1、第 4 章 多维随机变量及其分布4.1 多维随机变量及其分布实际中，某些试验结果需要同时用两个或者两个以上的随机变量来描述例：(1) 研究某地区儿童的发育情况，需测量身高 与体重 ，写成 ；)(eH)(eG) ,(GH(2) 用导弹打飞机，爆炸点 ), (ZYX二维随机变量：试验 E，样本空间 ， X e)(eX为定义于 上的两个随机变量， Y)(eY称 为二维随机变量（或向量） ,X本章研究 的整体性质) ,(一分布函数分布函数： 是随机向量，称 为 的分布),(YX )( , ,),( Rx yyYxXPyxF ) ,(YX函数，或称 X 与 Y 的联合分布函数 y y y2 (x1, y
2、2) (x2, y2) y (x, y) (x1, y1) (x2, y1)1yO x x O x的基本性质：),(yxF(1) 关于 x、关于 y 是单调非减函数；(2) ， ， ；1),(0y 0) ,() ,(),(lim),( FxyxFFx 1) ,(F(3) 关于 x、关于 y 是右连续函数： ；,xF ,(y , ,0yx(4) ， 有2121 y (说明之)0 ,) ,() ,(),(),( 21211221 yYxXxPyxFyxxx二二维离散随机变量只取有限多对或可列多对值 ， 记 ，),(YX ) ,(jix 3,ji jiji pyxXP ,满足：(非负性) ； (规范
3、性) 称 为 的联合分布律0 ijp 1)(1Pp i jij jip ) ,(YeX(e)Y(e)列表：YX 1y2 jy1x 2 ix p1 1jp212 2j1ip2i jip例 1. 将一枚硬币连掷三次，以 X 表示在三次中出现 H 的次数，以 Y 表示在三次中出现 H 次数与 T 次数之差的绝对值 求 的分布律)Y,(解：X 取值 ； Y 取值 由概率乘法公式得：32,1 031)0.5 ,3(B；0, XPXP；815.0 3 3 ,0 3； ；815.01Y ,3CXP 0 )(Y ,1PXP； ；. ,2323 )(3 ,2； 0)(1Y ,3PXP 815.0Y ,3XP三二
4、维连续随机变量，分布函数 ，存在可积函数 ，满足 ，) ,(YX),(yxF0),(yxf yxdtsfdyxF) ,(),(称 为连续随机变量 概率密度函数) ,( ),(yxf概率密度函数 的性质：),(yxf(非负性) ； ( 规范性) ；010 ,f 02 1) ,() ,(Fdyxfd若 为平面区域，则 ；032RD yxfDYXP) ,( ,(YX 1 3 01230 8000 81若 在 处连续， 则 04) ,(yxf),( ) ,(),(2yxfyxF几何意义：曲面 ， z ,yxfz2) ,(R),(yxfzO y x 例2. 设二维随机变量 的概率密度函数为 求：),(Y
5、X. ,0 ,0,6),(32他其 yxeyxf yx(1) 分布函数 ； (2) ； (3) .),yxF1 ,YXPYXP解：(1) 他其 ,0 ,0, ,6),(),( 0 32xytsyx yxdedstsfdy . ,0 ,0, ),1)(32 他其 yxeyx(2) 将 看作平面上随机点的坐标，即有 ，其中 为平面),(YX ),(1 ,1DYXYX 1上区域 1,) ,(1 , 1DdxyfYPYP32320 10 32 )(6 edxedyedxx1D11O xy 2DOyx的非零区域 的非零区域),(yxf 1D),(yxf 2D(3) ， ) ,(2DYX 0 0 3226
6、) ,( xyxdedDYXPYXP53 52)1(2 0 30 xxxx eede四两种常见的二维连续随机变量1. 二维均匀分布定义：设 是平面区域，面积为 ， 具有概率密度2RD) ,0(S) ,(YX 称 服从区域 上的二维均匀分布)( 0,1),( Dx, ySyxf ) ,(YXD容易验证， 落在 中某一子区域 内的概率与 的面积成正比，而与 的位置和形状YXAAA无关.2. 二维正态分布定义：设二维随机变量 具有概率密度函数) ,(YX， 221 21 2221 )()()()1(exp),( yyxxyxf为常数， ， 称 服从参数为21 , ,(R )0 , ,2 )Y ,(X
7、的二维正态分布， 记 , ,2121 , ()Y ,( 211NX在三维空间中的图形就像是一个放置在 平面上的草帽，其中心在 )(yxfz xoy )0,(21处二维正态分布的概率密度函数图形五 n 维随机变量试验E， ， ， 为定义于 上的n个随机变量， ,)(1X)(2X)( ,nX 称 为n维随机变(向)量 ,(21X分布函数：) (, ,) ,( 212121 R, x,x, XxXxP, xxF nnn 具有与 相类似的性质 )(yF若n维随机变量 中每一个分量都是离散随机变量，则称 为n维离),(21nX ),(21X散随机变量设 的所有可能取值为 ， , 则称i , ,321ii
8、ixx 3 ,2i ) , 2,1 , ,1(, , 2121 21 nkjpXxXxP kjjjnjj n 为 的联合分布律),(2nX对于n维随机变量 ，如果存在 n元可积函数 ，使得对于任意),(21n 0),(21nxxf实数 有 ，nxx,21 12 ),(), 2121x nxn dssfdsxF n则称 为n维连续随机变量， 称 为 的联合概率密度函),(X ),(21nf ),nX数对于区域 ， 有 nRG nnGn dxxxfXP 212121 ),(),( 4.2 边 缘 分 布一. 边缘分布函数随机变量 ，分布函数 的分布函数 、 分别称为 关于) ,(YX),(yxFY
9、X、 )(xFX)(yY) ,(YXX、关于Y 的边缘分布函数； (关于X 的边缘分布函数）)( ), ,( ,)( RxxYxPxxF (关于Y 的边缘分布函数）)( ),( ,)( yyFyXyYyY 二. 边缘分布律对于二维离散随机变量 ，已知 ，( ) 则),(YX , jiji yYxXPp 3, 21 ,ji，( )关于X 的边缘分布律； 1 1 , jjij jii yxPxXP i 3,21，( )关于Y 的边缘分布 1 1 jyY , ijii ij pxXPyYP j 3,21律YX 1y2 jyip1x 2 ix 1p2 1jp2 2j 1ip2i jip 1p2ipj1
10、p2j 1例1已知 的分布律，求边缘分布律),(YX解：YX 1 2 ip0232 0 31210 3j 64 1三. 边缘概率密度函数对于二维连续随机变量，已知概率密度 由 ),(yxf ) ,()(xFXX 是一个连续随机变量， 概率密度为 ),( dstsfx关于X的边缘概率密度函数RxyxfxfX ,),()(同样，Y 也是连续随机变量，概率密度为 关于Y 的边缘概RydxfyfY ,),()(率密度函数例 2设 具有概率密度 ， 求边缘概率密度函数和) ,(X 0,),(其 他 yxeyxfy y 1P xy解： ； y 0 ,0),()( xdy, edyxfxf x xyX .y
11、dx xxx, eedxyfyf yy Y 0 ,0 o ,),()( 011 0 01 )( edxexfXPX例 3设 ， ), , ()Y ,( 2121N dyxffX),()(将 中与y 无关的部分提到积分号外，将余下部分的指数部分对y 配方有：,xf，dyxyxfX 212221221 )1(exp )(ep)( 令 ， 有122 xyt) ( ,2)( exp 2121 2)( exp 21)( 121 Rxdtexf tX 同理， ) (,)( exp ),()( 22 RyydxyfyfY 这表明， ， 仅由边缘分布不能确定二维随机变量的联合分) ,(21NX ) ,(YN布
12、把二维随机变量的一些概念推广到n 维随机变量：n维 的分布函数 .vr),(21n,X ) (), ,( 2121 R, x,x xFnn 在连续时，概率密度函数 ；),(21n xf关于 的边缘分布函数 ；iX ) , , ,() iiiiX xFxXPFi关于 的边缘分布函数 ；),(21 ( ,) ,( 21212121 FxXx,边缘概率密度函数 ； niiniX dxdxfxfi 1121) ,()(nnX dxdx, xfxf 432121, ) ,(),(21 4.3 条 件 分 布（简介）一离散随机变量 ，分布律： ，( )Y ,(X , jiji yYxXPp 3,21 ,j
13、i边缘分布律： ， 1 jjiip1 ijij若 ，考虑条件概率 ，0jjyYPp jiji jjjiji pyYPxXyYxXP ,( 固定) 称为在 条件下 X 的条件分布律ji ,3 2,1 jyY它具有分布律的特性： (a) ； (b) 0jip 111 j ii jiji pp同理，若 ，称 ，ii xXPp ijii jijiij pxXPyYxXyYP ,( 固定) 为在 条件下 Y 的条件分布律ij, 32,1 ixX列表： 二 是连续随机变量，X 、Y 取单点值的概率为 0，不能直接由条件概率公式来定义条件) ,(Y分布函数对此， ，设 若极限 0 0yyP lim0 yYy
14、xXP)()()( , , li , lim00 xFyFyFxyYyxX YXYY 存在， 称为条件 下 X 的条件分布函数， 记为 或 xYX yP现设 ， ， 在 处连续， 且连续， 则) ,(YX) ,(yxF) ,(yxf) ,( 0)(yf；)(,)(),(2)()( lim, )(0 yfdsyFyxyFyyxF YxYYYYX 条件概率密度为 ， ( 要求 )( )(yfx,xfYYX 0(fY同理，可得 ； ， ( 要求 )(,)(xfdtxyFXyXY )( )(xf,yxyfXXY 0(xfX注：若 ，则 不存在； 若 ，则 不存在0)(fY yY 0)(f )fXY例
15、1. 设 的概率密度为 试求常数 k 及条件概率密度) ,(X 0, 1,),(他其 xykxf解： 1 1) ,(10 kdyxdyxfd； O 1 x 10, ,0 ,2),()( xdydyxfxf xXX 1x2 ijipj jpjipjy 1 ,0 ,1 ),()( 1 ydxdxyfyf yY当 ，有 ；01)( 1y fyY时 ， 1) ,( ,0 ,1)( )( yxyyfx, yxfYYX当 ， 不存在 y)(xfYX当 ，有 ；02)( 10xfxX时 ， x ,0 ,21)( )( yxxf, yxyfXXY当 ， 不存在 ,()(yfXY4.4 随机变量的独立性由事件间
16、的独立性引出随机变量间的独立性概念定义：随机变量 ， ， 若 有) ,(YXy) ,(xF)( ),(yFxYX Rx, y，即 ， 则称 X 与Y 相互独 , YPyxXP )()(,FxYX立(A) 对于离散随机变量 ，取值 ， 则 X 与Y 相互独立),(X) ,(jiyx，即 , jiji YPPyYxXP ， jijipp ) 3,2 1 ,(例如：下面的X 与Y 相互独立(B) 对于连续随机变量 ， ， 则 X 与Y相互独立) ,(YX) ,(yxf )( ),(yfxfYXY X 2 3 ip016132jp1， ( 利用两边积分、微分证明之)()( )( yfxfa.ex,yf
17、 YX2)( Rx,y例如：考察二维正态变量 ，, , 2121N 221 21 2221 )()()()(exp),( yyxxyxf则 X 与Y 相互独立 0， 21 1)(exp 2)( xf 2 2)(exp )( yyfY“ ” ， 显然)( )(, yffyf YX“ ” 在 中令 ， 得 (xx 21 ,yx0例1一负责人到达办公室的时间均匀分布在 812时，他的秘书到达办公室的时间均匀分布在 79时设他们两人到达时间相互独立，求他们到达时间相差不超过5分钟的概率解：X负责人到达的时间， Y秘书到达的时间 已知 X 与Y 相互独立， 故， ，他其 0,12841)(xxfX 其
18、他 0,9721)(yyfY 9 C/ C 其 他 0, 1,8)( ),( xyfxfyxfYX 7 D 12 ,97 ,128 : yxDO 8 12 x )(8) ,( DSdfYXPD416121238推广到多维随机变量：(a) 称 相互独立， 若 ，) ,21n,X )()()() ,( 2121 nXXXn xFxFx, xxF ；Rxx(b) 称 与 相互独立， 若) ,21m, ) ,(21n,Y，) ( ), ,( 121 R,yxyFxFyxF jinmn (其中 为 、 、 的分布函数)2F、 ) ,(11 n, X ) ,2m, X 21n,Y定理设 与) ,(21m,
19、 X ) ,(21n, Y相互独立，则 也相互独jiY与 立若 、 是多元连续函数，则 与 相互独立) ,(1mxh ),(1nyg ), (1mXh ) ,(1nYg4.5 多维随机变量函数的分布只就几个具体函数来讨论两个随机变量函数的分布已知 的分布，而 ，) ,(YX) ,(YXZ二元连续函数，求 Z 的分布 比如，一家大型商店一月份、二月份、三月份的商品),(yx销售额分别记为 ，要求第一季度的销售总额 的分布YX、 S一. 二维离散随机变量函数的分布例 1已知 的分布律， 求 和 ),(YXYXZ1 ,max2YXZ的分 布律解：二. 二维连续随机变量函数的分布 y 1. 的分布 Y
20、XZ设 为连续 ，概率密度为 ),(.vr )y,(xf zyxO z xdyxfzPzFzyxZ ),(YX 2 10162311Z 0 1 2 321P 63632Z 0 1 2 1P 623dyxfyz ),( yzx， zz duyufdyuufyxu ),(),( 求导得： ， ；zfzFzfZZ ) ,()()( )(Rz由 X、 Y 的对称性，也有： ， dxxffZ ) ,()( )(当 X 与 Y 相互独立时， ， 故 y, yffxf YX )()()()()()( )()()( zffdxzfxfzfzfdfzfzf YXYXXYXZ (卷积) ， R例2设 ， ，且相互
21、独立，求 的概率密度函数)1 ,0(N )1,0( Z解： ,2)2RxexfxX dxeedxedxzfxfzf zxzxzxYXZ 2222 )(4)( 121)()()( ， 424 2221 2 ztz eeetzx ) (Rz即 正态变量具有可加性) ,0(NZ推广：一般地，若 相互独立， ， 则n, X21 , ) ,(2iiiNXn iin iiii k,kkZ 1211 2. 最大值、最小值的分布设 X与Y 相互独立，分布函数 求 及 的分布)( ),(yFxYX ,maxYXM ,minYXN函数 、 )(zFM)(zN由于 ， 故zX， )()( ,)( zFzYPzXYP
22、zPz YXM ；R1 ,11)( zYPzXzYXPzNPzNPzFN )()(1FYX推广到 n个相互独立的随机变量：相互独立，分布函数为 记 ， ,1 )( ,)(1nXXxFx ,max1nXM， 则 ， ， , min1nXN niMzzFi1 ) niXNzFzi1 )( )(R特别，当 独立同分布，共同的分布函数为 ， 则, ,2 )(F， ， nMzFz)()( nNzz)()(Rz例 3设系统 L 由两个相互独立的子系统 联接而成；联接方式为 (i) 串联；(ii) 并联；21L、(iii) 备用（当 损坏时， 开始工作 ） 已知 的寿命分别为 X 和 Y， 概率密度为12L
23、21、， ， 0 ,0)( xexfxX 0 ,0)( yeyfyY ,0 ,试分别写出 L 的寿命 Z 的概率密度函数 L1 L1 K L1 L2 L2 L2 解：(i) 串联 ),min(YXZ由于 ， ， 0 ,01)()( xedtfxFxxXX 0 ,01)( yeyFyYZ 的分布函数 ； , ,)(1)(1)( )(zezzFz zYXN 0 0, ,)()()( )(zezFzf zNN (ii) 并联 ),max(YXZ故 Z 的分布函数 ； 00 ),1)(1()()()( z, eezFzF zzYXM 00 ,)( )()( )(z z , eeezFzf zzMM (
24、iii) 备用 YXZ )( ,)(z)()()()( Rzdxfxfzffzf YXYXZ x x 0 ,0当 ； )( , dxzfzZ当 e )( ,0z z0 )x(0 )(z eddxezfz zzxZ即 00 ,)( z z , ezf zZ 4.6 多维随机变量的数字特征本节介绍多维随机变量函数的数学期望与方差一二维随机变量函数的数学期望在实际问题中，常要计算 的函数 的期望 ， 是二元连续函) ,(YX) ,(YXgZ)(ZE) ,(yxgz数例如，已知 ， 而 ，要求 )0, ,N0) ,(2 2定理4.6.1 设 是随机变量 的函数： ，其中 是二元连续函数Z)( ) ,(
25、),(yx(1) 若 是二维离散 ，分布律 ， 则),(YX.vr jiji pyYxXP3,21j1 ),(),()(i jijjiggEZ(2) 若 是二维连续 ，概率密度 ，则有),(Y. vr,yxfdyxfygdYXgEZ ),(),(),()(要求级数与积分绝对收敛)例1设 具有概率密度 ， 则 ) ,YX他其 0, 101) ,( y, xyxyfdxxydyxydyxfydxXYE 312)(),()( 1 0 1 0 1 0 ；3121 0 x127)(),()(1 0 dyxdyfdXE)(),()(1 0 xdxyfY此例中， 可先求 ， 后求 他其 ,015.),()(
26、 xdyffX1270.5)()()( 1 0 xxdxfXEX二数学期望的运算性质设X, Y是两个随机变量，则 01 )()()(YEXYE设随机变量X 与Y 相互独立，则 2证：我们仅给出 为连续随机变量情况下的证明),(X设 是连续的，概率密度 ，据公式(4.6.2) 得01) ,( ),(yxf )()(),(),(),( YEXdyxfdyxfdfyxdYXE 又设X与Y相互独立，则 ， 据 Th4.6.1(2) 得02 )(),(fxffYX )()()(,)( dyfdxfdyffydyxfydxE YXYX(Y推广到任意有限多个随机变量的情形：设 是n个随机变量， 则 ,X 2
27、1, nkknkkXEXE1 1 )(又设随机变量 相互独立， 则 n, 21, nkkn k1 1)(例2. 将 r 只小球随机地放入 N只大盒子，设每只球落入每个盒子是等可能的求有球的盒子数 X的数学期望解: 将盒子编号： ， 右图示N, 2,1先将X分解对应于i 号盒子引入随机变量号 盒 子 无 球 ，第， 号 盒 子 有 球 ，第 i 0,1i Ni ,2 ,1则 的分布律为 NiiX1 i故 ri NE由性质 推广形式 有 01riNi NXE1)(1 例 3. 一电路中电流 I(单位 A)与电阻 R(单位 )是两个相互独立的随机变量，概率密度分别为：电流 I： ； 电阻 R： 他其
28、 ,012)(iiig 他其 ,039)(2rrh试求电压 的均值RIV解： )( 5.19 2) ()(301 0 VdrdiEIE 三方差的运算性质运算性质：设随机变量X与Y 相互独立，则 )()()()( YVarXrYXarYXVar 此性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况：设随机变量 相互独立，则 n,X X21, nkknk XVarXVar1 1 )(证： 22 )()( )()()( YEEYEYEYVar 22 ( YE；)()()( )()( VarXarVrXXr )(1(2 YrXarYVararYVa 例 4设 ，求 ),(pnB ) )(E，1 2
29、 i NiX 0 1 P rN1rN解：根据二项分布的定义，X 是 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数，在每次试验中 A 发生的概率为 p引入随机变量： 不 发 生 ，次 试 验 中第， 发 生 ，次 试 验 中第 i 0,1Xi ) ,2 ,1(ni则 由于各次试验结果相互独立，故 相互独立 的分布律为niiX1 nX , ,21 iX )1()(pVarpEii ；故 ；ni niiXE1 1 )(ni nii pnpVarVar1 1 )1()()()(4.7 矩、协方差、相关系数一原点矩与中心矩矩：设 X 与 Y 是随机变量， 3,21 ,lk称 为 X 的 k 阶原点矩，简称 k
30、 阶矩；)(kkE称 为 X 的 k 阶中心矩；m称 为 X 与 Y 的 阶混合矩；lkY)(l称 为 X 与 Y 的 阶混合中心矩lkEE )( )(lk关系式： ， ， 2122m31123m 4121134 36m显然， 是 X 的一阶原点矩 ； 是 X 的二阶中心矩 )( 1)(Var 2例 1. 设随机变量 X 的分布律为右图，求 32 ,解： 1564231)( 222 E，316)(1X故 031261)()2()( 3333 3 3 XEEm二协方差与相关系数如 X 与 Y 相互独立，有 ； 反之，当它不等于 0 时， X 与 Y0 )E( )( Yi 0 1P pX 1 2
31、4 5P 631就不独立，必存在着一种关系协方差： 称 为随机变量 X 与 Y 的协方差)E( )( ),( YXEYXCov 相关系数： 称 为随机变量 X 与 Y 的相关系数 (要求分母大于 0)() , v关系式： ) ,(2)()( CovYVararYVar 协方差计算公式： ,( EXECov事实上， )()()() ,( YXX)()()( EYYEYE 协方差的性质：. ； . ， 这里 是常数；01),() ,(XCovXov02 ),() ,( YXabCovaXCov ba、. 03 ) ,() ,() ,( ZYovZvZYv例 1. 设随机变量 具有概率密度 ， 求)
32、,(X他其 0, 1012) ,( 2x, yxyyxfY ),(Cov解： ； y 1 0 61 0 2 7 ),(2 dxdyxdyxfdXE 2x； 1 2 12)(1 0 yxY； O 1 x ),()( dxfdXE1 0 2 94 2dyx所以 631794)()() ,( YEXEYCov又因为 ； ；4 12)(1 0 3 2 dyxdX 103 12)(1 0 3 2 dyxdYE； ；19674)()()( 22 EVar 2)()()(22 YEVar所以 527403(Y) X, CovY下面讨论 的性质考虑以 X 的线性函数 来近似表示 Y 我们以均方误差XY baX
33、(1)(2)(2)(2)()()( 222 YbEXaXYaEbXEaYbaXYEe 来衡量以 近似表示 Y 的优劣程度选取 使 达到最小 是 的二元可偏导实函 ,ee ,数， 令 .0)(2)(2,)()()(2YEXabe Xb.)(,)()()(,)(000 XVarYCovEYXEaYbVrCova将 代入(1) 得 (2)0 ,a )(1()(min 22002 , YVarbXaEb Xba 相关系数的性质：； 的充要条件是，存在常数 使得 011XY021XY ba, 1baP证： 由式(2)与 的非负性得 ， 亦即 0)(baYE 012XY1XY若 ，由式(2)得 02 XY
34、)()()( 20000200 baEXVrbXaYE从而 ， (0Vr )(baYE由方差的性质知，存在常数 使得 从而 , c 100cXP 0)(00cbXaYE故 100bXaYP反之，若存在常数 使 , 即 ， 从而*,a*baY 1)(*bXaYP)(2*E所以 )()1()()(min)(022002 ,2* YVarbaEbaXEbXaY Xba 但据 的定义， ，可得 XY0)()(2YVr1XY若 ，则称随机变量 X 与 Y 正相关，这时以较大的概率可认为， Y 的取值随着 X 的取值0增大而增大；若 ，则称随机变量 X 与 Y 负相关，这时以较大的概率可认为， Y 的取值
35、0XY随着 X 的取值增大而减少当 时，X 与 Y 的线性依赖关系不存在0Y定义：若 ，则称随机变量 X 与 Y 不相关Y显然，若 X 与 Y 相互独立，则 X 与 Y 不相关；但 X 与 Y 不相关时，仅仅说明它们之间没有线性依赖关系，这并不意味着它们相互独立，X 与 Y 可能存在其它的依赖关系，可见后面例4.8.6总之，这两个概念不等价但是，对于二维正态随机变量而言，相互独立与不相关却是等价的定理：若 ，那么， X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 与 Y 不相),(),( 2121NYX关证：根据例 4.2.4， ， 故 ),(21 ),(2NY， ； ，1)(XE)(XVar2E 而
36、2YVar dyxfyxdCov 21),()() ,( dyyyx 221212 21221 )()()()1(ep)( 122 2211221 )(ep)()(exp)( xydx 令 ， 则121xys 2 22122111 1 )(exp)() ,( dsesxdxYXCov 211211 )(ep0)(2 dxx再令 ， 则 1t 2 21 2 21 )() ,( tt edteYXCov 212 2 21 dteet tt于是， 21)( ,YXCovXY由例 4.4.3 知，X 与 Y 相互独立等价于 ，这等价于 ，即 X 与 Y 不相关00XY相关系数描述了两个随机变量之间线性
37、相关的程度，它在许多领域有着广泛的应用在产品生产过程中，它可用来描述影响产品质量的各道工艺之间的相关程度； 在医学上，它可用来描述各种疾病发生率之间的相关程度； 在经济及金融投资领域，它可用来描述行业之间的收益、股票之间的价格的相关程度等协方差矩阵：设 n 维随机向量 ， 称 为 X 的均值向量； 称nX21 )( )()(21nEX n n n nnnnT c c ccXEXXEEX 21221111221 )( ,)()( )()( )( 为 X 的协方差矩阵， 其中Ccnji)( ， )( )(),( jjiijiji XEXEov nji ,2 1,注意到 ， C 是实对称矩阵，可以对角化cTijji , 利用协方差矩阵可以简便地表达 n 维正态随机向量的概率密度函数设二维随机向量 ，则协方差矩阵为 ，),() ,( 212121 NX 2211 C概率密度函数可表示为 )()(21exp)(dt)2(),( 1211 XXCxf Tn 维正态随机向量 的概率密度函数定义为TnXX,21, 记 )()(21exp)(dt)(),( 121221 XCxxf Tnn ) ,(CNXn 维正态随机向量具有丰富的客观背景如调查一地区小学新生六周岁儿童的身高 H 和体重G，则 大致服从二维正态分布又如，调查一所大学学生在校期间所学的
