1、 第三章 多维随机变量及其分布随机向量的定义：随机试验的样本空间为 S=，若随机变量 X1(),X2(),Xn()定义在 S 上，则称（X 1(),X2(),Xn()）为 n 维随机变量（向量） 。简记为（X 1,X2,Xn） 。二维随机向量（X,Y） ，它可看作平面上的随机点。对（X,Y）研究的问题：1 （X,Y）视为平面上的随机点。研究其概率分布联合分布率、联合分布函数、联合概率密度；Joint 2分别研究各个分量 X,Y 的概率分布边缘（际）分布律、边缘分布函数、边缘概率密度；marginal 3X 与 Y 的相互关系；4 （X,Y）函数的分布。 3.1 二维随机变量的分布一离散型随机变
2、量1联合分布律定义 3.1 若二维随机变量(X,Y)可能取的值(向量)是有限多个或可列无穷多个,则称(X,Y) 为二维离散型随机变量。设二维离散型随机变量(X,Y)可能取的值(x i,yj), i，j=1,2,取这些值的概率为pij=P(X,Y)=(xi,yi)=pX=xi,Y=yii,j=1,2, (3.1)称 (3.1)式为(X,Y)的联合分布律。(X,Y)的联合分布律可以用表格的形式表示如下：YX y1 y2 yj X 的边缘分布率X1 p11 p12 p1j P1.X2 p21 p22 p2j P2 xi pi1 pi2 pij Pi Y 的边缘分布率P1 p2 pj 1性质：(1)
3、pij 0，i, j=1,2, (2) =1 jii,2边缘分布律设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为pij= PX=xi,Y=yi i, j=1,2,分量 X 和 Y 的分布律分别为pi.=PX=xi i=1,2, 满足p i.0 pi.=1p.j= pY=yij=1,2, p .j0 p.j=1我们称 pi.和 p.j分别为(X,Y)关于X 和 Y 的边缘分布律，简称为(X,Y)的边缘分布律。二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律与边缘分布率有如下关系：pi.=PX=xi=PX=xi, S=PX=xi, (Y=yj) j= PX=xi,Y=yj= pij (3.4)j j同理
4、可得 p.j = pij i(3.5)例 1:一整数 X 随机地在 1，2，3三个整数中任取一值，另一个整数Y 随机地在 1 到 X 中取一值。试求（X,Y）的联合分布率及边缘分布率。解： ,32131/,iji iiXPjYjiXPYX1 2 3 X 的边缘分布率1 1/3 0 0 1/3 p12 1/6 1/6 0 1/3 p23 1/9 1/9 1/9 1/3 p3Y 的边缘分布率11/18 5/18 1/9 1P1 p2 p3二联合分布函数与边缘分布函数1定义 3.2 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数 x,y 令F(x,y)=PXx,Yy (3.7)则称 F(x,y)为（X,Y
5、）的联合分布函数。 2F(x,y)的性质：性质 1 对于 x 和 y,F(x,y)都是单调不减函数，即若 x12,Y3)= 1- P(X 2,Y 3) ?三连续性随机变量1联合概率密度定义 3.3 设(X,Y)的联合分布函数为 F(x,y),若存在非负函数 f(x,y),使得对于任意的实数 x,y 均有F(x,y)= x（3.12)y dvuuf),(则称(X,Y)为连续型随机变量，并称f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度，简称为概率密度。2f(x,y)有如下性质：性质 1 f(x,y)0 性质 2 =1 dxyyxf),(性质 3 若 f(x,y)的连续点(x,y)处，有 ),(),(),
6、( “2yxf dvuufxyFxyy性质 4 若随机点(X,Y)落于平面上相当任意的区域 D 内记为(X,Y)D,则P(X,Y) D= fxydD(,)（3.16）注：在 f(x,y)非 0 域与 D 公共部分积分有非 0 值。P71 例 2 例 3：（第一版书上例 3.3） 设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=)(0yxe0,0yx他求(1)(X,Y) 的联合分布函数 F(x,y);(2) PX1(3)P(X,Y) D，其中 D=(x,y):x+y1;(4)PX2Y解：注意 的非零域为 H),(yxf（1） ，xy dF,当 0时， xye00),()1(其他 ),(yF 他00,)
7、1(),( yxeyxFyx（2）PX1=1- PX 1=1-Fx(1)=1- F(1,+ )= 1e(3) P(X,Y) D=Ddxyf),(= =2Ge10dyx= )1(xe=10)(dxe= 2(4) PX2Y= yxf2 ),(= =3Gde02xyde=0x02x= 210412xee注 是 的212xe)2(,N概率密度，即 =212xe21xe )(1)()(000 xxP可知)2(1201)( xPPX2Y=1-.41e3边缘概率密度设二维连续型随机变量(X,Y) 联合分布函数、联合概率密度分别为 F(x,y),f(x,y),分量 X,Y 的边缘分布函数分别为 FX(x)、F
8、 Y(y)。利用边缘分布函数与联合分布函数的关系及(3.16)式，可得FX(x)=F(x,+)=(3.17)x duyuf),(FY(y)=F(+,y)= (3.18)y dvxf),(记：f X(x)= 为 X 的边fxyd(,)缘概率密度函数；f Y(y)= 为 Y 的边缘概率密度fxydx(,)函数。例 2： P74例 3： P75 即下面的例 5（第一版）,若二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)= eyxyx 2212121122其中 均为常数，且1212， ， ， ，则称(X,Y)服从12001,参数为 的二维正态1212， ， ， ，分布,通常记为 (X,Y)服从于
9、N。122,求：(X,Y)的边缘概率密度 fX(x) ,fY(y)。解： 令 ：dyxfxf ),()( u2且 中 e 的指数部分改dy2 ),(yxf写为：21212112 212122112 22221121212 )()1( )()()()1( )()()1( xxu xxu yyxx 2112 )(2)()1(22212)( xxux ef )1(2)(22)(1 221121 122 xux ee )1(2)(222112 xue是 的积分函数， 积)1,(21xN分=1。即21)(12)( xx ef知：X 服从于 ，同理：),(211NY 服从于 ),(22N结果表明：（1）二
10、维正态分布，其边缘分布),( 2211 N都是一维正态分布 和 ),(211N。而反之不然。),(22N（2）二维 R.V.边缘分布是由联合分布唯一确定。（见第一版习题 3.1）例 4： （第一版 书上例 3.4） 设(X,Y)在圆域 D=(x,y): x2+y2 r2(r 0)上服从均匀分布，其联合概率密度为f(x,y)= 012r其 他222xyr求(1)P X2+Y2 ;82r42r(2)(X,Y)的边缘概率密度函数fX(x) ,fY(y)。3.3 条件分布由条件概率引出条件概率分布的概念。定义 1 设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的 ，若 ，j0jyYP则称 jpijyYPixXjyYixXP,/例 1， P77，一射手进行射击，击中目标的概率为 p(0p1),射击到击中目标两次为止。设以 X 表示首次击中目标所进行的射击次数，以 Y 表示总共进行的射击次数，试求 X 和Y 的联合分布律及条件分布律。解：定义 2 （不严格） ，设(X,Y)的概率密度为，记 为在条件),(yxf )/(yxYXfY=y 下 X 的条件概率密度，则),(f
