第13讲二次函数的图象和性质

1、第 1 页 共 5 页 二次函数定义及图像性质1、二次函数的定义：如果 是常数， ，那么 叫cbaxy,(2)0ay做 的二次函数.x【例题 01】函数 是二次函数，求常数 的值。24()myxm【变式 01】函数 （ 是常数） ， 为何值时是二次函数？xxym)1()1(232、二次函数图像与性质1) 抛物线 中， 的作用cbxay2a, 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 ： 当 时 ， 开 口 向 上 ； 当 时 ， 开 口 向 下 ； 越 大 ， 抛 物00aa线 的 开 口 越 小 。 和 共 同 决 定 抛 物 线 对 称 轴 的 位 置 ： 对称轴ba 2bxa 与 b 同 号 （ 即 ab 0） 对 称 轴 在 y 轴 左 侧 a 与。

2、霍邱县乌龙镇中心学校龚家林,今，我以九二为荣耀,明，社会有我而精彩,21.2二次函数的图象和性质 （第2课时）,1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.,3.当a0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.,二次函数y=ax2的性质,温故而知新,例. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1和y=x2 1的图像,解: 列表,y=x2+1,y=x21,描点,连线,函数y=ax2+k (a0)的图象和性质,(1) 抛物线y=x2+。

3、第 13 讲 二次函数的图象和性质一、选择题(每小题 6 分，共 30 分)1(2015天水)二次函数 yax 2bx1(a0)的图象经过点(1，1) ，则 ab1 的值是( D )A3 B1 C2 D32(2015临沂)要将抛物线 yx 22x3 平移后得到抛物线 yx 2，下列平移方法正确的是( D )A向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位3(2015柳州)如图，二次函数 yax 2bxc 的图象与 x 轴相交于( 2，0)和(4，0) 两点，当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是( B )Ax2 。

4、第三章 函数及其图象,第13讲 二次函数的图象及其性质,yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0),3图象与性质,4图象的平移,5抛物线yax2bxc与系数a、b、c的关系,二次函数的三种解析式 (1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)； (2)交点式：ya(xx1)(xx2)(a，x1，x2是常数，a0)； (3)顶点式：ya(xh)2k(a，h，k是常数，a0) 抛物线的顶点常见的三种变动方式 (1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反； (2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变； (3)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反,C,A,C。

5、第三章 函 数 第4节 二次函数的图象与性质,考 点 精 讲,考点特训营,二次函数的图象与性质,根据二次函数解析式判断函数图象与性质 根据二次函数图象判断相关结论 二次函数图象与a、b、c的特殊关系 二次函数解析式的确定 图象的平移（以一般式y=ax2+bx+c为例） 与一元二次方程、不等式的关系,未完继续,根据二次函数解析式判断函数图象与性质,根据二次函数解析式判断函数图象与性质,未完继续,返回,根据二次函数解析式判断函数图象与性质,y,根据二次函数图象判断相关结论,=,未完继续,根据二次函数图象判断相关结论,返回,=,=,=,二次函数图象与a。

6、二次函数yax2的图象和性质,引入,学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征，下面请同学们谈谈它们的图象有拿些特征？ 上节课我们学习了二次函数的一般形式为y=ax+bx+c（a 0），那么它的图象是否也为直线或为双曲线呢？,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,y=x2,画最简单的二次函数 y = x2 的图象,列表时应注意 什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,二次函数 y = x2的图象是一条曲线， 它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开。

7、第二十二章 二次函数 二次函数 的 图象和性质,北京市中关村中学 杨爱青,九年级上册,温故知新,1.研究一次函数的顺序：,概念 图象和性质 应用性质,从特殊到一般,2.如何研究二次函数的性质呢？,或,新知探究,(1)x的取值范围：,全体实数；,(2)y的取值范围：,(3)x取一对相反数时，函数值相等（对称性）；,(4)x=0时，y有最小值， y的最小值为0；,(5)当x0时，y随着x的增大而增大；当x0时，y 随着x的增大而减小；,(6)图象位于第一、二象限和原点；,(7)图象第一象限部分是直线还是曲线？,从解析式研究图象和性质,新知探究,取特殊点 时 ， ，y的增长。

8、26.1.3二次函数（1）,1二次函数y2x2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_；对称轴是_，在对称轴的左侧，y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_，函数y2x2当x_时， y有最_值，其最_值是_。,课前复习:,2、二次函数 y=2x 、 的图象与二次函数 y=x 的图象有什么相同和不同？,a0,a0,3、试说出函数yax2（a是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表,向上,向下,y轴,y轴,(0，0),(0，0),4、二次函数y2x21的图象与二次函数y2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个。

9、,课题：二次函数小结,图象与性质,交点情况,解析式的确定,应 用,一、图象与性质,二 次 函 数,二次函数知识要点,0,ax2+bx+c,2,1、二次函数的定义：形如“y= （a、b、c为常数，a ）”的函数叫二次函数。即，自变量x的最高次项为 次。,2、二次函数的解析式有三种形式：一般式为 ；顶点式为 。其中，顶点坐标是（ ），对称轴是 ； *交点式为 。其中x1，x2分别是抛物线与x轴两交点的横坐标。,yax2bxc,ya(x-h)2k,h, k,直线xh,ya(xx1)(xx2),3、图象的平移规律：,上加下减，左加右减； 位变形不变。,(1)、平移不改变 a 的值； (2)、若沿x轴方向左右。

10、二次函数y=ax2的图象和性质,初三数学,x,y,引入:,2.矩形的周长是cm,则它的面积y( )与一边长x的函数关系式为 。,y=x(30-x),3.某厂一月份的产值为万元，以后每月相对上个月的增长率为x，则三月份的产值 y= 万元,观察下列式子的特点：,一般地，如果 (a,b,c是常数，a0),那么，y叫做x的二次函数,练习：课课练第页第题,.当m取何值时，函数 为一次函数？为二次函数？,函数 当m取何值时，它是二次函数？,函数图象画法,列表,描点,连线,0,0.25,1,2.25,4,0.25,1,2.25,4,描点法,用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连结,用光滑曲线连结时要 自左向右顺次连。

11、第13讲 二次函数的图象和性质,浙江专用,yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0),3图象与性质,4.图象的平移,5抛物线yax2bxc与系数a，b，c的关系,3二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数yax2bxc的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函数yax2bxck的函数值看作0，求自变量x的值 4二次函数与二次不等式间的关系 “一元二次不等式”实际上是指二次函数的函数值“y0，y0或y0，y0”，从图象上看是指抛物线在x轴上方或x轴下方的情况,1(2016怀化)二次函数yx22x3的开口方向、顶点坐标分。

12、6.2二次函数图象和性质(1),南京市浦口区第三中学:李孝华,1、函数 y=x2 的图像是什么样子呢?,2、如何画 y=x2 的图象呢?,1、列表：观察 y=x2 的表达式,选择适当 x 值,并计算相应的 y 值,完成下表：,9,4,1,1,0,4,9,-3,-2,-1,0,1,2,3,2、描点,y=x2,3、连线,2、观察这个图象有什么特征?,(1)你能描述图象的形状吗?(2) 图象是轴对称图形吗? 如果是，它的对称轴是什么? 请你找出几对对称点，并与同伴进行交流(3) 图象与x轴有交点吗? 如果有，交点坐标是什么?(4) 当x0时呢?(5) 当x取什么值时，y的值最小? 最小值是什么?你是如何知道的?,思考:,(抛物。

13、第 5 讲 二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：一般式： yaxbc2（a、b、c 为常数，a0）顶点式： hk()2（a、h、k 为常数，a0） ，其中（h，k）为顶点坐标。交点式： yax()12，其中 x12， 是抛物线与 x 轴交点的横坐标，即一元二次方程 bc20的两个根，且 a0， （也叫两根式） 。2. 二次函数 yaxc2的图象二次函数 b2的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果 a 相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。任意抛物线 yxhk()2可以由抛物线 yax2经过。

14、21.2二次函数的图象和性质（7）- 二次函数表达式的确定(1),学习目标 1、会用待定系数法求二次函数解析式. 2、能根据不同的条件选择恰当的解析式求函数解析式。,已知一次函数y=kx+b，当 x=4时,y的值为9；当 x=2时,y的值为3；求这个函数的关系式。 解:,依题意得:,解得,y=6x-15,设列解答,抛砖引玉,一般地，函数关系式中有几个系数，那么就需要有几个等式才能求出函数关系式一次函数关系:,抛砖引玉,如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？二次函数关系:,y=ax2 (a0),y=ax2+k (a0),y=a(x-h)2+k (a0),y=ax 2+bx+c (a0),y=a(x-h)2 (a0),。

15、二次函数的图象和性质(3),温故知新,向上,向下,(0 ,0),(0 ,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.,y=x2,y=x2+1,5 2 1 2 5,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系?,函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.,操作 与 思考,函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?,相同,y=x2,y=x2-2,2 -1 -2 -1 2,函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到。

16、二次函数（3）,1二次函数y2x2的图象是_，它的开口向_，顶点坐标是_；对称轴是_，在对称轴的左侧，y随x的增大而_，在对称轴的右侧，y随x的增大而_，函数y2x2当x_时， y有最_值，其最_值是_。,课前复习:,抛物线,上,（0，0）,Y轴,减小,增大,0,最小,小,0,2、二次函数 y=2x 、 的图象与二次函数 y=x 的图象有什么相同和不同？,a0,a0,3、试说出函数yax2（a是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表,向上,向下,y轴,y轴,(0，0),(0，0),4、二次函数y2x21的图象与二次函数y2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什。

17、第 13 讲 二次函数的图象和性质考点 1 二次函数的概念一般地，形如 (a,b,c 是常数，a0)的函数叫做二次函数 .其中 x 是自变量，a、b、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点 2 二次函数的图象和性质函数 二次函数 y=ax2+bx+c(a，b ，c 为常数，a0)a a 0 a 0图象开口方向 抛物线开口向 ，并向上无限延伸来源:gkstk.Com抛物线开口向 ，并向下无限延伸对称轴 直线 x=- 2ba直线 x=-来源:学优高考网2ba顶点坐标(- ， )4c(- ， )4c最值 抛物线有最低点，当 x=- 时，y 有最小值，2bay 最小值= 4ac抛物线有最高点，当 x=- 时，y。

18、二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质,初三数学,x,y,二次函数y=a(x+h)2的性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x+h)2 (a0),y=a(x+h)2 (a0),（-h，0）,（-h，0）,直线x=-h,直线x=-h,在x轴的上方(除顶点外),在x轴的下方( 除顶点外),向上,向下,当x=-h时,最小值为0.,当x=-h时,最大值为0.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,我思，我进步,。

19、二次函数的图像及性质,复习回顾二次函数的定义,定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。,注意：,二次函数的一般形式:,yax2bxc (其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式： 当b0时， yax2c 当c0时， yax2bx 当b0，c0时， yax2,知识回顾讲授新课,1、一次函数的图像有何特征？,一次函数的图像是一条 。 当 时，y随x的增大而增大； 当 时，y随x的增大而减小。,直线,k0,k0,3、画函数图像的基本步骤是：、 、 。,列表,描点,。

20、数学,第13讲二次函数的图象和性质,第三章函数及其图象,yax2bxc(其中a，b，c是常数，且a0),3图象与性质,4.图象的平移,5抛物线yax2bxc与系数a、b、c的关系,2抛物线的顶点常见的三种变动方式(1)两抛物线关于x轴对称，此时顶点关于x轴对称，a的符号相反；(2)两抛物线关于y轴对称，此时顶点关于y轴对称，a的符号不变；(3)开口反向(或旋转180)，此时顶点坐标不变，只是a的符号相反3二次函数与二次方程间的关系已知二次函数yax2bxc的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2bxck；反过来，解一元二次方程ax2bxck，就是把二次函数yax2bxc。