1、1,第一节 离散型随机变量及其分布律 第二节 随机变量的分布函数 第三节 连续型随机变量及其分布 第四节 随机变量函数的分布,第二章 随机变量及其分布,2,一 随机变量的概念 二 离散型随机变量及其分布律 三 常见的离散型分布,第一节 离散型随机变量及其分布律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3,一 随机变量的概念,为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随机试验的不同结果,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,1）、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.,例如，掷一颗骰子面上出现的点数；,十二月份石家庄的最高温度；,每天进入一号楼的人数；,昆虫
2、的产卵数；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,2）、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.,正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例: 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，也可以用一个变量来描述,6,再比如：,袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球， 观察取出的3只球中的黑球的个数 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别 记作4，5号，则该试验的样本空间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,记取出的黑球数为X，则X 的可能取值为
3、1，2，3 因此， X 是一个变量 但是，X 取什么值依赖于试验结果，即X的取值 带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量 X 的取值情况可由下表给出：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应 着变量 X 的一个确定的取值，因此变量 X 是样本空间S上的函数：,称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e)为,随,量,机,变,简记为 r.v.,Random variable,e.,X(e),R,9,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,用随机变量描述事
4、件,B实数集合,例 引入适当的随机变量描述下列事件： 将3个球随机地放入三个格子中， 事件A=有1个空格，B=有2个空格，C=全有球。,用X表示空格数，,A= ,B= X=2 ,C= X=0 ,机动 目录 上页 下页 返回 结束,进行5次试验，事件D=试验成功一次， F=试验至少成功一次，G=至多成功3次,用X表示成功次数,D= X=1 ,F= X 1,G=X 3,11,解：分析,ex 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,当 0.15 X100
5、00.1时，报童赔钱,故报童赔钱 X 666,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,定义1 若随机变量X 的所有可能取值为有限个或可列个,则称X 为离散型随机变量(d-rv),其分布称为离散型分布.,或概率（质量）函数(pmf).,二 离散型随机变量及其分布律,Discrete random variable,设随机变量 X 的所有可能取值为,称函数,Probability (mass) function,为X的分布律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,X x1 x2 xk ,PX=xk p1 p2 pk ,注2 分布律也可用表格表示：,注
6、1 分布律可完整刻画离散型随机变量的概率分布,利用分布律可求任意事件的概率:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,例1 盒中有2白球、3红球从中任取3个,求取得的白球数 X 的分布律,问最多取出1个白球的概率是多少？,X 0 1 2,PX=k,X的分布律为,解 依题意, X 的可能取值为0,1,2.,PX=0=,PX=1=P1白2红=,PX=2=P2白1红=,P3红=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,例2 甲、乙、丙三人对同一目标各自独立进行射击, 每人射击一次，各人击中目标的概率依次为0.7，0.6，0.5,求目标被击中次数 X 的分布律.,X 0 1 2 3,PX=k,0.
7、06 0.29 0.44 0.21,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,例3 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个设有红 绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信 号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号灯显示 的时间相等.以X 表示该汽车首次遇到红灯前已 通过的路口的个数,求 X 的概率分布.,解 依题意, X 可取值0,1,2,3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,PX=0=P(A1)=1/2,18,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,19,X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,X的分布律为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,20
8、,例4 某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分布.,解： X可取值为0,1,2 ;,PX =0=(0.1)(0.1)=0.01,PX =1= 2(0.9)(0.1) =0.18,PX =2=(0.9)(0.9)=0.81,X 0 1 2,PX=k,X的分布律为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,21,正则性:,非负性:,3 分布律的基本性质,求(1)a ;,性质是决定性的,例5 已知X 的pmf 为：,(2) PX3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,22,三 常见的离散型分布,二项分布,超几何分布,泊松分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,23,背景：
9、,b(1, p)又称为 0-1分布：,定义2 称 X 服从参数为n,p的二项分布,Binomial distribution,(一) 二项分布,X 0 1,P 1-p p,Bernoulli试验,“A”和“非A”,“成功”和“失败”,( X b(n, p)，,若 X 的分布律为,n重伯努利试验中“成功”的次数 X, b(n, p),机动 目录 上页 下页 返回 结束,24,取n=3,k=2,即在3重伯努利试验中，事件A发生2次。,X=2=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,全不成功的概率：,全部成功的概率：,至少成功一次的概率：,至少成功两次的概率：,“二项”的来历,机动 目录 上页
10、下页 返回 结束,26,例6 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.03,独立射击300次,求至少击中两次的概率.,解 设击中次数为X，则,所求概率为,注1 关于小概率事件（在一次试验中发生的概率很小的事件）：小概率事件原理或实际推断原理：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生,只要试验次数很多，且试验是独立地进行，那么小概率事件的发生是几乎可以肯定的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,注2 二项分布的泊松近似:,当n很大( p 很小)时,！,泊松定理：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6中,设在Bernoulli试验中，以pn代表事件A在试验中发生,的概率，它与试验总数n有关，如
11、果,28,PX1 = 1- PX=0,PY1 = 1 PY=0,=1-(1p)2,p = 2/3,= 1- (1p)4,设X b(2, p)，Y b(4, p)， PX1= 8/9， 求 PY1.,课堂练习,= 80/81,8/9 =,机动 目录 上页 下页 返回 结束,29,使PX=k取得最大值的 k 称为二项分布的 最可能值或最可能成功次数.,二项分布的最可能值,可以知道，二项分布的最可能值为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,30,证明:,当k(n+1)p时，,即概率值随k值增加而上升；,当k(n+1)p时，,即概率值随k值增加而下降。,若(n+1)p为正整数，而k=(n+1)p时,此
12、时这两项概率值均为最大值。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,31,例6 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.03,独立射击300次,求300次射击最可能命中几次？,解 设击中次数为X，则,(n+1)p=9.03,因此，最可能射击的命中次数为9.,例7 连续抛一枚均匀硬币2n次，求正面出现的 的最可能次数,（n）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,若 X 的分布律为,定义3 称 X 服从参数为 的泊松分布,Poisson distribution,注 背景：一定时间或空间稀有事件发生次数如，某段时间内电话交换台接到呼唤的次数，某一地区某时间间隔内发生交通事故的次数,(二) 泊松分布
13、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,33,泊松定理表明，泊松分布是二项分布的极限分布， 当n很大，p很小时，二项分布就可近似地看成是参数=np的泊松分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,34,例8 一家商店采用科学管理，由该商店过去的销售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参数=5的泊松分布来描述，为了以95%以上的把握保证不脱销，问商店在月底至少应进某种商品多少件？,解:,设该商品每月的销售数为X,设商店在月底应进某种商品m件,进货数,销售数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,35,查泊松分布表得,PXm 0.05,也即,于是得 m+1=10,m=9件,机动 目录 上页 下页 返回
14、结束,36,( X h(N, M, n), 若 X 的分布律为,注 背景：若N个元素分为A、B两类，A类中含有 M（MN）个元素任取n个，则这n 个元素中 含有A类元素的个数 X 服从超几何分布.,定义4 称 X 服从参数为N, M, n的超几何分布,Hypergeometric distribution,(0kMN, nN),(三) 超几何分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9 一批同类产品共有N件，其中次品M（MN)件，现从中随机抽取n件（取后不放回），问这n件中恰有k件次品的概率是多少？,38,一 分布函数的概念 二 分布函数的基本性质
15、三 离散型随机变量的分布函数 四 利用分布函数求事件的概率,第二节 随机变量的分布函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,39,定义1 设 X 为一个rv，称函数,一 分布函数的概念,F(x) =P X x,注1 若将 X 看成数轴上的随机点，则,(Cumulative) distribution function,为 X 的(累积)分布函数(cdf).,注2 分布函数可完整刻画随机变量的概率分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,40,单调非减性： F(x) 单调不减；,二 分布函数的基本性质,右连续性： F(x) 右连续；,有界性或边界极端性：,0 F(x) 1 F()=0，F(+)=
16、1.,性质是决定性的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,F(x) =P X x,41,单调非减性： F(x) 单调不减；,证明:,F(x) =P X x,机动 目录 上页 下页 返回 结束,F()=0，F(+)=1.,说明:,42,例2 设随机变量X的分布函数为,试确定常数a,b.,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,43,三 离散型随机变量的分布函数,例3 已知X 的pmf 为,求 X 的cdf,并作F(x)的图形,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注：区间按左闭右开的原则 划分，是为了满足分布函数 右连续的要求。,44,求 X 的pmf.,例4 已知 X 的cdf为,机动 目录 上
17、页 下页 返回 结束,0 1 2 3,注1、 F(x)的各间断点xk，就是X的所有可能取值；,注2、pk=PX=xk,45,课堂练习,已知 X 的cdf为,求 X 的pmf.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,46,就是X 的所有取值,的图形特点：,离散型随机变量分布函数,间断点,它一定不是离散型随机 变量的分布函数,当X取值为可列多个时，,的图形可能很复杂，,但可以肯定的是，它一定不是点点连续的,的间断点有有限个,如果F(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束,但不是阶梯函数,那么,47,四 利用分布函数求事件的概率,机动 目录 上页 下页 返回 结束,48,例5,已知 X 的cdf为,
18、求PX 1/2, P3/2 X 5/2, P3/2 X 5/2, P1 X 2.,解：,PX 1/2,=F(1/2),=1/3,P3/2 X 5/2,=F(5/2)-F(3/2),+PX=3/2,P3/2 X 5/2,=F(5/2)-F(3/2),=1-1/2=1/2,=1-1/2+0=1/2,P1 X 2,=F(2)-F(1)+P X=1 ,=1-1/2,+1/6=2/3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,49,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,1 设随机变量的分布律为 :,X pk,-1 2 3,求 的分布函数，并求,50,一 连续型随机变量及其概率密度函数 二 常见的连续型
19、分布,第三节 连续型随机变量及其 概率密度函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,51,一 连续型随机变量及其概率密度函数,例 设有一质点等可能地落入区间0，2内的任何一点，且一定落入这个区间，令X为这个质点到0的距离，求X的分布函数。,解:,当x0时，,F(x)=PX x,=0,当0 x2时，,F(x)=PX x,=x/2,当x2时，,F(x)=PX x,=1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,52,若令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,53,定义1 设rv X 的cdf为F(x), 若存在非负函数 f (x)，,则称 X 为连续型随机变量(c-rv)，,满足,称 f (x)为概
20、率,Probability density function,continuous,或密度.,密度函数(pdf)，,简称概率密度, 或密度函数，,注 pdf 可以完整刻画c-rv的概率分布,可以求任意事件的概率，如,利用pdf,曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,54,非负性：,正则性：,(介于曲线 y=f (x) 与x轴之间的面积等于),概率密度函数的基本性质,f (x),x,0,性质是决定性的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 设随机变量X的概率密度为,求常数a.,55,要注意的是, f (x)本身并不表示概率，但却可以反映X 取点x附近的值的概率大小，这个高度越大，
21、则X 取 x 附近的值的概率就越大.,f (x),x,0,表示rv X落入点 x 的微,小邻域内的概率.,只能这样说：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若不计高阶无穷小，有：,56,连续型随机变量的分布函数,（在F(x)可导点处）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注1：概率密度函数f(x)可用下面方法确定,或取为F(x)的左导数或右导数,当F (x)存在时,当F (x)不存在时,57,注2 c-rv 的分布函数是连续函数,注3 连续型随机变量取特定值的概率为0，即,所以Pa X b=Pa X b=Pa X b =Pa Xb,这是因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,58,课堂练习,
22、设 X f (x), f (x) = f (x), F (x)是 X 的分布函数， 则对任意实数 a0，有( ) F(a) =1 F(a) F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,59,例2 设连续型随机变量x的 df为,求(1)系数a; (2) f(x).,解(1),由于F(x)的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,60,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,设连续型随机变量x的df为,求f(x).,61,例3 设连续型随机变量X的pdf为,1） 确定常数k;2)求X的分布函数F(x); 3)求PX(1,7/2).,解1) 由
23、,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,62,2),0,1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,63,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3),64,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,设连续型随机变量X的df为,求X的分布函数F(x).,65,均匀分布,二 常见的连续型分布,指数 分布,正态分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,66,注 背景：rv落在区间(a, b) 中任意等长子区间内的可能性相同.或者说, 它落在区间(a, b) 的子区间内的概率只依赖于其长度而与其位置无关.,（一） 均匀分布,定义2 称X 服从区间(a, b) 上的均匀分布, 或在区间,(a, b) 上
24、服从均匀分布,Uniform distribution,0 a b x,(XU(a, b)，,若X 的pdf 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,67,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，保留小数点后k位，后面一位进行四舍五入，则产生的误差可以看作服从,机动 目录 上页 下页 返回 结束,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车 停车站的时间，即乘客的候车时间等.,68,例4 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概
25、率.,解,依题意， X U ( 0, 30 ),设该乘客于7时X分到达此站,机动 目录 上页 下页 返回 结束,69,为使候车时间少于5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,70,机动 目录 上页 下页 返回 结束,课堂练习,设随机变量X服从(1,6)上的均匀分布， 求一元两次方程t2+Xt+1=0有实根的概率.,所求概率为:,71,（ X Exp()）,注2 指数分布的无记忆性，即,PX s+t | X s=P X t ,Exponential
26、 distribution,（二）指数分布,定义3 称 X 服从参数为 ( 0)的指数分布,注1 背景：等待（或失效）时间服从指数分布.,0 x,若 X 的pdf 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,72,例5 电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,73,（三） 正态分布,Normal distribution,德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.,德莫佛,正态分布是应用最
27、广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为 高斯分布.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,Gauss,74,高尔顿（Galton) 钉板试验,试验模型如下所示:,自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样的.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,75,这条曲线就近似我们 将要介绍的正态分布 的密度曲线。,高尔顿钉板试验,
28、机动 目录 上页 下页 返回 结束,76,若 X 的pdf 为,定义4 称 X 服从参数为, 2 ( 0)的正态分布,(X N(, 2),0 x,高斯(Gauss)分布,机动 目录 上页 下页 返回 结束,77,正态分布分布函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,78,机动 目录 上页 下页 返回 结束,f (x) 0;,x,在x=取得最大值, 是位置参数., 是尺度参数.,正态分布密度曲线的特征,处处连续，各阶导数连续;,关于x= 对称;, +, -,在x=左侧,以ox轴为渐近线,右侧,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在 处曲线有拐点；,79,实例,下面是用某大学大学生的身高的数据画出
29、的频率直方图。,红线是拟合的正态密度曲线,可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,80,人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。一个量只要它是许多微小的、 独立的随机因素作用的总和或结果，而各种因素在正常情况下都起不到压倒一切其他因素的主导作用，一般都可认为服从正态分布。,81,除了我们在前面遇到过的身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从
30、或近似服从正态分布.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,82,密度函数特记为 (x),分布函数特记为 (x).,标准正态分布N(0, 1),Standard normal distribution,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束,83,标准化,X N(, 2), 则,0,-x x,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,84,证,Z 的分布函数为,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,85,机动 目录 上页 下页 返回 结
31、束,当 x 0 时, 直接查表.,查表(标准正态分布函数表)计算概率,若 X N(, 2), 则,若 X N(0, 1), 则 PX x = (x).,当 x 0 时,PX x,转化为标准正态分布.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,86,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 P10 X 13,例6 设 X N(10, 4),求 P10 X 13, P|X10| 2.,= 0.9332 0.5,P|X10|2 =,P8 X 12,= 0.4332,= (1.5) (0),= (1) (-1),= 2(1)1,= 0.6826,87,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正态分布的 3 原则,
32、由标准正态分布的查表计算可以求得，,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,88,机动 目录 上页 下页 返回 结束,将上述结论推广到一般的正态分布,这在统计学上称作“3 准则” .,时，,89,机动 目录 上页 下页 返回 结束,应用中,通常认为P|X-|31，而忽略|X-|3的值.如在质量控制中,常用标准指标值3 作两条线,当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报.表明生产出
33、现异常.,3原则：尽管X的取值是从,但离中,心位置3 之内是几乎可以肯定的.,90,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知 X N(3, 22), 且 PXk = PXk,3,课堂练习,则 k = ( ).,91,机动 目录 上页 下页 返回 结束,标准正态分布的上分位点,设,若数 满足条件,由 (x)的对称性,有,92,怎样查表求标准正态分布的上分位点,标准正态分布表中的1-对应z,即查1-就得到z。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则先查标准正态分布表中的，,求出z1-，,1.28,-0.25,93,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 问题的提出 二 离散型随机变量函数的分布 三
34、 连续型随机变量函数的分布,第四节 随机变量函数的分布,94,一 问题的提出,在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣.,求截面面积 A= 的分布.,比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,95,二 离散型随机变量函数的分布,设随机变量X的分布律为：,yg(x)为一个通常的连续函数，Yg(X)也是一个随机变量。则Y=g(X)的分布律为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.,96,例1 已知 rv X的pmf 为,X -2 -1 0 1 2,P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2,Y -1
35、0 1 2 3,Z 4 1 0 1 4,解 由题意,Y -1 0 1 2 3,P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2,Z 0 1 4,P 0.3 0.4 0.3,求 (1) Y=X+1 ； (2) 的pmf.,注 关键点：保持“概率行”不变，改变“取值行”的值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,97,三 连续型随机变量函数的分布,例2 设X ,求 Y= 2X +8的pdf .,解：,分布函数法,关键点：从 中反解出X.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当y8 时，,当8y16 时，,当y16 时，,98,分布函数法,（1） 先根据X的概率分布确定出X的取值；,（2） 再根据X的取值，
36、由Y=g(X)求出Y的取值 ；,（3） 对于 ,计算,表示成X的分布函数；,（4） Y的概率密度,机动 目录 上页 下页 返回 结束,99,例3 设随机变量X的df为,解(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,100,（2）练习,机动 目录 上页 下页 返回 结束,101,例4 设XU(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。,解,当y0时，,当y1时，,当0y1时，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,102,解,当 时，,当 时，,自由度为1的 分布,故 Y= X2 的pdf 为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,103,设 X 的pdf 为 fX(x)，则Y = g(X)的密度
37、函数为:,公式法,y = g(x) 严格单调可导, 其反函数x = h(y).,公式适用的条件：,证明:,若y=g(x)严格单调增,其反函数x=h(y)也严格单调增,机动 目录 上页 下页 返回 结束,104,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两边对y求导,若g(x)严格单调减,则反函数h(y)也严格单调减,且,两边对y求导,105,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两式并成一式即可。,公式中的导函数要取绝对值.,若Y=g(X)在不相交的区间,上严格单调，,反函数分别为,则Y=g(X)的密度,106,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 设 证明 也服从正态分布.,解 Y 的pdf 为
38、,107,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7 设 试求 的概率密度函数。,解 Y 的pdf 为,108,机动 目录 上页 下页 返回 结束,重要分布律,1、贝努利试验及有关分布,只有两种可能结果的随机实验，称为贝努利试验.,n重贝努利试验,可列重贝努利试验,以定点投篮为例,1） 0-1分布：,X 0 1,P 1-p p,内容小结,109,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2） 二项分布(Binomial distribution ),X为n次投篮中投中的次数,XB(n,p),3） 几何分布（Geometric distribution）,X为投中为止的投篮次数,XGe(p),110,机
39、动 目录 上页 下页 返回 结束,4） 负二项分布,X为投中r次为止的投篮次数,XF(r,p),2、泊松流及有关分布,源源不断到来的质点，谓之流。做为泊松流处理,空间粒子,粒子流,商场顾客,顾客流,路口车辆,车流,111,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设某个流在(0,t时段内来到的质点数为 。,泊松定理：设 ，t0是泊松流，则存在某正数 ，,使,5） 泊松分布(Poisson distribution),112,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6） 指数分布(Exponential distribution ),为泊松流中第一个质点到来的时刻,113,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7） 伽马分布(Gamma distribution ),为泊松流中第r个质点到来的时刻,114,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、误差问题产生的分布：均匀分布与正态分布,在估计、计算及测量引起的随机误差问题中，有一类,误差具有均匀性，相应的分布叫均匀分布。,有一类误差具有对称性但不均匀，这种随机误差 引起,的分布属于正态分布的一类。,X N(, 2),115,
