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数理统计 - 多维随机变量及其分布.docx

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1、1第三章 多维随机变量及其分布一、基本内容与公式 1. 二维随机变量的概念设随机试验的样本空间为 ,而 是定义在 上的两个随机变量, 称 为定义在 上的二维随机SYXS),(YXS变量。2. 二维随机变量的分布函数设 是二维随机变量, 对任意实数 , 二元函数)(YXyx,)()(),( yYxXPYXPyxF记 为称为二维随机变量 的分布函数或称为随机变量 和 的联合分布函数.,Y3. 联合分布函数的性质: 且,1)(0yxF对任意固定的 ,0),(yF对任意固定的 ,x;1)(,0),(F 关于 和 均为单调非减函数, 即yxy对任意固定的 当, ),(),(1212yxFx对任意固定的

2、当, ;,y 关于 和 均为右连续, 即 ),(yxFy ).0,(),(0()( yxFyx4. 二维离散型随机变量及其概率分布 若二维随机变量 只取有限个或可数个值, 称 为二维离散型随机变量.)(YX),(YX 为二维离散型随机变量当且仅当 均为离散型随机变量.),(Y, 二维离散型随机变量 的概率分布(分布律),), ),21,(,jipyYxXPijji其中 满足:1) ;2)ijp0ijiji5. 二维离散型随机变量的分布函数2yxijipYxXPyxF,),(),(6. 二维连续型随机变量及其概率密度 为连续型随机变量的分布函数。,),(),(xydstf)(F 为连续型随机变量

3、的概率密度。f7. 概率密度函数 的性质),(yxf 0),(f 1),(Fd 落入 内的概率为),(YXDDdxyfyxP),( ).,(2yxfF8. 边缘分布函数 关于 的边缘分布函数:X ),(lim),(),() yxFxYxXPxFyX 关于 的边缘分布函数:Y Fyy xY9. 离散型随机变量的边缘分布 关于 的边缘分布律:XjiiXpxP)( 关于 的边缘分布律:YijiYy 关于 的边缘分布函数: xiXXiF)()( 关于 的边缘分布函数: yiYYiP10. 连续型随机变量的边缘分布 关于 的边缘分布密度:XdxffX),()( 关于 的边缘分布密度:YyyY 关于 的边

4、缘分布函数: ,)( YxXPxFX xXdf)( 关于 的边缘分布函数: yYYy11. 几个常用二维随机变量的分布 二维均匀分布: 在 上服从均匀分布, 的面积为 .其概率密度),(XGGA3其 它,0)(1),(GyxAyxf 二维正态分布服从参数为 的二维正态分布,其概率密度为:),(YX,21 221212)(21),( yxxeyxf其中 均为常数,且 .,21 |,0,21注:二维正态随机变量的两个边缘分布都是一维正态分布。12. 随机变量的独立性 离散型:对一切 均成立:ji, )(jYiXij yPx 连续型:对一切 均成立:yx,),(ff13. 两个独立随机变量的和分布:

5、 Z 离散型:当 独立, 的概率分布为:YX,Yj jYjkXi ikiXkkZ yPzxzPzPz )()()() 设 ,则 ;(,21)21设 ,则),)(pnBYpX,(pnBY 连续型:当 独立,有,dyfzfdxzfxzf YXYXZ )()()( 设 ,则,221N),2121N二、教学基本要求1理解二元随机变量的含义及其实际意义。2熟悉二元随机变量 的分布函数 的定义和性质。(,)XY(,)Fxy3熟悉二元离散型随机变量 的联合分布的定义和性质。4会求二元离散型随机变量 的联合分布。(,)45熟悉二元连续型随机变量 的概率密度函数 的定义和性质。(,)XY(,)fxy6理解二元随

6、机变量的边缘分布的含义。7会求二元离散型、连续型随机变量的边缘概率分布和边缘密度函数。8了解二元均匀分布和二元正态分布。9理解两个随机变量相互独立的定义及判断方法,会利用随机变量的相互独立性求二元随机变量的概率分布或概率密度。10会求两个独立的随机变量的和分布。教学重点:两元随机变量的联合分布和边缘分布;随机变量落在区域内概率的计算。两元随机变量独立的条件;两个独立随机变量和分布及最大最小分布。教学难点:两元连续型随机变量的联合分布及边缘分布。三、典型例题分析例 1 设随机变量 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能地取一个值,另一个随机变量 在 1 中等可能地取一X YX整数值,试求 的

7、联合概率分布律和边缘分布。),(yx解:显然, 可能取值为:0,1,2,3; 的可能取值为:0,1,2,3;但 只可取Y(,)(0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2) , (3,3)这十组数,所以根据概率乘法和古典概率计算公式可得,;(,)()()4PXYPXY;1101028;(,)()();22431PXYPXY(,1)()(12)2;1(3,0)(3)(03)46PXYPXY;11;(,2)()(2)15;1(3,)(3)(3)46PXYPXY于是, 的联合分布为:YX0 1 2 3 ()X

8、Px0 40 0 0 141 810 02 203 161614()YPy548374831边缘分布为:例 2 把三个相同的球等可能地放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,记落入第一号盒子中的球的个数为,落入第二号盒子中的球的个数为 ,试求随机变量 的概率分布和边缘分布。XY(,)XY解:显然 的可能取值为:,;同样 的可能取值为:,;于是,由概率乘法公式得:; ;031(,)27cPXY013(,)27cPXY;03(,) 03(,);1032(,)7cPXY1326(,)7cPXYX0 1 2 3P44Y0 1 2 3P5487486;123(,)7cPXY203(,)7cPXY; ,于是

9、213(,) 301(,)2YX0 1 2 3 ()XPx0 273718271 6202 0 0 63 70 0 0 127()YPy8216271例 3 设二维随机变量的联合概率分布为YX0 110.3 0.1 0.11 0.05 0.2 02 0.2 0 0.05求: 及0,YXP).,(F解: 1,1,01,1,YPXYPXY 。0.24。(,)(,0)(,)(,2)0.4FPX例 4 设有二元实变量函数 ,问它是否可成为某二元随机变量的分布函数?12,0,xyF解:一个二元函数要成为某一随机变量的分布函数必须满足分布函数的性质。若我们在平面上取四点: ,有(2,),(2),7(2,2

10、)(,)(2,)(,)(2,)10PXYFF所以 不可能是某一随机变量的分布函数。1,)0,xyF例 5 设随机变量 等可能的取值(0,0) , (0,1) , (1,0) , (1,1) ,求 的联合分布函数。(,)XY (,)XY解:1)显然,当 或 ,有xy;(,)(,)FyP2) 01x;1(,)(,)(0,)4yXxYyPXY3) x;1(,)(,)(,)(0,)2FyPy4) 10x;(,)(,)(0,)(1,)yXxYyPXYPXY5) x(,)(,)0(0,1)(,0)(1,)FyPxyXYXYPXYPXY于是所求的分布函数为: ,10,14(,),0121xoryFyxyrx

11、y例 6 设二维随机变量 的分布函数为(,)XY yxyCxBAyxF ,3arctn2arctn),(1) 试确定常数 ;,0 10 41 18(2) 的联合分布密度;(,)XY(3)边缘分布密度;(4)求 。02,3P解:(1)由联合分布函数的性质,;(,)()02FABC;00()A;(,)()B由于 ,故意解得: ;A,2C再由 。221(,)()FA所以,分布函数 。21,(arctn)(arctn)3xyxy(2)联合密度函数为: 22(,)(,)(arct)(arct)2Fxyfxyxy。226(4)9y(3)边缘密度函数, 2226()(,)(4)9(4)Xfxfyddyxx

12、x, 2223()(,)()(9)Yffx y(4) .3 32220 0602,416dxPXfxyd 例 7 具 有 概 率 密 度设 二 维 随 机 变 量 ),(Y(23),0,.xyAefxy其 它(1) 求常数 A;(2)求联合分布函数 ;(3)求边缘密度;并问 是否独立?(4)求(,)FYX,;(5)求 。XYP2,1(YXP9解:(1)由于 (,)fxyd,得 。(23) 23000 1()()16xyAAeAee6(2)当 或 时,因为 ,所以, 。xy,fxy,(,)0xyFfdxy当 时,,;(23)23()(,)6(1)xyxyxyxyFfdede所以, 。231),0

13、,0,xye其 它(3)边缘密度函数为:;(23)206,0()(,),xyxX edefxfyd;(23)30,()(,), 0xyxY yffx由于 ,所以 独立。XYfxyf,XY(4) 。23065xyPed(5) )2,1(),()2,1(),1( FF。)()262eF例 8 二元随机变量 若在矩形区域 内的任一点有相同的分布密度,即分布密),(YXdycbxa,度在此区域上为常量。求(1)联合分布密度;(2)判断随机变量 是否独立?(3)求联合分布函YX,数。解:(1)由题意, 在矩形区域上分布密度为),(YX,由概率密度的性质,得其 它,0),( dycbxaAyxf,)(1)

14、(),(1 cdabAcdabAxdfbadc 10所以, 。其 它,0,)(1),( dycbxacdbyxf(2)当 时,有a; dcX abdycabyxff 1)(1),()(;aY xff )(),()(于是, 的边缘密度函数为X, 其 它其 它 ,01)(,01)( dycdyf,babf YX由于 ,所以 独立。)(),(yfxyfYX(3)分布函数 ,将整个平面分成五个区域来计算。xdyfF),(,区域 1: 或 ,此时 ,所以 ;axcy00),(xF区域 2: 时,此时b,; ycxayx cdabyxdcbdfF )()(1),(),(区域 3: 时,此时有 ;cb, f

15、Fycba,(,区域 4: 时,此时有 ;dyxa, abxdycxxadc )(1),(区域 5: 时,此时有b,。 dcbayx dxycyfF 1)(1),(),(综上所述,得 的联合密度函数为,YX11。dybxaycxydycbxadbyorxxF,1,)(,0),(例 9 以 分别表示二个电子元件的寿命,设 的联合密度函数为YX, ),(YX,其 它,0150,15),(2yxyxf试求从开始使用起,在 200 小时内,以下事件的概率:(1)仅第一个电子元件坏掉;(2)2 个电子元件坏;(3)至少有一个电子元件坏;(4)至多有一个电子元件坏。解:(1)仅第一个电子元件坏可表示为:

16、,于是YX,20。 415),20(202dxyYXP(2)2 个电子元件坏可表示为: ,于是0,Y。165)20,(202dxyY(3)至少有一个电子元件坏可表示为: 或 ,于是0X2Y。),2(1)20( PXP2021675dxy(4)至多有一个电子元件坏可表示为:,于是)()0(),20( YXYY202XXP)()()0,( PP。201521659692,2 dxyY12例 10 设随机变量 和 具有联合概率密度 ,求边缘概率密度 .XY其 它,06),(2xyyxf ),(xfXyfY解: ;其 它,01,6),()(22xXdyyfxf。其 它,0),(),()(yY yxfy

17、f说明:二维均匀分布的边缘分布密度不再是均匀分布。例 11 设随机变量 和 的概率密度为 。问 和 是否独立?XY其 他,0,13),( xyxyxf XY解:由联合分布知,其边缘分布为:;20123,1()(,),(),0()(,)0,xXyY dyxfxfxyff其 它其 它由于 ,于是, 和 不独立。)(),(fyxfYXXY例 12 设随机变量 和 相互独立,且分别具有下列概率分布:,求随机变量的联合分布律。4123)(312410)( yPYxPX解:因为 和 相互独立,于是,由 得:XY )()(),( jiji yYPxXYyxX21 0 21218162416131 16124

18、81123例 13 设 X 和 Y 相互独立,且都在 上服从均匀分布,试求二次方程 有实根的概率。1, 02YXt解:因为 X 和 Y 服从均匀分布,所以它们的分布密度函数分别为: 其 它其 它 01,21)(01,21)( yyfxxf Y由于它们相互独立,所以 X 和 Y 的联合分布为:;其 它, 01,1,4)( yxyxf又因为二次方程有实根的条件为 ,所以方程有实根的概率为:042Y。2413241),()04( 0404042222 xyxyx dyddfYXP例 14 设同时独立地掷一枚硬币和一颗骰子两次,用 X 表示两次中硬币出现的正面的次数,Y 表示两次中骰子点数不超过 4

19、的次数。试求 X,Y 的联合概率分布,并求:( 1)Z=X+Y;(2)Max(X,Y);(3)Min(X,Y);*(4)ln(1+XY).解:由题意,X 和 Y 相互独立,且都服从 B(2,p)分布。故有 94104120PP于是它们的联合分布为:XY 0 1 20 364361 28214(X,Y) (0,0) (0,1) (0,2) (1,0) (1,1) (1,2) (2,0) (2,1) (2,2)X+Y 0 1 2 1 2 3 2 3 4Max(X,Y) 0 1 2 1 1 2 2 2 2Min(X,Y) 0 0 0 0 1 1 0 1 2ln(1+XY) 0 0 0 0 ln2 l

20、n3 0 ln3 ln5P 361436236836436所以,(1)Z=X+Y 的概率分布为:Z=X+Y 0 1 2 3 4P 3613636161236(2)Z=Max(X,Y)的概率分布为:Z=Max(X,Y) 0 1 2P 361364361(3)Z=Min(X,Y)的概率分布为:Z=Min(X,Y) 0 1 2P 36123620364(4) 的概率分布为:)ln(XYZZ=Min(X,Y) 0 ln2 ln3 ln5P 36123683612364例 15 设随机变量 X 和 Y 相互独立,它们都服从均匀分布 ,求 的概率密度。a,YXZ解:由题意,X 和 Y 服从均匀分布 ,于是a,;其 它其 它 ,021)(,021)( yf,axf YX由于 X 和 Y 相互独立,所以它们和的概率密度为:15。 azzdxazdxzfxzf aYXZ 2,00,1,2,0)()( azazza2,00),2(41,2,0

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