1、1,概率论与数理统计,第四章 多维随机变量及其分布,2,第四章 多维随机变量及其分布,4.1 多维随机变量及其分布函数、边缘分布函数,在前一章中，我们所讨论的随机现象只涉及到一个随机变量，但在很多随机现象中，往往要涉及到多个随机变量.,例如，向一个目标进行射击，如果只考虑弹着点与靶心的距离，那么用一个随机变量来描述就可以了；如果要考虑弹着点的位置，那么就需要两个随机变量(弹着点的横坐标X与纵坐标Y)来描述.,3,(X,Y),4,若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、湿度等等.,一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个整体
2、(即向量)来研究.,定义4.1 若X1(e),X2(e),Xn(e)是定义在同一个样本空间S上的n个随机变量，eS，则由它们构成的一个n维向量(X1(e),X2(e),Xn(e)称为n维随机向量，或n维随机变量，简记为(X1,X2,Xn).,显然一维随机变量，即为前一章讨论的随机变量.,下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个随机变量的情况，不难类推.,5,类似于一维随机变量的分布函数，我们定义二维随机变量的分布函数如下：,定义4.2 设(X,Y)为二维随机变量，x、y为任意实数，则二元函数 F(x,y)=P(Xx,Yy)称为(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合分布函数.,如果将二维随机变
3、量(X,Y)，看成是平面上随机点的坐标，那么F(x,y)就是二维随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的左下方的无穷矩形域内的概率(如图4.1).,6,(X,Y),(X,Y),(X,Y),F(x,y),图4.1,7,利用分布函数F(x,y)=P(Xx,Yy)，对任意的四个实数x1x2，y1y2，可以求得 事件“x1Xx2，y1Yy2”的概率为,P(x1Xx2,y1Yy2) = F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1),即,这个结果可以从图4.2直接看出.,8,(x1,y1),(x2,y2),(x1,y2),(x2,y1),图4.2,9,分布函数具有如下的性质：,()对
4、任意的实数x和y有 0F(x,y)1；,()对任意的x1x2，任意的实数y，有 F(x1,y)F(x2,y)；,对任意的y1y2，任意的实数x，有 F(x,y1)F(x,y2)，,即F(x,y)对每个分量都是单调不减的；,10,()对任意的实数x和y有,11,()F(x,y)对每个分量都是右连续的，即 F(x+0,y)=F(x,y)， F(x,y +0)=F(x,y)；,()对任意的实数x1x2，y1y2，有 F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)+F(x1,y1)0.,性质()、()的证明是显然的，性质()可由概率的定义和性质直接得到，而性质()、()的证明从略.,可以证明，若某二
5、元函数F(x,y)满足上述的五个性质，则必存在二维随机变量(X,Y)以F(x,y)为其分布函数.,12,如果二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)为已知，那么随机变量X与Y的分布函数FX(x)和FY(y)，分别可由F(x,y)求得.,事实上，直观地看(不严格证明) FX(x)=P(Xx)=P(Xx,Y+)=F(x,+) 其中,13,同理可得FY(y)=P(Yy)=P(X+,Yy)=F(+,y) 其中,人们称FX(x)和FY(y)为分布函数F(x,y)的边缘分布函数，或二维随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘分布函数(marginal distribution).,14,例1 设二维随机变量
6、(X,Y)的分布函数,求(1)常数C； (2) P(0X1,0Y1)； (3)FX(x)和FY(y)？,解 (1)由1=F(+,+)=C00+0=C，得 C=1.,15,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数,(2) P(0X1,0Y1)；,16,(2),17,例1 设二维随机变量(X,Y)的分布函数,(3)FX(x)和FY(y)？,18,(3),19,第四章 多维随机变量及其分布,4.2 二维离散型随机变量,若二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)为二维离散型随机变量.,设(X,Y)为二维离散型随机变量，所有可能取的值为(xi,yj)，i,j=1,2,.
7、令 pij =P(X=xi,Y=yj)，i,j=1,2,， 则称pij (i,j=1,2,)为(X,Y)的分布列，或称为X和Y的联合分布列.,20,由(X,Y)的分布列的表达式，二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数可表示为,其中和式是对所有满足xix，yjy的i,j求和.,21,二维离散型随机变量分布列具有下面的性质：,() pij 0，i,j= 1,2,；,(),(),22,性质()是显然的，性质()、()可用概率的完全可加性证明之.,今就()证明如下：,23,24,同理,称pi.和p.j为二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布列.,为二维离散型随机变量(X,Y)的边缘分布列.,25,与一
8、维情况类似，二维离散型随机变量的分布列及边缘分布列可用表格表示：,26,表中右方的最后一列，是关于(X,Y)的边缘分布列，其中pi.恰好是表中第i行的概率之和(i=1,2,)；,表中下方的最后一行是关于(X,Y)的边缘分布列，其中p.j恰好是表中第j列的概率之和(j=1,2,)；,表中右下角的1表示,27,例1 在10件产品中，有2件一级品，7件二级品，1件次品.从中抽取3件，设X、Y分别表示抽得的一级品和二级品的件数，求(X,Y)的分布列及边缘分布列.,解 X可能取的值为0，1，2； Y可能取的值为0，1，2，3.,其中i= 0,1,2；j= 0,1,2,3；且2i+j3.,当i+j1或i+
9、j4时，“X= i,Y= j”为不可能事件，故 pij= 0.,28,从而(X,Y)的分布列及边缘分布列为：,29,例2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？,解：(X,Y)的分布列为：,30,31,32,33,例2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？,解：(X,Y)的分布列为：,34,35,36,例2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正
10、面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？,解：(X,Y)的分布列为：,37,例2 将一枚匀质的硬币连掷三次，以X表示三次中正面出现的次数，以Y表示三次中正面出现的次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的分布列和边缘分布列？,解：(X,Y)的分布列及边缘分布列为：,38,第四章 多维随机变量及其分布,4.3 二维连续型随机变量,4.3.1 概率密度及边缘概率密度,与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下：,39,与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下：,定义4.3 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x
11、,y)，如果存在一个非负的函数f(x,y)，使得对任意的实数x，y，有,则称(X,Y)为二维连续型随机变量，同时称f(x,y)为(X,Y)的概率密度函数，简称概率密度，或称为X与Y的联合概率密度.,40,由此二维连续型随机变量的定义可知，二维连续型随机变量就是具有概率密度的二维随机变量.,概率密度f(x,y)相当于物理学中物质的质量面密度，而分布函数F(x,y)相当于以f(x,y)为质量密度的物质分布在区域(,x；,y )中的总质量.,由二维连续型随机变量的定义式可以证明，若f(x,y)在点(x,y)处连续，则,41,由式,和式,可知，二维连续型随机变量的分布函数和概率密度与一维情况类似，在一
12、定的意义下也是互相决定的.,42,二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)具有如下的性质：,() f(x,y)0，x+，y+；,(),()设G是xOy平面上的一个区域，则点(X,Y)落在G中的概率为,43,G,P(X,Y)G,44,上面诸性质的几何意义如下：,令Z=f(x,y)，则,由性质()，Z=f(x,y)表示张在xOy平面上方的曲面.,由性质()，曲面Z=f(x,y)与xOy平面所夹的空间区域的体积为1.,性质()中的概率P(X,Y)G在数值上等于以曲面Z=f(x,y)为顶，以平面区域为底的曲顶柱体的体积.,45,与二维离散型随机变量相仿，现在来介绍二维连续型随机变量的边缘概率密度的概念
13、.,由式,得,46,从而可知，X是连续型随机变量，且相应的概率密度为,同理可得，Y也是连续型随机变量，且相应的概率密度为,称fX(x)，fY(y)为二维随机变量(X,Y)的边缘概率密度.,47,例1 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为,求(1)常数A； (2)P(0X1/2,0Y1/2)； (3)fX(x)和fY(y)？,48,D图,49,解 (1),50,(2)P(0X1/2,0Y1/2)；,51,解 (2),52,(3)fX(x)和fY(y)？,53,解 (3),54,含参变量的积分的计算步骤：,(1)写出被积函数的表达式；,(2)画出被积函数不为零的区域；,(3)将参变量的定义域
14、分成不同的范围，使在每个范围内积分上下限的表达式唯一；,(4)积分时将参变量看成常数.,55,56,第四章 多维随机变量及其分布,4.3 二维连续型随机变量,4.3.2 均匀分布,57,设G是xOy平面上的一个有界区域，其面积为S(G)，若二维随机变量(X,Y)具有概率密度,则称随机变量(X,Y)在区间G上服从均匀分布.,58,由于f(x,y)0，且,故满足概率密度的两个基本性质()、().,设(X,Y)在有界区域G上服从均匀分布，概率密度为上式，又设D为G中的任意一个区域，面积为S(D)，则由前面的公式,59,可得,上式表明，(X,Y)落在有界区域G的任意一个子区域D中的概率与子区域的面积成
15、正比，而与D的位置和形状无关，故(X,Y)落在面积相等的各个子区域中的可能性是相等的.这也说明 “均匀分布”中的“均匀”就是“等可能”的意思.,60,例2 设(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y=x及y=x2所围成的区域(图4.3)，求(X,Y)的概率密度和边缘概率密度.,61,x,O,y,y=x2,y=x,图4.3,(1,1),62,例2 设(X,Y)在区域G上服从均匀分布，G为y=x及y=x2所围成的区域，求(X,Y)的概率密度和边缘概率密度.,解 区域的G面积,由均匀分布概率密度表达式，(X,Y)的概率密度为,63,x,O,y,y=x2,y=x,图4.3,(1,1),1,1,64,关
16、于X、Y的边缘概率密度为,65,第四章 多维随机变量及其分布,4.4 随机变量的独立性,随机变量的独立性是概率论中的一个很重要的概念，它可借助于事件的独立性概念引出来.,设X，Y为是两个随机变量，“Xx”，“Yy”为两个事件，其中x，y为任意的实数，根据事件的独立性定义，两事件“Xx”，“Yy”相互独立，相当于下面的式子成立： P(Xx,Yy)=P(Xx)P(Yy)， 或写成 F(x,y)=FX(x)FY(y).,66,由此得到如下的两个随机变量相互独立的定义,定义4.4 设F(x,y)，FX(x)、FY(y)依次为(X,Y)， X、Y的分布函数，如果对任意的实数x，y，下面的式子成立 F(x
17、,y)=FX(x)FY(y) 则称随机变量X与Y是相互独立的.,设随机变量X、Y分别有概率密度fX(x)，fY(y)，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数 fX(x)fY(y) 是二维随机变量(X,Y)的概率密度.,67,事实上，若fX(x)fY(y)是(X,Y)的概率密度，则,即式 F(x,y)=FX(x)FY(y)成立，故X与Y相互独立.,68,反之，若X与Y相互独立，则,故fX(x)fY(y)是的概率密度.,69,从式,可见，若f(x,y)，fX(x)，fY(y)分别为(X,Y)，X、Y的概率密度，而且它们分别在点(x,y)，x，y处连续，则 f(x,y)=fX(x)fY(y).,70
18、,当(X,Y)为二维离散型随机变量时， X与Y相互独立的充要条件是，对一切i,j，下面的式子成立： pij=pi.p.j 这里pij ，pi.和p.j分别为(X,Y)，X、Y的分布列.,由式 F(x,y)=FX(x)FY(y) 和 式f(x,y)=fX(x)fY(y)或式pij=pi.p.j可知，要判断两个随机变量X，Y是否独立，只要验证X和Y的联合分布(概率密度或分布列)是否等于边缘分布(概率密度或分布列)的乘积就可以了.一般来说，这是比较容易的.,71,利用随机变量相互独立的充要条件，也可以求出1.4节例1中约会问题的概率，解法如下：,例1 (约会问题)二人约定于0到T时内在某地见面，先到
19、者等t(tT)时后离去，求二人能会面的概率.,解 设二人到达某地的时刻分别为X和Y，由题意可知 X与Y是相互独立的，且都在0,T上服从均匀分布，即,72,于是(X,Y)的概率密度,73,图1.10,74,由式,并参看图1.10可得所求的概率为,75,76,前面所讲的有关二维随机变量的一些概念，不难推广到n维随机变量中去.,作为例子，下面就n维随机变量的分布函数、概率密度以及独立性等概念，分别叙述如下：,(a)分布函数 设(X1,X2,Xn)为n维随机变量，x1,x2,xn为任意的实数，则n元函数 F(x1,x2,xn)=P(X1x1,X2x2,Xnxn)称为(X1,X2,Xn)的分布函数.,7
20、7,(b)概率密度 设F(x1,x2,xn)为n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，若存在非负的函数f(x1,x2,xn)，对任意的实数x1,x2,xn有,则(X1,X2,Xn)称为连续型随机变量，同时称f(x1,x2,xn)为n维随机变量的概率密度函数，简称概率密度.,78,(c)n个随机变量的独立性,设F(x1,x2,xn)为n维随机变量(X1,X2,Xn)的分布函数，而Fx1(x1),Fx2(x2),Fxn(xn)依次为X1,X2,Xn的分布函数(一维边缘分布函数)，若对任意的实数x1,x2,xn有 F(x1,x2,xn)=Fx1(x1)Fx2(x2)Fxn(xn) 则称X1,X2
21、,Xn是相互独立的.,对于连续型随机变量，设X1,X2,Xn的概率密度分别是fx1(x1),fx2(x2),fxn(xn)，则X1,X2,Xn相互独立的充要条件是：n元函数 fx1(x1)fx2(x2)fxn(xn)是n维随机变量(X1,X2,Xn)的概率密度.,79,例3 已知随机变量X1，X2的概率分布为,而且 P(X1X2=0)=1.,(1)求X1和X2的联合分布； (2)说明X1，X2是否独立？,80,(1)求X1和X2的联合分布,81,解：由P(X1X2=0)=1得 P(X1X20)=0， 从而 P(X1=1,X2=1)=0，P(X1=1,X2=1)=0.,因此X1和X2的联合分布为
22、,82,因 P(X1=0,X2=0)=01/4=P(X1=0)P(X2=0) 故X1和X2不独立.,83,第四章 多维随机变量及其分布,4.5 二维随机变量函数的分布,在前面的3.6节我们讨论了一维随机变量函数Y=g(X)的分布问题，下面我们进一步讨论二维随机变量函数Z=g(X,Y)的分布问题.,具体地说，已知(X,Y)的分布，求Z=g(X,Y)的分布.,理论上讲，由X，Y的联合分布可以求出它们的函数分布，但具体计算时往往比较复杂.因此，下面仅就几个具体的函数进行讨论.,84,4.5.1 和的分布,首先考虑两个离散型随机变量X与Y的和，看下面的例子.,例1 设X与Y是相互独立的随机变量，分布列
23、分别为P(X=i)，i=0,1,2,. P(Y=j)，j=0,1,2,. 求Z=X+Y的分布列.,解 因为 P(X=i)，i=0,1,2, P(Y=j)，j=0,1,2, 所以Z=X+Y=k，k=0,1,2,.,85,而上式右端各事件是互不相容的，故,86,再由X与Y的独立性，得到,这就是所求Z=X+Y的分布列.,87,例 设X与Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为1和2的泊松分布，求Z=X+Y的分布列.,解 将X，Y，Z的取值分别用i，j，k表示，则,且Z=X+Y的可能取值k=0,1,2,.,88,89,由此可知，Z服从参数为1+2的泊松分布.,所以两个独立的服从泊松分布的随机变量之和
24、仍是一个服从泊松分布的随机变量，且其参数为相应的随机变量分布参数的和.,90,现在考虑两个连续型随机变量X与Y之和的分布.,设二维随机变量(X,Y)是连续型的，概率密度为f(x,y)，求和Z=X+Y的分布.,为了确定Z的分布，我们考虑Z的分布函数 FZ(z)=P(Zz)=P(X+Yz),如果(X,Y)表示落在平面xOy上的随机点的坐标，则P(X+Yz)表示随机点(X,Y)落在平面区域 G=(x,y)| x+yz即图4.4中阴影部分的概率.,91,x,z,O,y,x+y=z,G,图4.4,92,因此有,令y=ux，得,93,由连续型随机变量的定义可知，Z是连续型随机变量且其概率密度为,同理可得,
25、94,如果X与Y是相互独立的随机变量，则进一步得到,和,由以上二式给出的运算称为卷积.因而也称上二式为卷积公式，简单记作,95,例3 设X与Y相互独立，且都在a,a上服从均匀分布，求Z=X+Y的分布.,解 由题设,96,由卷积公式,显然，上式中的被积函数fX(x)fY(zx)只有当x满足不等式组,时才不等于0.满足上面不等式组的点(x,z)的变化区域，如图4.5中的阴影部分所示.,97,x,z,O,z-x=a,z-x=-a,2a,-2a,a,-a,图4.5,98,99,x,z,O,z-x=a,z-x=-a,2a,-2a,a,-a,图4.5,100,由图4.5可知： 当z 2a时，fX(x)fY
26、(zx)=0； 当2az0时，fX(x)fY(zx)=1/4a2； 当0z2a时，fX(x)fY(zx)=1/4a2.,因此,101,例4 设X与Y是相互独立的均服从N(0,1)的随机变量， Z=X+Y，求Z的概率密度为fZ(z)？,解,102,103,从而ZN(0,2).,104,例4 设X与Y是相互独立的且分别服从正态分布XN(1,12)和XN(2,22)的随机变量，则Z=X+Y服从正态分布XN(1+2,12+22).,这个结论还可以推广到n个独立的正态变量之和的情况，即若Xi N(i,i2)，且X1,X2,Xn相互独立，则,进而，n个相互独立的正态变量的线性组合仍然是一个正态变量，这是一
27、个很重要的结论.,105,例4 设Xi N(i,i2)，i=1,2,n，且X1,X2,Xn相互独立，a1,a2,an，b为常数，则,106,最后，就一般情况将主要推导过程归纳如下： (1)为求Z= g(X,Y)的概率密度fZ(z)，先求Z的分布函数,其中G=(x,y)|g(x,y)z；,107,(2)若FZ(z)可以直接计算出来并且它是连续的，除有限个点外均有连续的导数，则可以通过对FZ(z)求导而得fZ(z).若FZ(z)的具体表达式不易求出，也可以采用变量代换、交换积分次序等步骤，将积分式化为如下的形式,则fZ(z)=h(z).,108,例 设(X,Y)在如图4.6所示的三角形区域内服从均
28、匀分布，求Z=X+Y的概率密度.,x,y,O,-1,1,A,y=1+x,y=1-x,1,图4.6,109,解 这里X，Y是不独立的，不能用卷积公式的概率密度.可以用分布函数法来求解.由题设，(X,Y)的概率密度为,先求,其中G=(x,y)|x+yz.,110,x,z,O,y,x+y=z,G,111,例 设(X,Y)在如图4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度.,x,y,O,-1,1,A,y=1+x,y=1-x,1,图4.6,G,y+x =-1,y+x=z,y+x=1,112,例 设(X,Y)在如图4.6所示的三角形区域内服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度.,x,y,O,
29、-1,1,y=1+x,y=1-x,1,图4.7,B,A,G,y+x=z,113,由区域G的图形，不难看出 当z1时，GA=； 当z1时，GA=A； 当1z1时，GA=B，如图4.7所示，B的面积为,因此,114,即得,115,4.5.2 瑞利分布,设X，Y是相互独立的且服从同一正态分布N(0,2)的随机变量，求 的分布？,解 先考虑Z的分布函数,显然，当z0时，,116,当z0时，,其中f(x,y)为(X,Y)的概率密度.由于X，Y相互独立，故得,117,x,O,y,x2+y2=z2,118,令x=cos ，y=sin得,于是Z的分布函数为,119,因此Z的密度函数为,人们称以上式为概率密度(
30、或以分布函数)的分布为瑞利(Rayleigh)分布.,120,瑞利分布在实际中是经常能碰到的，例如，加工齿轮时，要把齿轮毛坯安装到车床上去，由于安装误差使被加工的齿轮中心与加工中心不吻合，产生了加工的偏心误差，而这种偏心误差的分布，就是瑞利分布.,121,21设随机变量(X,Y)的概率密度为,求,的概率密度fZ(z)?,122,解 设Z的分布函数为FZ(z)，则,123,故,124,故,125,24设二维随机变量(X,Y)在矩形,上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积的概率密度fS(s)?,126,解1 设矩形的面积为S，则S=XY，又设S的分布函数为FS(s)，则,其中,127,x,2,
31、O,y,图,1,S,xy=S,128,129,于是,130,4.5.3 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布,设随机变量M=max(X,Y)，N=min(X,Y)分别表示随机变量X与Y间的最大值和最小值；又X与Y的分布函数分别为FX(x)和FY(y)，求M及N的分布函数.,先求M=max(X,Y)的分布函数： FM(m)=P(Mm)=P(max(X,Y)m),因为M不大于m等价于X和Y都不大于m，故 FM(m)=P(Xm,Ym)=F(m,m),而当X与Y相互独立时， FM(m)=P(Xm)P(Ym)=FX(m)FY(m),131,下面求N=min(X,Y)的分布函数：,FN(n)=
32、P(Nn)=P(min(X,Y)n)=P(Xn)+P(Yn)P(Xn,Yn),FN(n)=P(Nn)=P(min(X,Y)n)=1P(min(X,Y)n),因为N不大于n等价于X和Y都大于n，故 FN(n)=1P(min(X,Y)n)=1P(X n,Yn),而当X与Y相互独立时，FN(n)=1P(X n,Yn)=1P(X n)P(Yn)=11P(Xn)1P(Yn)=11FX(n)1FY(n),132,上面的结果可以推广到n个相互独立的随机变量的情况,设(X1,X2,Xn)是相互独立的且分布函数分别为Fx1(x1),Fx2(x2),Fxn(xn)的n个随机变量，则max(X1,X2,Xn)的分布
33、函数Fmax(z)为,min(X1,X2,Xn)的分布函数Fmin(z)为,133,特别地，当X1,X2,Xn是相互独立的且具有相同分布函数F(z)的n个随机变量时，有,134,例6设电子仪器由两个相互独立的电子装置L1和L2组成，组成方式有两种： (a) L1与L2串联；(b) L1与L2并联,135,已知L1、L2的寿命分别为X与Y，它们的分布函数分别为,其中0，0.,试在两种联结方式下，分别求出仪器寿命Z的概率密度.,136,解 (a)串联情况,由于L1、L2有一个损坏时，仪器就停止工作，所以仪器的寿命 Z=min(X,Y) 因此,137,于是Z=min(X,Y)的概率密度,138,(b
34、)并联情况,由于只有L1与L2都损坏时，仪器才停止工作，所以仪器的寿命 Z=max(X,Y),139,因此,于是Z=max(X,Y)的概率密度,140,例6 设部件L1的寿命XE() ，部件L2的寿命YE() ，其中0，0，将部件L1与L2按图联结构成系统L，即当部件L1损坏时，部件L2立即开始工作，求系统L的寿命Z的概率密度？,Z : L,141,解 部件L1的寿命X，部件L2的寿命Y的概率密度分别为,系统L的寿命Z=X+Y.,142,设Z的概率密度为fZ(z)，则,而,当z0时，fZ(z)=0；,143,z,x,O,z=x,144,当z0时，,145,综上所述Z=X+Y的概率密度为,146
35、,147,27假设一电路装有三个同种电器元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为0的指数分布. 当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布.,148,解 设T的分布函数为FT(t)，第i件元件的寿命为Xi，其分布函数为F(x)，则,即,149,25设X和Y为两个随机变量，且,求,150,解,151,例 设(X,Y)的概率密度为,求Z=XY的概率密度？,解一 设Z的分布函数为FZ(z)，概率密度为fZ(z)，则,152,153,x,O,y,G图,154,x,O,y,x-y=z,G,G图,155,156,157,故Z的概率密度,而
36、,158,y,1,O,z,y+z=1,图,1,y+z=0,159,从而当z0或z1时，fZ(z)=0；,当0z1时，,160,因此,161,解二 设Z的分布函数为FZ(z)，概率密度为fZ(z)，则,162,x,O,y,x=y,1,A,x-y=z,G,G图,163,x,z,O,y,x-y=z,G,1,A,G图,164,x,z,O,y,x-y=z,G,1,A,G图,x=y,x-y=1,x-y=z,z,165,解二 设Z的分布函数为FZ(z)，概率密度为fZ(z)，则,166,x,z,O,y,1,A,G图,z,G,x=y,x-y=z,167,而,因此,168,例1 一个袋子中装有四个球，它们上面分
37、别标有数字1，2，2，3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以X,Y分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(X,Y)的分布列.,解 X、Y的可能值均为1，2，3，由,得(X,Y)的分布列为,169,170,例 设(X,Y)的概率密度为,问X与Y是否独立？,解 X、Y的边缘密度分别为,171,x,O,y,图,172,173,x,O,y,图,174,175,因为,所以X,Y独立.,176,例 设(X,Y)的概率密度为,问X与Y是否独立？,解 X、Y的边缘密度分别为,177,x,1,O,y,图,y=x,1,178,179,x,1,O,y,图,y=x,1,180,181,因为,所以X,Y
38、不独立.,182,8一电子仪器由两个部件组成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位：千小时).已知X,Y的联合分布函数为：,(1)问X,Y是否独立？为什么？,(2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率.,183,解 (1)先求边缘分布函数：,因为,所以X,Y独立.,184,解 (2),185,15已知随机变量X和Y的联合分布为,求 (1)X的概率分布； (2)Z=X+Y的概率分布.,186,解 (1)随机变量X的分布为,(2)Z=X+Y的概率分布为,187,例 如果(X,Y)的分布为,(1)问与满足什么条件？ (2)若X与Y相互独立，则与各等于多少？,188,解 (1)由联合分布列的性质，与应满足条件： 0，0 且,(2)若X与Y相互独立，则,189,例 如果(X,Y)的分布为,(1)问与满足什么条件？ (2)若X与Y相互独立，则与各等于多少？,190,于是,从而,解方程得 =2/9，=1/9.,191,28设随机变量X1,X2,X3,X4独立同分布：,求行列式,的概率分布.,192,解1,X的可能值为1,0,1.,193,194,同理可求出,即X的分布为,195,解2 先求出X1X4及X2X3的分布,196,即X的分布为,
