1、2019/4/30,1,第二章 一元函数微分学,第一节 导数,2019/4/30,2,一、问题的提出,1、变速直线运动的速度问题,取极限得,瞬时速度,2019/4/30,3,2、切线问题,切线：割线的极限,播放,M,N,T,割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,2019/4/30,4,Q,2019/4/30,5,二、导数的定义,1、定义,2019/4/30,6,导数定义其它常见形式：,即,2019/4/30,7,右导数：,单侧导数,左导数：,判断函数在某一点可导的充分必要条件：,2019/4/30,8,例1,解,2019/4/30,9,1）,2、导函数,2
2、）,2019/4/30,10,3）,注：,2019/4/30,11,三、导数的几何意义,切线方程为,法线方程为,2019/4/30,12,例2,解,根据导数的几何意义，得切线斜率为：,故切线方程为,法线方程为,2019/4/30,13,四、可导与连续的关系,结论：可导的函数一定是连续的,证,2019/4/30,14,例3,解,2019/4/30,15,思考判断题,2019/4/30,16,一、按定义求导数,例1,解,第二节 初等函数的导数,2019/4/30,17,例2,解,2019/4/30,18,例3,解,更一般地,2019/4/30,19,例4,解,2019/4/30,20,例5,解,2
3、019/4/30,21,例6,解,2019/4/30,22,例7,解,2019/4/30,23,例8,解,2019/4/30,24,二、和、差、积、商的求导法则,定理,2019/4/30,25,证(1),则,2019/4/30,26,证(2),则,2019/4/30,27,证(3),则,2019/4/30,28,2019/4/30,29,推论,2019/4/30,30,例1,解,例2,解,2019/4/30,31,解,例3,2019/4/30,32,例4,解,2019/4/30,33,解,例5,2019/4/30,34,例6,解,例7,解,2019/4/30,35,思考题,求曲线 上与 轴平行
4、的切线方程.,2019/4/30,36,思考题解答,令,切点为,所求切线方程为,和,2019/4/30,37,（一）反函数的导数,定理,即 反函数的导数等于原函数导数的倒数.,二、反函数的导数、复合函数的求导法则,2019/4/30,38,证,于是有,2019/4/30,39,2019/4/30,40,2019/4/30,41,2019/4/30,42,2019/4/30,43,（二）复合函数的求导法则（链式法则）,定理,把特殊点 换成一般点 ，有,2019/4/30,44,推广,例5,解,令,则有,2019/4/30,45,例6,解,2019/4/30,46,例7,解,2019/4/30,4
5、7,例8,解,2019/4/30,48,例9,解 这里仅考虑 x 为正数的情况,2019/4/30,49,例10,解,2019/4/30,50,例11,解,2019/4/30,51,思考题,幂函数在其定义域内（ ）.,2019/4/30,52,（一）隐函数的导数,三、隐函数的导数 对数求导方法 高阶导数,例如：,2019/4/30,53,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,问题: 隐函数不易显化或不能显化时如何求导?,隐函数的显化；,若,若无法写成上面的形式，则认为不能显化,2019/4/30,54,例1,解,解得,2019/4/30,55,例2,解,解得,2019/4/
6、30,56,隐函数求导法可用来建立反函数的导数,例3,解,2019/4/30,57,例4,解,2019/4/30,58,（二）对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数求导法.,适用范围:,2019/4/30,59,例1,解,等式两边取对数得,2019/4/30,60,例2,解,等式两边取对数得,2019/4/30,61,问题:变速直线运动的加速度.,定义,（三）高阶导数,2019/4/30,62,记作:,三阶导数的导数称为四阶导数, 记作:,二阶导数的导数称为三阶导数,记作:,2019/4/30,63,例1,解,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,2019/4/30,64,例2,解,2019/4/30,65,例3,解,2019/4/30,66,例4,解,同理可得,2019/4/30,67,典型例题,例1,解,
