多维随机变量及其分布090603

1、ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称 经济应用数学C课时 50+50=100 分钟 任课教师 蔡东平 专业与班级市营 B1601 班 人资 B1601-02 班课型 新授课 课题 二维随机变量函数的分布知识与技能1. 引言2 离散型随机向量的函数的分布3 连续型随机向量的函数的分布4 连续型随机向量函数的联合概率密度5 和的分布6 商的分布7 积的分布8 最大、最小分布学习目标过程与方法在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在 40 岁以上的人群，用 和 分别表示一个人的年。

2、3.3 多维随机变量函数的分布一、多维离散随机变量函数的分布以二维为例讨论，设二维随机变量 的取值为(,)XY随机变量(,)(,)ijxyZfXY的取值为 . 令 ，则kz(,):(,)kijijkCxyfz()ijkPfz.(,)(,)ijkij ijxyCp例 3.3.2（泊松分布的可加性）设 且12(),(),XPY与 相互独立证明XY2.Z证明：略注 证明过程用到离散场合下的卷积公式，这里卷积指“ 寻求两个独立随机变量和的分布运算”，对有限个独立泊松变量有 1212()().nnPP例 3.3.3（二项分布的可加性）设 且(,(,XbpYm与 相互独立证明XY(,).ZXYbmnp证明 略注：（1）该性质可以推广到有限个场合 2 12(,。

3、第二章 随机变量及其分布习题解答1.解：令 ,21,)(kpkXP（1）显然 ，且0k12211kkp所以为一概率分布。,)(XPk（2） 为偶数(312)4112kkp16)5( 255kkXP2.解： ，而1!1ekc!0k，即1!01ec)(3. 解： ,21,)()(kpkXP4. 解：（1） ,0,.)9.0()()( kkkk（2） 555 )9.0(1)9.0()()( kkkXP5. 解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为 ，所以这是一个 ,41pn的独立重复试验。641)3(4)1()4( 055 CXP6. 解：（1） 0175.)9.(01.2)9.0( （按 (泊松)分布近似）Poisn（2）（按.,p(泊松)分布近似）is01.!1)9.0(1.)1( 0011NkNkk eCXP查表得 47. 解： 2ln,21!0)( eXP)1()。

4、第二章,随机变量及其分布,一、随机变量,二、离散型随机变量及其分布,三、随机变量的分布函数,四、连续型随机变量及其分布,五、随机变量的函数的分布,第一节,为了更方便地从数量方面研究随机现象的统计规,第二章,实数对应起来，将随机试验结果数量化。,随机变量,律，引入随机变量的概念，即将随机试验的结果与,定义1.设随机试验的样本空间,在样本,上的实值单值函数，,称,是定义,为随机变量。,例1.对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。,设,为随机变量。,其中,表示事件A：结果,样本空间,出现正面，,即,同理,其中,表示事件,一、随机变量的定。

5、为什么需要讨论多维随机变量？,以上我们只限于讨论一个随机变量的情况，但在实际问题中，对于某些随机试验的结果需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述。例如，为了研究某一地区学龄前儿童的发育情况，对这一地区的儿童进行抽查，对于每个儿童都能观察到他的身高H和体重W。在这里，样本空间S=e某地区的全部学龄前儿童，而H(e)和W(e)是定义在S上的两个随机变量。又如炮弹弹着点的位置需要由它的横坐标和纵坐标来确定，而横坐标和纵坐标是定义在同一个样本空间的两个随机变量。,多维随机变量及其分布,二维随机变量及其分布函数 二维随机。

6、第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的概率分布一、填空题1. 设（ ）的分布函数为 ，则YX, 其 它， ，），（ 0031yxyxFyyx（ ）的联合概率密度 = ；, ),(yf 其 它， ， 0ln322 yxxyx2 设随机变量( )的分布函数为 , 则 = YX, )3(2(yarctgCarctgBAyF），（ A/1, = , = ， ( )；B/C2/0A3. 用 的联合分布函数 表示概率 = , ),(x),(cYbXP；),(),(caFb4.设 在区域 G 上服从均匀分布， G 为 及 所围成的区域， 的YXy2),(概率密度为26,(01,);(,)xxfxy其 它 .5. 设 ( ) 联合密度为 ，则系数 = 1 ；YX, 其 它，），（ ,00 ,yAeyxfyx A6. 设。

7、3.1 多维随机变量及其联合分布 3.2 边际分布与随机变量的独立性 3.3 多维随机变量函数的分布 3.4 多维随机变量的特征数 3.5 条件分布与条件期望,第三章 多维随机变量及其分布,3.3.1 多维随机变量定义3.1.1若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).,3.1 多维随机变量及其联合分布,定义3.1.2,3.1.2 联合分布函数,F(x, y) = P( X x, Y y),为(X, Y) 的联合分布函数.,(以下仅讨论两维随机变量),任对实数 x 和 y, 称,注意：,F(x, y)为(X, Y)落在点(x, y)的左下区域的概率.。

8、第三章 多维随机变量及其分布,3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布 3.3 随机变量的相互独立性 3.4 二维随机变量函数的分布,3.1 二维随机变量,一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布,1. 定义,一、二维随机变量及其分布函数,若 E 是一个随机试验，它的样本空间是=e，,设 X=X(e) 和 Y=Y(e) 是定义在 上的随机变量。,由它们构成的一个向量 (X, Y) ，叫做二维随机向量，或二维随机变量。,图示,注意事项,(1) 向量 (X, Y)是一个整体, 其性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的。

9、考研数学复习之多维随机变量及其分布来源：文都教育多维随机变量及其分布经常和随机变量的数字特征结合出一道大题，经常考试的题型就是求连续性或者离散型随机变量的函数分布，参数的值，以及数字特征等，题目类型很固定，分值在 11 分左右，主要内容总结如下：一、二维随机变量概念与性质 1、定义 设 是随机试验，则由定义在 的样板空间 上的随机变量 与 构成的EEXY有序对 称为二维随机变量。),(YX2、定义 对任意实数 ，二元函数yx,()()(),FPXxYyPXxYy称为随机变量 和 的联合分布函数。XY3、定义 称 为随机变量 的(x)x,yF(x,)X边缘分布函。

10、3多维随机变量及其分布测试题3多维随机变量及其分布测试题一、填空题：已知二维随机变量 EMBED Equation.3 的联合密度 EMBED Equation.3 则 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 的边缘分布密度 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 的联合分布率由下表给出，则 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 时 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 相互独立EMBED Equation.3 （1，1） （1，2） （1，3） （2，1）（2，2） （2，3） 概率 1/6 1/9 1/18 1/3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 设随机变量 EMBED Equation.3 相互独立，且分布。

11、第二章 第四节 多维随机变量及其分布第 1 页 共 12 页24 多维随机变量及其分布在前面几节我们讨论的随机变量，实际上也是一维随机变量，即随机变量 是一个实数但在许X多问题中，我们遇到的大多是多维随机变量例如，我们考察某地区居民的身体健康状况，则样本空间 是该地区全体居民，该地区的每一个居民是一个样本点 ，设表示该地 区居民的身高， 表示Y该地区居民的体重， 表示该地区居民的肺活量，则 、 、 是三个随机变量，我们称为三ZXYZ维随机变量同理，我们也可以定义多维随机变量YX，一多维随机变量及其分布函数定义 设 E 是一个随机。

12、1第三章 多维随机变量及其分布一、基本内容与公式 1. 二维随机变量的概念设随机试验的样本空间为 ,而 是定义在 上的两个随机变量, 称 为定义在 上的二维随机SYXS),(YXS变量。2. 二维随机变量的分布函数设 是二维随机变量, 对任意实数 , 二元函数)(YXyx,)()(),( yYxXPYXPyxF记 为称为二维随机变量 的分布函数或称为随机变量 和 的联合分布函数.,Y3. 联合分布函数的性质: 且,1)(0yxF对任意固定的 ,0),(yF对任意固定的 ,x;1)(,0),(F 关于 和 均为单调非减函数, 即yxy对任意固定的 当, ),(),(1212yxFx对任意固定的 当, ;,y 关于 和 均为右连续。

13、第 4 章 多维随机变量及其分布4.1 多维随机变量及其分布实际中，某些试验结果需要同时用两个或者两个以上的随机变量来描述例：(1) 研究某地区儿童的发育情况，需测量身高 与体重 ，写成 ；)(eH)(eG) ,(GH(2) 用导弹打飞机，爆炸点 ), (ZYX二维随机变量：试验 E，样本空间 ， X e)(eX为定义于 上的两个随机变量， Y)(eY称 为二维随机变量（或向量） ,X本章研究 的整体性质) ,(一分布函数分布函数： 是随机向量，称 为 的分布),(YX )( , ,),( Rx yyYxXPyxF ) ,(YX函数，或称 X 与 Y 的联合分布函数 y y y2 (x1, y2) (x2, y2) y (x, y) (x1, 。

14、,在第一章中，我们介绍了条件概率的概念 .,在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率,推广到随机变量,设有两个r.v X,Y ， 在给定Y取某个或某些值的条件下，求X的概率分布.,这个分布就是条件分布.,条件分布,第二讲 条件分布与随机变量的独立性,例如，考虑某大学的全体学生，从其中随机抽取一个学生，分别以X和Y 表示其体重和身高 . 则X和Y都是随机变量，它们都有一定的概率分布.,体重X,身高Y,体重X 的分布,身高Y 的分布,现在若限制1.7Y1.8(米), 在这个条件下去求X的条件分布，这就意味着要从该校的学生中把身高在1.7米和1.8米之间的那些人都。

15、1,概率论与数理统计,第四章 多维随机变量及其分布,2,第四章 多维随机变量及其分布,4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数,在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量.,例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y)来描述.,3,(X,Y),4,若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、湿度等等.,一。

16、多维随机变量及其分布二联合分布函数 联合分布函数 当 X ,Y在平面区域上取值时，考虑积事件 P X x Y y P X x Y y , X x Y y F x y , X ,Y落入区域 D的概率 x y x, y x y 几何意义 D 的。

17、3.1 多维随机变量及联合分布,3.2 二维随机变量的边缘分布,3.3 条 件 分 布,3.4 随机变量的相互独立性,3.5 二维随机变量函数的分布,第3章 多维随机变量及其分布,在实际问题的研究中，只用一个随机变量往往是不够的例如，要研究儿童的生长发育情况，常用身高和体重两个随机变量来描述；研究某地区的气候状况需要考虑温度、湿度等多个随机变量；研究国民经济状况，就需要用GDP、固定资产投资、各产业产值、人均消费额等很多随机变量来描述本章学习多维随机变量及其分布的有关概念、理论和应用,【保险中的理赔总量模型】保险公司在一个会计年。

18、多维随机变量及其分布 一 引例 1 体形的描述 X,Y 身高 X 体重 Y X与 Y的关系 多维随机变量的应用场景 男性25岁BMI指数 男性19岁BMI指数 引例 2 家庭支出描述 二维随机变量及其分布 定义 设 为随机试验的样本空间， 。

19、第三章 多维随机变量及其概率分布,第一节 多维随机变量的概念,一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量的概率 密度和边缘概率密度,一、二维随机变量及其分布函数,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,四、两个常用的分布,五、小结,第一部分 二维随机变量的概念,一、二维随机变量及其分布函数,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情。

20、4 相互独立的随机变量,引言,若(X, Y) N(m1, m2, s12, s22, r)，则X N(m1, s12)， Y N(m2, s22) . 结论： 二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布 ,并且不依赖于参数 r 对于给定的 m1, m2, s12, s22，不同的 r 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布都是一样的 这个例子说明：不能由边缘分布完全确定联合分布 在什么条件下，边缘分布可完全决定联合分布？,回顾：独立事件,定义：设 A, B 是两个事件，若 P(AB) = P(A)P(B)，则称事件 A, B 相互独立，简称 A, B 独立,定理1：若 P(A) 0 ，则事件 A, B 独立的充要条件是,或（若 P(B) 0。