多维随机变量函数的分布设计.doc

1、ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计1概率论与数理统计教学设计课程名称 经济应用数学C课时 50+50=100 分钟 任课教师 蔡东平 专业与班级市营 B1601 班 人资 B1601-02 班课型 新授课 课题 二维随机变量函数的分布知识与技能1. 引言2 离散型随机向量的函数的分布3 连续型随机向量的函数的分布4 连续型随机向量函数的联合概率密度5 和的分布6 商的分布7 积的分布8 最大、最小分布学习目标过程与方法在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在 40 岁以上的人群，用 和 分别表示一个人的年龄和体重，XY表示这个人

2、的血压，并且已知 与 ， 的函数关ZZXY系式,)(g现希望通过 的分布来确定 的分布. 此类问题就),(YXZ是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i) ;YXZADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计2(ii) 和 ，其中 与 相,maxYXZ,inYXZY互独立. 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的n繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.情感态度与价值观1.培养学生解决问题的过程是由简单到复杂的过程。2.让学生理解，一个真理的发现不是一蹴而就的，需要经过有简单到复杂，

3、由具体到抽象的不断深入的过程.教学内容1. 引言2 离散型随机向量的函数的分布3 连续型随机向量的函数的分布4 连续型随机向量函数的联合概率密度5 和的分布6 商的分布7 积的分布8 最大、最小分教学分析教学重点1. 和的分布 ;2. 积的分布;3. 最大、最小分布;ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计3教学难点1. 和的分布 ;2. 积的分布;3. 最大、最小分布;课堂教学设计思路1 对比一维随机变量函数的分布来了解多维随机变量离散型随机向量的函数的分布、连续型随机向量的函数的分布；2、进一步理解和的分布、正态随机变量的线性组合、商的分、 积的分布、最大、最小分布教学方法

4、与策略板书设计1. 引言2 离散型随机向量的函数的分布3 连续型随机向量的函数的分布4 连续型随机向量函数的联合概率密度5 和的分布6 商的分布7 积的分布8 最大、最小分教学进程ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计4教学意图 教学内容 教学环节1引言（5 分钟）累计 5 分钟在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在 40岁以上的人群，用 和 分别表示一个人的年龄和XY体重， 表示这个人的血压，并且已知 与 ，ZZX的函数关系式Y,)(YgZ现希望通过 的分布来确定 的分布. 此类问题),(YX就是我们将要讨论的两个随机向量函数的

5、分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系:(i) ;YXZ(ii) 和 ，其中 与,max,inYXZ相互独立. Y注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 个随机变量函数的分布问题只是表述和n计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.时间：5 分钟应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 个随机变n量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.教学意图 教学内容 教学环节2. 离散型随机变量的函数的分布：（25 分钟）ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计5离散型随机变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布设 是二维离散型随

6、机变量, 是一个)(YX),(yxg二元函数, 则 作为 的函数是一个随机)(g),(YX变量, 如果 的概率分布为, ),21,(,jipyxPijji设 的所有可能取值为 , 则),(YXgZ21,kz的概率分布为 ,),(),(kjizyxgjikk yYXPzYXgPz,21k设 是二维离散型随机变量, 是一个)(YX),(二元函数, 则 作为 的函数是一个随机)(g),(YX变量, 如果 的概率分布为, ),21,(,jipyxPijji设 的所有可能取值为 , 则),(YXgZ21,kz的概率分布为 ,),(),(kjizyxgjikk yYXPzYXgPz,21kYX10 1 2

7、0.2 0.15 0.1 0.32 0.1 0 0.1 0.05时间:25 分钟ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计6例 1 设随机变量 的概率分布如下表),(YX求二维随机变量的函数 Z 的分布: .)2(;)(YXZ解 由 的概率分布可得,ijp0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05),(YX(-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,0) (2,1)（2,2）Z-2 -1 0 1 1 2 3 4XY1 0 -1 -2 -2 0 2 4与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把值相同项对应的概率值合并可得:Z

8、的概率分布为YX)1(-2 -1 0 1 2 3 4ip0.2 0.15 0.1 0.4 0 0.1 0.05的概率分布为XYZ)2(Z -2 -1 0 1 2 4ip0.4 0.1 0.15 0.2 0.1 0.05例 2 设 和 相互独立, XY求 的分布.,)(),(21pnbYpnbXZ解 这里我们利用第二章中二项分布的直观解ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计7、释求之. 若 则 是在 次独立重复试),(1pnbXX1n验中事件 出现的次数, 每次试验中 出现的概率AA都为 .p同样, 是在 次独立重复试验中事件 出现的Y2n次数, 每次试验中 出现的概率为 故

9、是A,pYXZ在 次独立重复试验中事件 出现的次数, 每次1n2试验中 出现的概率为 于是 是以 为,p),(21pn参数的二项随机变量, 即 ).,(21nbZ例 3 若 和 相互独立, 它们分别服从参数为XY的泊松分布, 证明 服从参数为21YXZ的泊松分布.解 !1ieP;,0!2jejYP,10由离散型卷积公式得 ri irYiXPZ0,)!(!210ireiri irriie210)()!(!21,)(!21)(21rre,10ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计8累计 30 分钟即 服从参数为 的泊松分布.Z213. 连续型随机向量的函数的分布（20 分钟）AD

10、MINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计9教学意图 教学内容 教学环节设 是二维连续型随机向量, 其概率密度函)(YX数为 , 令 为一个二元函数, 则yxf )(yxg是 的函数. ,g可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求 的分布.),(YXZa) 求分布函数 ),(zFZ .),(),(),( ZDdxyfYXPzYXgP其中, .),(|,zyxgDZb) 求其概率密度函数 , 对几乎所有的 z, 有)(fZ ).(FfZ定理 1 设 是具有密度函数 的),(21X),(21xf连续型随机向量.(1) 设 是 到自身),(),(21211 xgyxgyR的一一映射, 即

11、存在定义在该变换的值域上的逆变换: );,(),(2121yhxyhx(2) 假设变换和它的逆都是连续的;(3) 假设偏导数 存在且连续;)2,1,(jiyh(4) 假设逆变换的雅可比行列式时间 20 分钟ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计10,0),(21121yhyJ即 对于在变换的值域中的 是不为 0),(21yJ ),(21的. 则 具有联合密度,Y).,(),(|),( 212121 yhyfJyw定理 2 设 相互独立，且 YX, ),(1NX则 仍然服从正态分布，且).,(NYZ).,(212更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从

12、正态分布, 即有定理 3 若 且它们相),2,1)(,niNXii 互独立，则对任意不全为零的常数 ，有a,.niiinii aNXa121,例 4 设随机变量 与 相互独立, 且同服从XY上的均匀分布, 试求 的分布函数与0 |Z密度函数.解 先求 的分布函数 |)(zYXPxFZ 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计111,10,zYXzP,1,10)(,2z于是 的概率密度为|YXZ .,01)1(2)(其 它xzzFfZADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计12累计 50 分钟4.和、商、积的分

13、布（35 分钟）教学意图 教学内容 教学环节例 5 设 的密度函数为 令),(21X).,(21xf 212,XYXY试用 表示 和 的联合密度函数.f1Y2和的分布：设 和 的联合密度为 , 求X)(yxf的密度.Z 时间 35 分钟ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计13卷积公式: 当 和 独立时, 设 关于XY),(YX的边缘密度分别为 则上述两式化YX, ),(yfx为 dxzfxzf yYXZ)()(以上两个公式称为卷积公式.解 令 则逆变换为,21xy,21xy,21x,02/1/2/1),( yJ故由定理 1 知, 和 的联合密度函数为1Y2.,2),(21

14、yyfyw例 6 设 和 是两个相互独立的随机变量. 它XY们都服从 分布, 其概率密度为)10(N .,21)( ,2/2yeyf xxyYxX.的 概 率 密 度求 YXZ解 由卷积公式得 dxzfxzfYXZ)()(xezx2)(21ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计14dxezz2241dtezxtz2241/即,2214422zzee).,0(NZ例 7 (讲义例 5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为 .,0,0)(其 它 时当 xexf如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.解 分别用 和 表示第一、二周的需求量 则X

15、Y,0)(其 它xexf ,0)(其 它yeyfY从而两周需求量 利用卷积公式计算.,XZ当 时, 若 则 0z,0x,0xz;0)(xzfY若 则 从而,x,)(fX;)(fZ当 时, 若 则 若 0z,0x;0)(xfX,0xz即 则,x,)(fY故 zxzxX dedxzf0)()()ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计15从而,63ze.,06)(3其 它zezfZ例 8 (讲义例 4)设 与 相互独立 , 且均在区间XY上服从均匀分布, 求 的密度函数.10Z解 由卷积公式, 对 有,zdxezf zxZ 2)(21)( ,212)(dxezx因为 所以,42)(

16、2zxzdxezf zzZ241)(作变量代换, 令 则),2/(zt它表明,1212)( 442tzZ edeezf.,0N注: 进一步可以证明, 设 ),(21NX且 和 相互独立, 则),(2XY).,212NYZ例 9 设 相互独立且分别服从参数为21,X的 分布(分别记成,;21的概率密度21,),)(XXADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计16分别为其 它,00,1)(/1)(1 xexxfX其 它,00,)()(/122 yeyyfX试证明 服从参数为 的 分布.2121证明 由卷积公式, 知当 时, 的0z21XZ概率密度 当 时, 的概率.0)(zfZ密度

17、 dxzfxzfXZ)()(21)()(/021 edxxzz/2 zzdxe0121/221)(0121/ 2121 )()(ttztxz记为 ,/21zeA其中 再,)1()(021221dtt来计算 由概率密度性质, 有.0)(dzfZ)/(/(/1221 ezAxADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计17),(2121A即有 于是.)(2121亦即,00,)(/121其 它zezzfZ 服从参数为 的 分布, 即21X,21).,(商的分布：设二维随机向量 的密度函数),(YX为 , 求 的密度函数.)(yxfYXZ例 10 在一简单电路中, 两电阻 和 串联连1R2

18、接, 设 相互独立, 它们的概率密度均为21R.,0105)(其 它xxf求总电阻 的概率密度.21R解 的概率密度为 .)()(dxzfzfR易知仅当 即 时上,10xzzxz10述积分的被积函数不等于零( 如图 ), 由此即得将,0201,)()(1其 它zdxzfxzfzRADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计18的表达式代入上式得)(xf .,0201,15/)2(6)(3其 它zzzfR例 11 设 X 与 Y 相互独立, 它们都服从参数为的指数分布. 求 的密度函数.Z解 依题意, 知 ,0,)(xexfX,0,)(yeyfY因 与 相互独立, 故X).(),(y

19、fxyfYX由商的分布, 知 ,)(|)(dfzzfZ当 时, 当 时, 0z;0f 0故 的密度函,)1/()( 20)1(2zydefzZ Z数为 .0,/)(2zzf积的分布： 设 具有密度函数 , ),(21X)(21xf则 的概率密度为21XY.|,)(dzyfyfY例 12 设二维随机向量 在矩形),(YX上服从均匀分布, 10,|),(xG试求边长为 和 的矩形面积 的密度函数 .XYSsfADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计19解法 1 二维随机变量 的密度函数为),(YX,),(02/),(Gyxyxf令 为 的分布函数, 则)sFS)(sSPsF,(sx

20、ydyf显然 时, 时, 而当0;)(s2;1)(s时(如图), 有2ssxydyf),(1/2xsdy),ln21(于是 ,2,10,/)ln2(,)ssF从而 .,0/)ln2()( 其 它sf解法 2 二维随机变量 的密度函数为),(YX,),(0/1),(Gyxyxf于是 .|1,)(dzsfsfS因为仅当 时, 所以,20z1zs,0,zsfdfsfsS2,)( ),ln2(s0ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计20其它情形, .0)(sfSADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计21ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计22A

21、DMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计23累计 35 分钟5.极值分布（15 分钟）教学意图 教学环节ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计24及 的分布),max(YXM),in(YXN设随机变量 相互独立,其分布函数分别为和 , 由于 不大于 z 等价于)(xFX)(yY ),max(和 都不大于 z, 故有 );(,)( zFzYPXzMPF YX类似地, 可得 的分布函数),min(YXN ).(1)(11, zFzzYPXzNzPzF YX例 13 设随机变量 相互独立 , 并且有相同21,X的几何分布: 2,1,1ikpqPi ， pq1求 的分布

22、.),max(2XY解一 ,ax21nXPn,21P11nknkpqpqpnn122).(11nnqq解二 1nYPYP,max,max221XnX时间 13 分钟ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计251,2121 nXPnXP121nknkpqpq2122qpqpnn212)()1(nnq).(11nn例 14 (讲义例 6) 设系统 由两个相互独立的子L系统 联接而成，联接方式分别为串联、并联、21,L备用（当系统 损坏时，系统 开始工作） ，如图12336 所示. 设 的寿命分别为 , 已知它2,YX们的概率密度分别为,0,)(xexfX,0,)(yeyfY其中 且

23、 试分别就以上三种联.接方式写出 寿命 的概率密度.LZ解 (1) 串联的情况由于当 中有一个损坏时, 系统 就停止工21 L作, 所以这时 的寿命为 ,minYX由题设知 的分布函数分别为YX,0,1)(xexF,yyY于是 的分布函数为minXZ)(1)(1)(i FxzFYXADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计26,0,1)(ze的概率密度为,minYXZ.,0)()(inzezf (2) 并联的情况由于当且仅当 都损坏时, 系统 才停止工21LL作, 所以这时 的寿命 .,maxYXZ于是 的分布函数为,a)()(maxzFzYX,0,0,1e于是 的概率密度为,a

24、Z .0,0,)()( )(max zeezf zz (3) 备用的情况由于这时系统 损坏时系统 才开始工作, 故1L2整个系统 的寿命 是 两者寿命之和, 即Z故当 时, 的概率密度,YXZ0zYX为 dyffzfYXZ)()(yze0)(zde)( .zze而当 时, 于是 的概,zfZYXZ率密度为ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计27.0,0,)(zezfzZADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计28累计 48 分钟教学意图 教学环节本次课小结累计 49 分钟1. 引言2 离散型随机向量的函数的分布3 连续型随机向量的函数的分布4 连续型随机向量

25、函数的联合概率密度5 和的分布6 商的分布7 积的分布时间 1 分钟回顾总结ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计298 最大、最小分1. 已知 的分布律为),(YXX0 1 20 0.10 0.25 0.151 0.15 0.20 0.15求: （1） ;YZ（2） X（3） ;2sin（4） 的分布律 .,maxYXZ2. 若 和 独立, 具有共同的概率密度X其 它,01)(xxf求 的概率密度.YXZ根据本节讲授内容，给出一些思考拓展的问题.并引导学生对下节课要解决的问题进行思考.累计 50 分钟作业布置：1.复读课本第 97 至第 104 页；2.完成书面作业：第 113 页第 28-31 题、3.预习课本第 115 页至 120 页.要求学生认真完成作业.在本节的教学过程中，公式难度大，对积分要求高，但学生均表ADMINISTRATOR日期概率论与数理统计 教学设计30教学评价现出较高的积极性和较大的情感投入，通过提问和交流说明学生已初步获得较理想的学习效果，也达到了本节的课的教学目标.