曲线的曲率,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,三、参数方程下曲率的计算公式,四、曲率圆、曲率中心,我们已经讨论过曲线。

2、导数的基本公式与运算法则,基本初等函数的导数公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外还有反三角函数的。

3、第二节 偏导数,偏导数的定义及其计算法 偏导数存在与连续的关系 高阶偏导数 小结、作业,我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数，同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念。,一、偏导数的定义及其计算法,如 在 处,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,一般地 设,下面讨论偏导数。

4、1,3.1 导数的概念,第三章 导数与微分,3.2 求导法则,3.3 基本导数公式与高阶导数,3.4 函数的微分,3.5 导数在经济学中的简单应用,2,3.3 基本导数公式 与高阶导数,3/30/2018,3,3/30/2018,4,3/30/2018,5,3/30/2018,6,3/30/2018,7,解:,注意, 当 k = n 时,3/30/2018,8,综上所述：,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并，分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明)逐阶求导，寻求规律，写出通式,3/30/2018,9,对多项式而言, 每求一次导数 , 多项式的次数降低一次 ; n 次多项式的 n 阶导数为一常数 ; 大于多项式次数的任何阶导数均为 0 .,。

5、导数习题,2014. 12. 11,例 1.,设,求,若,因此，,解：,而,思考：,是否存在？,导函数的单侧极限与单侧导数不是同一概念。,则,例 2.,设,求,解：,上式两边同时求导得,例 3.,设,且在某,解：,内,单调，,求,例 4.,设,解：,求,在,可导，,练 1.,设,求,若,因此，,解：,而,则,若,则,设,设,可导, 求,解：,例 5.,例 6.,设,求,解：,记,而,故,例 7.,曲线,解：,求,由方程,确定，,在点,的切线方程。,方程两边对 x 求导得,令 x = 0 得,即,所求切线方程为,练 2.,函数,答：,求,由方程,确定，,设,求,解：,例 8.,设,求,解：,练 3.,练 4.,设,是,内具有任意阶导数的。

6、求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,第二章 导数与微分,1、导数的定义,导函数,注意：,记为,例题1.设,存在，且,则,等于,A. 1, B. 0, C. 2, D. 0.5,分析：,导数定义的本质：,练习：P43 第3题,2、单侧导数,左导数与右导数:,在讨论分段函数在分段点的可导时，由于在分段点两侧表达式 可能不同，因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。,例. 见教材 P42 页例6,例题2. 讨论,在,处的连续性与可导性.,分析：,所以,在,处连续,所以,因此,在,处可导。,题目的函数为：,当,时，,所以,因此,从而,在,处可导。,判断可导性的另一种方法：,3、导。

7、导数的基本公式与运算法则,基本初等函数的导数公式,(x ) = x -1 .,(ax) = ax lna .,(ex) = ex.,(sin x) = cos x.,(cos x) = - sin x.,(tan x) = sec2x .,(cot x) = - csc2x .,(sec x) = sec x tan x .,(csc x) = - csc x cot x .,另外还有反三角函数的导数公式：,定理2. 1 设函数 u(x)、v(x) 在 x 处可导，,在 x 处也可导，,(u(x) v(x) = u(x) v (x);,(u(x)v(x) = u(x)v(x) + u(x)v(x);,导数的四则运算,且,则它们的和、差、积与商,推论 1 (cu(x) = cu(x) (c 为常数).,推论 2,乘法法则的推广：,补充例题： 求下列函数的导数：,解 根据推论 。

8、,导数的应用,习题课(4),内容总结,1、微分中值定理，LHospital法则,理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式,了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的 条件，会用Taylor公式进行近似计算,熟练掌握LHospital法则,2、导数的应用,掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法,掌握利用函数单调性证明不等式的方法,理。

9、2019/4/30,1,第二章 一元函数微分学,第一节 导数,2019/4/30,2,一、问题的提出,1、变速直线运动的速度问题,取极限得,瞬时速度,2019/4/30,3,2、切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,2019/4/30,4,Q,2019/4/30,5,二、导数的定义,1、定义,2019/4/30,6,导数定义其它常见形式：,即,2019/4/30,7,右导数：,单侧导数,左导数：,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,2019/4/30,8,例1,解,2019/4/30,9,1）,2、导函数,2）,2019/4/30,10,3）,注：,2019/4/30,11,三、导数的几何意义,。

10、导数的意义基本知识1导数、单侧导数、导函数的定义：左、右导数 导函数 2导数的几何物理意义：几何意义： 表示曲线 在点 处的切线斜率，即 其中 是切线的倾角。物理意义： 表示做变速直线运动 的物体在 时刻的瞬时速度，即 。3 在 点可导的性质：性质 1（必要条件） 在 点可导 在 点连续，即： 可导连续，不连续不可导。性质 2（充要条件） 依此用于判定连续函数在分段点的可导性。性质 3 在 点可导且 ：当 有 当 有 即 的符号指示了 在点 变化方向！4两个结论：1）可导的偶（奇）函数的导数是奇（偶）函数；2）可导的周期函数的导数仍为。

11、2.3高阶导数,一、高阶导数的概念,二阶导数的导数称为三阶导数,记作,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,变速直线运动中,路程函数为,物理意义：,速度函数为,或,即加速度为,解,解,一般地,可得,即,类似可得,解,解,即,从而可得,由,例5,解,二、高阶导数运算法则,莱布尼兹公式,定理,定理用数学归纳法证明 。,注 莱布尼茨公式可利用二项展开式记忆：,莱布尼茨公式,二项展开式,例6,解,解 设,，则由莱布尼茨公式得,例8 设,解,例9(p80,习3.)试从,导出,的反函数求导公式,解,小 结,1.常用高阶导数公式,间接法 利用已知的高阶导数公式, 通过四则运算。

12、,问题:变速直线运动的加速度.,高阶导数也是由实际需要而引入的.,这就是二阶导数的物理意义,一、高阶导数的定义,二阶导数.,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,注意：（1）,二、 高阶导数求法举例,例1,直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,求下列函数二阶导数。,解：,例3,解,例5 设,求,解:,例4,解,例6,解,同理可得,几个常用高阶导数公式,二、隐函数的导数,若由方程,可确定 y 是 x 的函数 ,由,表示的函数 , 称为显函数 .,例如,可确定显函数,可确定 y 是 x 的函数 ,但此。

13、3.4 高阶导数,我们可以把yf (x)称为函数yf(x)的一阶导数 而一阶导 数yf (x)的导数称为函数yf(x)的二阶导数 记作,相应地 二阶导数yf (x)的导数称为函数yf(x)的三阶 导数 记作,一般地 函数yf(x)的(n1)阶导数的导数称为函数yf(x) 的n阶导数 记作,解,y4x3,例1 yx4 求yx4的各阶导数,y(5)y(6) 0,y(4)24,y24x,y12x2,一般地, 如 y xn,则 y(n+1) y(n+2) 0,解,一般地 可得y (n)ex 即 (ex)(n)ex,例2 求函数yex的n阶导数,yex,y(4)ex,yex,yex,解,y4x3,例1 yx4 求yx4的各阶导数,y(5)y(6) 0,y(4)24,y24x,y12x2,一般地, 如 y xn,则 y(n+1) y(n+2) 。

14、2018/10/9,高等数学,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,2018/10/9,高等数学,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/9,高等数学,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2018/10/9,高等数学,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 。

15、,二、高阶导数的运算法则,第三节,一、高阶导数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,高阶导数,第二章,一、高阶导数的概念,速度,即,加速度,即,引例：变速直线运动,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,若函数,的导数,可导,或,即,或,类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,阶导数的导数称为 n 阶导数 ,或,的二阶导数 ,记作,的导数为,依次类推 ,分别记作,则称,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,求,解:,依次类推 ,例1.,思考: 设,问,可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 设,求,解:,特别有:,解:,规定 0 ! = 1,思考:,例3. 设,求,机动 目。

16、1,主要内容：,第二章 导数与微分第二节 反函数与复合函数的导数 隐函数的导数,一、隐函数的导数.二、由参数方程确定的函数的导数；三、高阶导数.,2,一、隐函数的导数,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,3,例1,解,解得,4,隐函数求导法则,隐函数求导步骤： A、对方程两边求导； B、方程仅含x的式子按正常求导；凡含y的式子要按复合函数求导，且结果必有 C、将 的系数合并移项到等式左边，其余移项到等式右边，求解出 。,5,解,所求切线方程为,显然通过原点.。