1、多维随机变量的特征值,数学期望、方差 协方差、相关系数,数学期望,若 (X, Y) PX=xi ,Y=yj,= pij, i, j=1, 2, , 则Z= g(X，Y)的期望,例1 设随机变量(X,Y)的分布律如下，求E(XY),解:,例2 随机变量X和Y相互独立，联合密度函数为 求Z=X+Y的数学期望,解：联合密度函数为,练习：181页 6、8,1. E(c)=c,c为常数; 2、E(cX)=cE(X), c为常数;,数学期望的性质,3. E(X+Y)=E(X)+E(Y);,5、随机变量X和Y相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y),推广 E(A+B+Z)=E(A)+E(B)+E(Z);,
2、和的期望等于期望的和,若E(X),E(X2)存在，则 EX-E(X)2 记为D(X),或Var(X).,称 为随机变量的标准差,可见,重要性质 Var(X)=E(X2)-E(X)2.,方差,方差的性质,(1) D(c)=0即 PX=C=1 D(X)=0;,(2) D(aX)=a2D(X), a为常数；,(3)若 X，Y 相互独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y);,例3 若Xb(n,p)二项分布, 求期望和方差,解:设,第i次试验事件A发生,第i次试验事件A不发生,则,0-1分布,相互独立,例4 设随机变量X U(0,6) ， Y N(1,3)，ZExp(3),且X，Y，Z相互独立，求随机
3、变量 U=X-2Y+3Z的数学期望、方差,解 E(X)=(0+6)/2=3 D(X)=(6-0)2/12 E(Y)=1, D(Y)=3; E(Z)=1/3, D(Z)=1/9,证明:,X，Y 相互独立，E(XY)=E(X)E(Y),证明:设(X,Y)f(x,y) X、Y相互独立,证明:设(X,Y)f(x,y),E(X+Y)=E(X)+E(Y),协方差，相关系数 一）协方差定义与性质,1. 定义 若X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y). 为X与Y的协方差, 易见 COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,当COV(X,Y)=0时，称
4、X与Y不相关。,？,“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,书：170页,二.协方差性质(1) COV(X, Y)=COV(Y, X);(2) COV(X,X)=D(X); COV(X,c)=0(3) COV(aX, bY)= ab COV(X, Y), 其中a, b为 常数；(4) COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z);(5) D(X Y)=D(X)+D(Y) 2COV(X, Y).,例题 设二维变量（X,Y）的联合密度函数为 试求：Cov（X,Y）,练习 设随机变量Xb（12,0.5),Y N(0,1), COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X
5、+4Y 的方差与协方差,由公式 COV(X, Y)=E(XY）- E(X)E(Y).,我们需要求解E(XY)、E(X)、E(Y),COV (aX+bY, cX+dY)=?,二）.相关系数,1. 定义 若X，Y的方差和协方差均存在, 且D(X)0,D(Y)0，则,称为X与Y的相关系数. 注：若记,称为X和Y的标准化，易知EX*=0，EY*=0.且,2.相关系数的性质(1) |XY|1；(2) |XY|=1存在常数a, b 使PY= aX+b=1；(3) X与Y不相关 XY=0;,例 设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,D,1,x=y,解,可见，若（X，Y）服从
6、二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。,四. 协方差矩阵,1.定义 设X1， , Xn为n个r.v., 记cij=cov(Xi, Xj), i, j=1, 2, , n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X1， , Xn的协方差矩阵C。即,作业：183页17、19,关系图,Var(X)=E(X2)-E2(X)COV(X, Y)=E(XY）- E(X)E(Y).,Var(X Y)=Var(X)+Var(Y) 2COV(X, Y).,期望 E(X) 方差 EX-E(X)2 协方差 COV(X, Y)=EXE(X)YE(Y).,相关系数,以上EX的结果说明了什么？,解1),2),COV(X+Y，Z)=COV(X, Z)+COV(Y, Z);,证明： Cov(X+Y,Z)=E(X+Y)Z- E(X+Y)E(Z)=E(XZ)+E(YZ)- E(X)E(Z) -E(Y)E(Z)=Cov(X, Z)+ Cov(Y,Z),COV(X, Y)=E(XY）-E(X)E(Y).,D(X+Y)=D(X)+D(Y)+ 2COV(X, Y).,证明： D(X+Y)=EX+Y-E(X+Y)2 =E X-E(X) + Y-E(Y) 2=EX-E(X )2 +EY-E(Y)2+E2X-E(X) Y-E(Y) =D(X)+D(Y)+ 2COV(X, Y).,
