1、第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量的概率分布一、填空题1. 设（ ）的分布函数为 ，则YX, 其 它， ，），（ 0031yxyxFyyx（ ）的联合概率密度 = ；, ),(yf 其 它， ， 0ln322 yxxyx2 设随机变量( )的分布函数为 , 则 = YX, )3(2(yarctgCarctgBAyF），（ A/1, = , = ， ( )；B/C2/0A3. 用 的联合分布函数 表示概率 = , ),(x),(cYbXP；),(),(caFb4.设 在区域 G 上服从均匀分布， G 为 及 所围成的区域， 的YXy2),(概率密度为26,(01,);(,)xxfx
2、y其 它 .5. 设 ( ) 联合密度为 ，则系数 = 1 ；YX, 其 它，），（ ,00 ,yAeyxfyx A6. 设二维随机变量( )的联合概率密度为 ，Y, 4,0,xyf其 它则 0 ；PXY7.设二维随机变量 的概率密度为 ，则 c= 21/4 (,)XY2,1,0.cxyf其 它。二、选择题1考虑抛掷一枚硬币和一颗骰子，用 表示抛掷硬币出现正面的次数， 表示抛掷骰子XY出现的点数，则 所有可能取的值为 ( A ),XY（ A）12 对； （ B） 6 对； （ C） 8 对； （ D） 4 对.2设二维随机向量（X，Y）的概率密度为 1,0,1,(,)xyfxy其 它 ，则概率
3、 ( B )(0.5,.6PXY（ A）0.5； （ B） 0.3； （ C） 0.875； （ D） 0.4.3. 设 分别为随机变量 和 的分布函数, 为使）（） 与（ xF21 1X2是某一随机变量 的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取）（）（ xbaFx21)(（A） 321313() ; (B); (C); (D).5322ababab， ， ， ，4. 设随机变量 的分布律为iXi101P424,满足 (A)(1 2)i， )(,1)0(121 XX则(A) 0; (B) 1/4; (C) 1/2; (D) 1.5. 如下四个二元函数中哪个可以作为连续型随机变量的联合概率密度函
4、数（B）（A） cos,01,20xyfxy其 它（B） cs, 2xyfxy其 它（C） os,0,1,f 其 它（D） cs, 20xyfxy其 它6. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，它们的概率分布依次为X -1 1 Y -1 1p 1/2 1/2 p 1/2 1/2则下列各式正确的是（C）（A）X=Y； （B）PX=Y=0 ; (C)PX=Y=1/2 ; (D)PX=Y=1.三、计算下列各题1. 已知随机变量 的联合密度为 , 求 的YX和 其 它， ，），（ 0104yxyxf YX和联合分布函数 。),(yxF解 因为 xydxyfYX),(, 201(1)0,(,)02 1,
5、()4(3), ,xyx Fydxy或 时 ， 由 得， 时 时 204 0 , ()(5)1, ,xxyFyyx时时1 , ,10 , , ),( 2yxxyyxF， 或所 以2. 一个箱子装有 12 只开关，其中 2 只是次品，现随机地无放回抽取两次，每次取一只，以 分别表示第一次和第二次取出的次品数，试写出 的概率分布律。YX和 YX和解. ,.610)0,1( ,645)0,( 12129 CYXPCP),( ,0),( 12120YX3. 给定非负函数 , 其 它又 设它 满 足 ,0,0 )(),(,)(),( 20 yxyxgyxfdxgxg 问 是否是随机变量 的联合概率密度?
6、说明理由。),(yxf YX和解 是 的联合概率密度只要满足 0 与,和 ),(yxf (,)1fxyd,0, , ,)( ,0 ,0 22 fgxgyxy 故所 以非 负由 于 1)(),( 202 rdgdxydf所以 是随机变量 的联合概率密度。),(yxf YX和4. 设随机变量 ( ) 的联合密度为 ，YX, 6, 02,40, kxyxyfxy（ ， ） 其 它求：（1）系数 k； （2） ； （3） ； （4） 。1,P1.5PXPXY解：（1） 420 (,)(6)8.fxydykxydk（2） 31203,().8PXY（3） 4.57. 2yxy（4） =420121.(6
7、).83dxyd5. 设随机变量 ( ) 的联合密度为 , YX, 其 它），（ , 1,22yxayxf求 (1) 系数 , (2) 概率 。a）（ 412YP解 .31)(),( )1( 0 ardadxyf 20412 .21)(, 22 rdxyfYXYX6.袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 X，Y，Z 分别表示两次去求所取得的红球、黑球与白球的个数，（1） 求 ；0P（2） 求二维随机变量 的概率分布。,XY解：（1）在没有取白球的情况下取了一次红球相当于只有 1 个红球，2 个黑球有放回的取两次，其中摸到一个红球；12340
8、9CPXZ（2）X，Y 的取值范围为 0,1,2，故 136 11,0,2,0,46360,1,91,2,20,2,0,9PXYPXYPXYX 0 1 2Y0 1/4 1/6 1/361 1/3 1/9 02 1/9 0 03.2 边缘分布3.3 条件分布3.4 随机变量的独立性一、填空题1. 设平面区域 D 由曲线 所围成. 在 D 上均匀分2101exyxy，及 直 线 ），（ YX布，则 关于 的边缘密度在 处值为 0.25 ；），（ YX22. 若 的分布律为 ），（ XY1 2 3121/61/31/91/18应满足条件是 .若 相互独立则 = 2/9 , = 1/9 ；, 3X与3
9、. 设随机变量 X 和 Y 相互独立，且 X 在区间 上服从均匀分布， Y 服从参数为 1 的0,2指数分布，则 ；1P2e4. 设 独立同分布，都服从 ，则（ ）的概率密度n,21 ),(2NnX,21函数为 ； ,)(,( 122)(221 niixnexf ixi , ,5.设随机变量 与 相互独立， ，且 ，则XY(3)XBpY:()5/9P， ；()PY7()P802436. 二维离散型随机变量相互独立的充分必要条件是。,ijijxyxYy二、选择题1.设两随机变量 独立同分布YX和 (1)()1/2,PXY()PX, 则下列各式成立的是（A ）(1)/2PY(A) ; (B) ;
10、(C) ; (D) .2/1)(YXP1)(YXP4/1)0(YXP4/1)(XYP2设二维随机变量 的联合分布为,Y0 1011/4ab1/4并且已知事件 与 相互独立，则 a,b 的值是（C）X（A）a=1/6,b=1/3; (B) a=3/8,b=1/8; （C）a=1/4,b=1/4; (D) a=1/5,b=3/10.3. 设二维随机变量 的联合概率密度为 ，则 X,Y 满足,Y21/,1,0xyfxy其 它（ C ）（A）独立同分布; （B）独立不同分布；（C）不独立同分布； （D）不独立也不同分布.三、计算下列各题1. 设随机变量 X 在 1,2,3,4 四个整数中等可能取值，另
11、一个随机变量 Y 在 1X 中等可能取一个整数值，求（1） 的联合分布律；（2）X ，Y 的边缘分布律。),(Y解：由题意 ，,1,34,ijiji其 中 为 整 数则由概率的乘法公式有 1, ,2,34.PXiYjPiYjiiji:因此XY 1 2 3 4 jp:1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/482 0 1/8 1/12 1/16 13/483 0 0 1/12 1/16 7/484 0 0 0 1/16 3/48ip:1/4 1/4 1/4 1/4 12. 设二维随机变量 的概率密度为 ),(YX , ,)9(46),(22xyxyxf（1）求关于 的边缘概率密度. （2）
12、问 是否独立？y和 YX与2226 (1)(,) , (4)9(4)3 , , 9(2) ,)(), ,XYXYfxfyddyxxxyx yfxfyXY解 所 以 独 立 .3. 设二维随机变量 的概率密度为),(21,01,2,3.xyxyf其 它求：（1）关于 X 和关于 Y 的边缘密度函数，并判断 X 与 Y 是否相互独立？（2） 。1P解：（1） 2 201,0101,33,X xydxxfxfyd ， 其 它其 它120,22, 60,Y yxyyfyfxy ， 其 它其 它由于 (,)(), .XYffXY所 以 和 不 独 立（2） 1201651, .372xDPfxydyd4
13、. 设二维随机变量 的概率密度为),(YX（1）求常数 ； （2） 求关于 的(),02,(,) ,kxyxyxfy其 它 k和边缘概率密度， （3）问 是否独立？ YX与解 2200(1)(,)()()x xfxydkydkydx16811/8:3(2)(,)()2,2,04 xXfxfykyxx :其 它 为即3,02 ()4 Xxf其 它2 33,01152 ,83480 ,15,20348,0YyYyxfxdyyyfy当 时 ，当 时 ，则 ， 其 它 .(3),XYfxyfyXY显 然 ， ， 因 此 ， 与 不 相 互 独 立 .5. 雷达的圆形屏幕的半径为 ，设目标出现点 在屏幕
14、上均匀分布， （1）求R),(的边缘概率密度， （2）问 是否独立？YX, ,其 它解 ,0),/(1),( 22yxRyxf 2 221, |(1) (,)0, | (), RxXY RxdyRffxydxf 其 它同 理 其 它 .)(),( )2不 独 立和所 以 YXyfxyfYX6. 设二维随机变量 的概率密度为 ，求（1）常数),( 其 它， ,0),(yxAeyxfy（2）随机变量 的边缘密度， （3）概率 。AYX, )1(YXP解 （1） . , ),0 AdyexAdxyf 得（， 0 ,)(,)( ,02 xexfedyxfxXX）（ 0 ,)( yeyfY同 理(3)
15、.211201),()( edyefYPxyx7. 已知随机变量 的概率分布：X,Y01/4 1/2 1/4 P1/2 1/2且 .（1）求 的联合分布， （2）问 是否独立？为什么？(0)PYY, X,解 (1)(1,)0,XYY因 为 所 以 有（1）设 的联合分布为Y, 05. ,5.0 ,5.0,2.,5.0 2121311 pppp 故由 于则 的 联 合 分 布 律 为因 此 ),(YX21() .50, .pXY由 于 故 与 不 相 互 独 立8. 设 X 与 Y 为两个相互独立的随机变量，X 在区间 上服从均匀分布，Y 的概率密度0,1为 ，求：/21,0,.yYef（1）X
16、 与 Y 的联合概率密度；（2）设含有 a 的二次方程为 ，试求 a 有实根的概率。20aXY解：（1） /2/21,0,0.1,0.yXYyxefxfeyf 其 它 其 它（2）含有 a 的二次方程为 有实根的充要条件为20aXYY X -1 0 1 Pj0 P11 P21 P31 1/21 0 P22 0 1/2Pi. 1/4 1/2 1/4 1Y X -1 0 10 1/4 0 1/41 0 1/2 02240.XYXY， 即.而 22 12 /0, 120.145xyxyPfdxyed四、证明题设随机变量 具有分布函数 ，,XY,10100,.axeyyFxya其 它证明：X 与 Y
17、相互独立。证明：1,0, , .0,.,.axXYXYeFxyyFxF其 它 .其 它与 相 互 独 立3.5 两个随机变量函数的分布一、填空题 1. 设 独立同分布, 且 的分布律为 , 则随机变量YX与 X5.0)1(,5.0)(XP的分布律为 P(Z=0)=0.25, P(Z=1)=0.75 ；,maxZ2. 设 两随机变量, 且 = , 则与 ）， 0(YP 74,74(73）（）， Y5/7 ；），（ 0(YXP3. 设随机变量 与 相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= ax,11/9 ；4. 若 221 12(,)(,),XNYkXY相 互 独 立 服 从 分 布 为；
18、1122(kk5. 设 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 的泊松分布，则 服从的分布为12,ZXY。12参 数 为 的 泊 松 分 布二、选择题1. 设随机变量 X 服从指数分布，则随机变量 的分布函数为（D ）min,2Y（A）连续函数； （B）至少有两个间断点；（C）阶梯函数；（D）恰有一个间断点.2. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 ，Y 的概率分布为0,1N，记 为随机变量 的分布函数，则函数 的102PYZFzZYZFz间断点个数为（B）（A）0； （ B）1； （C）2 ； （D）3.3. 设随机变量 相互独立，且分别服从 和 ，则（B）XY与 0
19、,1N,（A） ； （B ） ；(0)2P 1()2PXY（C） ； （D ） .14.设 为标准正态分布的概率密度， 为 上均匀分布的概率密度，若1fx2fx1,3的概率密度，则 应满足（A）20 ,af abbf ,ab（A） ; （B） ; （C） ; （D） .3432412ab5. 设 X 与 Y 相互独立，且都服从区间 上的均匀分布，则下列 4 个随机变量中服0,从区间或区域上的均匀分布的为（A）（A） ; （B）X+Y ; （C ） ; （D ） ., 2XY6. 设 X 与 Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为 ，则,XYFxy的分布函数为（D）min(,)Z（A） ;
20、（B） ;ZXFzxZYFzy（C） ; （D ） .in,Yy11XYFxy三、计算下列各题1. 设两个独立随机变量 的分布律为 , X与 6.0)2(,7.0)3(,.0)( PXP21,4.0)( 的 分 布 律）的 分 布 律 ， （）求 （ YWYZXP 解 由独立性可得（ ）YX,（1，2） （1，4） （3，2） （3，4）)(yxP0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 1 3 1 1所以 的分布律为 , 的分布律为YXZ28.04.7YXW42.06.2.0132. 设 独立, 服从均匀分布, 的概率密度.),(2，在YN ZYZ， 求(用标准正态分布函数 表
21、示 )。x解 由已知 的密度函数为X xexfxX ,21)( 2)(Y 在-,服从均匀分布, 则 , X 和 Y 独立, 由公式其 它 ,0)(yyfY 2121 212 2）（）（ ， 令）（）（）（ ）（ zzdte yztdyefyzfzfz yzYXZ3设随机变量 相互独立，且 求 的概率密, 221(,)(,)XNY:XY度。解 独立，,XY221()()12(,)xyfxye又 = ，2,)(,)NY:211,ZXYN令 ，则|ZX22112211()() 21()()210 ,.00. 0,0, .Z ZzzZZzzZzFzPzFfff eezfzeezf 当 时 ，当 时 ，
22、 ，即 4. 已知随机变量 服从二维正态分布, 其联合密度为 , )(YX )(21),yxeyxf（, 求随机变量 的概率密度函数。yx , )(312YXZ解 zYXZ dxyfzYXPzF)(3122,)(31)( 0 ,230)( ,11 , ,)( , 2330212zezf erdeFzzZ zzZZ所 以 时当时当5. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从 区间上的均匀分布，求 的0,aXZY概率密度函数。解：X 与 Y 相互独立，且 ，,U21,0, .,XYZxzyxayfxyfyFzPfd其 它220020,111 , .0,1,.ZaaxxzzyZZzFzddyz
23、zzfzz当 时当 时 ，当 时6. 设随机变量 的联合概率密度 , ),(YX其 它，），（ ,00 ,13xyxyxf求 的概率密度。Z解 1 ,1 0,233 ,0)() 31 zzxdyxdyzYXPzFzzZ.其 它的 密 度 函 数 为所 以 ,0,2)( , zzfZ7. 设随机变量 与 相互独立， 的概率分布为 ， 的XYX1,03PXiY概率密度为 ，记10Yyfy其 它 ZY（1）求 2PZX（2）求 的概率密度。解：(I) 1201(0,)112(0)()()22PXYZPYPdy(II) )ZFzzXz,1,0,1PXYYXYz1,zPzP101PYzXPYzXPYzX
24、 13()()YYFzzF所以 1()()(1)3ZYYffffz,230z其 它8. 设二维变量 的概率密度为(,)xy2,0xyf1,xy其 他求 ；()I2PXY求 的概率密度。z解：（） ，其中 D 为 中 的那部2()DYxyd01,xy2xy分区域；求此二重积分可得 120()xPXYd58724（） ()ZFzPzXYz当 时， ；0()0ZF当 时， ；2z1z当 时， 320 1()(2)zxZdydz当 时，1z1 543zxFz 于是2,()40,Zf其 他9. 假设电路装有三个同种电器元件，其状况相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 的指数分布，当三个元件都无故障时，
25、电路正常工作，否则整个电路不正常工作.试求电路正常工作时间 T 的概率分布。解 以 表示第 个元件无故障工作时间，则 独立且分布函数为iXi 321,X.12310, , min, titeFt iT，（ ）. 所以 T 服从参数为 的指数分布）（ tT3311,0() i tXi e10. 随机变量 x 的概率密度为 为二维随机变2,21,0,4xxf YXFxy令其 他量(X, Y)的分布函数，()求 Y 的概率密度 ；Yfy() 。1,42F解：（） yyXPyYY 4,1)2(0,()()2式式；yydxyP003)()1(式.yyX0014122)()2(式所以： 其 他,048,3
26、)( yyFfYY（）)4,21(F )21()2,1()4,21() XPXPXPYXP。412dx11. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ,0,.teft设各周的需求量是相互独立的，求（1）两周；（2）三周的需求量的概率密度。解：设某种商品在第 i 周的需求量为 ，由题意得 相互独立，且有1,23iX123,X,0,.i tXeftf（1）记两周需求量为 Z，即 ，则 Z 的概率密度为12030 ,0, !, 0,zZ zzzxx fxdffdee 其 它其 它 其 它（2）记三周需求量为 W，即 ，又 与 相互独立，则 W 的概率密3ZX12X3度为 3303 50 ,0, ! !, 0,uZXWZXx uuuxfxdxffdee 其 它其 它 其 它
