1、34第三章 二维随机变量及其分布（一）作业1一个袋中有 4 个球，分别标有数字 1、2、2、3，从袋中随机取出 2 个球，令 、X分别表示第一个球和第二个球上的号码，求：（ ， ）的联合分布列。 (袋中各Y XY球被取机会相同).2设二维随机变量（ ）的联合密度函数为：YX,不00,),()( yxeyxfyx求（1）分布函数 ；（2） （ ）落在由 轴、 轴和直线 所围成的),(FYX, 1yx区域内的概率。353设二维随机变量的概率分布为YX-1 1 2-1 5/20 2/20 6/202 3/20 3/20 1/20求：（1） 概率分布；（2） 概率分布。YY4在 10 件产品中有两件一
2、级品、7 件二级品和 1 件次品，从中不放回的抽取三件，用 分别表示抽到的一级品和二级品的件数，求：（1） 的联合分布；YX、 ),(YX（2） 的边缘分布；（3）判断 是否相互独立；（4）相关系数 。, YX, 365设随机变量 和 的联合分布以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀XY分布,试求随机变量 的数学期望。U（二）练习题一、填空题1 是二维连续型随机变量，用 的联合分布函数 表示下列概率：),(YX),(YX),(yxF（1） ;_),cbap（2） ;_,(Y（3） ;_)0ap（4） ._,(bYX2随机变量 的分布率如下表，则 应满足的条件是 ),
3、 ,XY1 2 31 1/6 1/9 1/182 1/2 若 相互独立，则 。YX, _;3设平面区域 D 由曲线 及直线 所围成，二维随机变量xy12,10exy在区域 D 上服从均匀分布，则 的联合分布密度函数为 ),( ),(YX37。4设 ，则 的协方差矩阵为 ；),(),(21NYXYX,相互独立当且仅当 。, 5设 。_)3(,5.0,9, DDXY则6设随机变量 相互独立且服从两点分布 ，则 服从 321, 2.08131iX分布 。7设随机变量 和 独立，并分别服从正态分布 和 ，求随机变量XY)5,(N)49,3(的分布密度函数为 。534Z8抛掷 颗骰子，骰子的每一面出现是
4、等可能的，则出现的点数之和的方差为n。二、选择题1设两个随机变量 与 相互独立且同分布， 则下列XY 3210,3210YX各式成立的是（ ）（A） （C） )(Yp(B) （ D） 95)YXp0X2设两个随机变量 与 的联合分布如下X-1 10 1/15 p1 q1/52 1/5 3/10则当 时，随机变量 与 独立。)(),qpXY38、 ； 、 ； 、 ； 、.A15,B51,C152,0D10,523若随机变量 和 的协方差等于 0，则以下结论正确的是（ ） 。XY（ ） 和 相互独立； （ ） ；B)()(YXY（ ） ； （ ） 。C)()(DD(D4如果存在常数 , 使 ，且
5、，那么 （ 0(,ab1)baXYp0XY） 。1 ； ； ； )(A)(B1)(C)(1XY5设两个相互独立的随机变量 X 和 Y 分别服从正态分布 和 ，则（ ） 。)2,(N),(； ；)(A210YXp)(B1p； 。CD2YX6设随机变量 的方差存在且不等于 0，则 是 （ Y和 DYX)(和）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件。(B) 独立的必要条件，但不是充分条件。(C) 不相关的充分必要条件。(D )独立的充分必要条件。7已知两个相互独立的随机变量 和 的方差分别为 4 和 2，则随机变量XY的方差是（ ） 。YX32（ ）8； （ ）16； （ ）28； （ ）-2。A
6、BCD8设随机变量 与 相互独立，且 ，则),(),(22121 NYNX仍具有正态分布，其分布为（ ）Y（A） ； （B） ;),(21N),(21139(C) ; （D ） 七),211N),(2121N三、计算1甲，乙两人独立地进行两次射击，假设甲命中的概率是 0.2，乙命中的概率是0.5，以 和 分别表示甲、乙的命中次数，求 和 的联合分布。XYXY2一个商店每星期五进货, 以备星期六、日 2 天销售, 根据多周统计, 这 2 天销售件数 彼此独立, 且有如下表所示分布:21X112 13 14 2X18 19 20p0.2 0.7 0.1 p0.1 0.8 0.1求：二天销售总量这个
7、随机变量的分布? 如果进货 32 件, 不够卖的概率是多少? 如果进货 31 件, 够卖的概率是多少?33 个球随机地放入 3 个盒子，若 分别表示放入第一个、第二个盒子中的球YX,40的个数，求：（1）二维随机变量（ ）的联合分布列；（2） 的边缘分布。YX, YX和4二维随机变量（ ）的联合密度函数为： ，确定常YX, 其 它0),(xyceyxf数 ，并计算（ ）的值落在矩形区域 内的概率。c, 1,21:),(D5设二维随机变量（ ）的联合密度函数为：YX,41，其 它020,12/1),( yxyxf求 中至少有一个小于 1/2 的概率。YX和6某一箱子装有 100 件产品，其中一、
8、二、三等品分别为 80、10、10 件，现从中随机抽取 1 件，记： ，求随机变量 和 的联合分布；等 品若 没 有 抽 到 等 品若 抽 到 iXi0,11X2（2）随机变量 和 的相关系数。 127已知随机变量 和 的联合分布为：XY（ x , y） （0，0） （0，1） （1，0） （1，1） （2，0） （2，1）42p 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15求：（1） 的分布；（2） 的分布XYXZ8假设二维随机变量 与 的分布密度为：XY，其 他,020,131),(2yxyxyf求：（1）关于 与 的边缘分布密度，并判断 与 是否独立。XYXY（2） 。1p
9、439二维随机变量（ ）在由曲线 和直线 所围成的区域上服从二维均YX, 2xyxy匀分布，求：（1）写出 的联合密度函数；（2）求 的边缘密度函数。和 YX和（3）判断 是否独立。和10设随机变量 和 相互独立，都在区间1，3 上服从均匀分布，记事件XY，且 ，求常数 。aBA, 97)(BApa11设二维随机变量（ ）的联合分布函数为：YX, )3arctn)(2arctn(),( yCxBAyxF44求：（1）系数 ； （2） （ ）的联合密度；（3） 相互独立吗？CBA, YX, YX和（4） )(XYE12一个电子仪器包含两个主要元件，分别以 和 表示这两个元件的寿命（单位：XY小时
10、） ，如果 的联合分布函数为：),(YX 其 它00,1, )(01.10 yxeeyxFyyx求两个元件的寿命均超过 120 小时的概率。4513旅客到达车站的时间 均匀分布在早上 7：55 至 8 点，而火车在这段时间开出的X时刻为 ，且 具有密度函数为：Y，其 它05),5(2)(yyf求旅客能乘上火车的概率。14设二维连续型随机变量 的联合密度函数为：),(YX02/0,2/,sin21),( yxyxyxf设 ，求 。)cos(YXZ)(,ZDE46（三）附加练习1设二维随机变量（ ）的分布密度函数为:YX,其 它00,4),()(2yxxyef求：（1） 和 各自的期望和方差；（ 2） 的期望和方差；（3） 的期YXYbYaX望和方差。2设随机变量 和 独立，并且有相同的正态分布 ，令XY),(2N，求（1） 与 的相关系数；（2） 与 独立的条件。baba, 473设 与 是两个随机事件，随机变量AB，证明随机变量 和 相关的充分必不不 BYX1,1, XY要条件是 与 相互独立。4已知二维连续型随机变量 服从二维正态分布，并且 和 分别服从正态分),(YXXY布 和 ， 与 的相关系数 ，设 ，求：)9,1(N)6,0( 2/1XYZ213（1） ；（2） 与 的相关系数 ；（3） 与 是否相互独立？为,ZDEZZ什么。
