1、秦 猛 南京大学物理系 手机：13913939339,数据统计与分析,参考教材：概率论与数理统计高新祖 陈华钧 编著南京大学出版社,1,第五讲,一、二维随机变量及其分布函数,二、二维离散型随机变量,三、二维连续型随机变量,四、两个常用的分布,五、小结,第一节 二维随机变量,图示,一、二维随机变量及其分布函数,1.定义,实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维随机变量.,二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.,实例2 考查某一地 区学前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W
2、 ).,说明,2.二维随机变量的分布函数,(1)分布函数的定义,(2) 分布函数的性质,且有,证明,若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机变量.,二、二维离散型随机变量,1. 定义,2. 二维离散型随机变量的分布律,二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为,解,且由乘法公式得,例1,( X, Y ) 所取的可能值是,解,抽取两支都是绿笔,抽取一支绿笔,一支红笔,例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色 圆珠笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别 表示抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律.
3、,故所求分布律为,例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数.,( X, Y ) 的可能取值为,解,故 ( X , Y ) 的分布律为,下面求分布函数.,所以( X ,Y ) 的分布函数为,说明,离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为,1.定义,三、二维连续型随机变量,2.性质,表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的全部体积等于1.,3.说明,例4,解,(2) 将
4、 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标,即有,1.均匀分布,定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度,则称 ( X , Y ) 在 D 上服从 均匀分布.,四、两个常用的分布,例5 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的分布密度及分布函数,其中D为x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .,解,所以 ( X , Y ) 的分布函数为,2.二维正态分布,若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度,二维正态分布的图形,推广 n 维随机变量的概念,定义,1. 二维随机变量的分布
5、函数,2. 二维离散型随机变量的分布律及分布函数,3. 二维连续型随机变量的概率密度,五、小结,二、离散型随机变量的边缘分布律,三、连续型随机变量的边缘分布,一、边缘分布函数,四、小结,第二节 边缘分布,一、边缘分布函数,为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.,二、离散型随机变量的边缘分布律,因此得离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为,例1 已知下列分布律求其边缘分布律.,注意,联合分布,边缘分布,解,解,例2,三、连续型随机变量的边缘分布,同理可得 Y 的边缘分布函数,Y 的边缘概率密度.,解,例3,例4,解,由于,于是,则有,即,同理可得,二维正态分布的两个边缘分布都是一维正态分布,二维正态分布和其边缘分布的关系,单击图形播放/暂停 ESC键退出,请同学们思考,边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分 布一定是二维正态分布吗?,不一定.,举一反例以示证明.,答,因此边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.,联合分布,边缘分布,四、小结,
