1、第 13 讲 二次函数的图象和性质考点 1 二次函数的概念一般地，形如 (a,b,c 是常数，a0)的函数叫做二次函数 .其中 x 是自变量，a、b、c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点 2 二次函数的图象和性质函数 二次函数 y=ax2+bx+c(a，b ，c 为常数，a0)a a 0 a 0图象开口方向 抛物线开口向 ，并向上无限延伸来源:gkstk.Com抛物线开口向 ，并向下无限延伸对称轴 直线 x=- 2ba直线 x=-来源:学优高考网2ba顶点坐标(- ， )4c(- ， )4c最值 抛物线有最低点，当 x=- 时，y 有最小值，2bay 最小值= 4ac抛物
2、线有最高点，当 x=- 时，y 有最大值，y 最大2ba值=24acb增减性 在对称轴的左侧，即当 x- 时，y 随 x2ba的增大而 ；在对称轴的右侧，即当 x- a 时，y 随 x 的增大而 2b，简记左减右增在对称轴的左侧，即当 x- 时，y 随 x 的增大而2ba ；在对称轴的右侧，即当 x- 时，2bay 随 x 的增大而 ，简记左增右减【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论.考点 3 二次函数的图象与字母系数的关系字母或代数式 字母的符号 图象的特征a 0 开口向 aa 0 开口向 |a|越大开口越 b=0 对称轴为 轴ab0(b 与 a 同号) 对称
3、轴在 y 轴 侧bab0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴 侧c c=0 经过 c 0 与 y 轴 半轴相交c 0 与 y 轴 半轴相交b2-4ac=0 与 x 轴有 交点(顶点)17b2-4ac0 与 x 轴有 不同交点18b2-4acb2-4ac0 与 x 轴 交点19当 x=1 时，y= 20当 x=-1 时，y= 21若 a+b+c0，即当 x=1 时，y 022特殊关系若 a+b+c0，即当 x=1 时，y 023考点 4 确定二次函数的解析式方法 适用条件及求法一般式 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为 .24顶点式 若已知二次函数
4、图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值 )，可设所求二次函数为 .25交点式 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，可设所求的二次函数为 .26【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式.考点 5 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系二次函数与一元二次方程二次函数 y=ax2bx c 的图象与 轴的交点的 坐标是一元二次方程27 28ax2bxc=0 的根.二次函数与不等式抛物线 y=ax2 bxc 在 x 轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的 x 的所有值就是不等式ax2bxc 0
5、 的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的 x 的值就是不29等式 ax2bx c 0 的解集.301.二次函数 y=(x-h)2+k 的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移” 、 “纵坐标加减上下移”的方法进行.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定.3.求二次函数图象与 x 轴的交点的方法是令 y=0 解关于 x 的方程；求函数图象与 y 轴的交点的方法是令 x=0 得y 的值，最后把所得的数值写成坐标的形式.命题点 1 二次函数
6、的图象和性质例 1 (2013内江)若抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴的交点坐标为(0 ，-3)，则下列说法不正确的是( )A.抛物线的开口向上B.抛物线的对称轴是直线 x=1C.当 x=1 时，y 的最大值为-4D.抛物线与 x 轴的交点坐标为(-1，0)，(3 ，0)方法归纳：解答此类题首先将点坐标代入函数解析式，确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题.1.(2014毕节)抛物线 y=2x2，y=-2x 2,y= x2 的共同性质是 ( )1A.开口向上 B.对称轴是 y 轴C.都有最高点 D.y 随 x 的增大而增大2.(2013泰安)对于抛物线
7、y=- (x+1)2+3，下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线 x=1；顶点坐标为(-11,3)；x1 时， y 随 x 的增大而减小.其中正确结论的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.43.(2014白银)二次函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点 ( )A.(-1，-1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(1，1)4.(2014枣庄)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 x、y 的部分对应值如下表：x -1 0 1来源 :学优高考网 gkstk 2 3y 5 1 -1 -1 1则该二次函数图象的对称轴为( )A.y 轴 B.直线 x= C.直线 x=
8、2 D.直线 x=2 32命题点 2 二次函数的图象与字母系数的关系例 2 (2014南充)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，下列结论：abc0 ；2a+b0；当 m1 时，a+b am2+bm；a-b+c0；若 ax12+bx1ax 22+bx2，且 x1x 2，则 x1+x22.其中正确的有( )A. B. C. D.方法归纳：解答二次函数信息问题时，通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解.1.(2013长沙)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A.a0 B.c0 C.b2-4ac0 D.a+b+
9、c02.(2013株洲)二次函数 y=2x2+mx+8 的图象如图所示，则 m 的值是( )A.-8 B.8 C.8 D.63.(2014达州)如图是二次函数 y=ax2+bx+c 的图象的一部分，对称轴是直线 x=1.b 24ac ；4a-2b+c0；不等式 ax2+bx+c0 的解集是 x 3.5；若(-2，y 1),(5,y2)是抛物线上的两点，则 y1y 2.上述 4 个判断中，正确的是( )A. B. C. D.4.(2013贵阳)已知二次函数 y=x2+2mx+2，当 x2 时，y 的值随 x 的增大而增大，则实数 m 的取值范围是 .命题点 3 确定二次函数的解析式例 3 (20
10、14宁波)如图，已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 A(2,0)，B(0，-1)和 C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式；(2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标；(3)在同一坐标系中画出直线 y=x+1,并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值？【思路点拨】(1)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过 B(0，-1)，所以可得 c=-1，故二次函数解析式为 y=ax2+bx-1.将 A、C两点坐标代入即可求得 a、b.(2)令 y=0，即可求得 D 点坐标；(3)利用描点连线画出 y=x+1 图象，利用图象决定 x 的取值范围.
11、【解答】方法归纳：(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法；(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点.1.若抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点是 A(2，1) ，且经过点 B(1，0)，则抛物线的函数关系式为 y= .2.(2013湖州)已知抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(3，0)，B(-1，0).(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标.3.(2013温州)如图，抛物线 y=a(x-1)2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C.过点 C 作 CDx 轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD.已知点 A 的坐标为(-1,0).(1)求抛物线的解析式；(2)求梯
12、形 COBD 的面积.1.(2014维吾尔自治区)对于二次函数 y=(x-1)2+2 的图象，下列说法正确的是( )A.开口向下 B.对称轴是 x=-1C.顶点坐标是(1，2) D.与 x 轴有两个交点2.(2014滨州)下列函数，图象经过原点的是( )A.y=3x B.y=1-2x C.y= D.y=x2-143.(2014荆门)将抛物线 yx 2-6x5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A.y(x-4) 2-6 B.y(x-4) 2-2C.y(x-2) 2-2 D.y(x-1) 2-34.(2014金华)如图是二次函数 y=-x2+2x+4
13、 的图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是( )A.-1x3 B.x -1 C.x1 D.x-1 或 x35.(2014陕西)二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是 ( )A.c-1 B.b0 C.2a+b0 D.9a+c3b6.(2014遵义)已知抛物线 y=ax2+bx 和直线 y=ax+b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )7.(2014东营)若函数 y=mx2+(m+2)x+ m+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为( )1A.0 B.0 或 2 C.2 或-2 D.0，2 或-28.(2014丽水)写出图象经过点(-1
14、，1)的一个函数的解析式是 .9.(2014云南)抛物线 y=x2-2x+3 的顶点坐标为 .10.如图，已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，当 y 随 x 的增大而增大时，x 的取值范围是 .11.(2014扬州)如图，抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 的对称轴是过点(1 ，0)且平行于 y 轴的直线，若点 P(4，0) 在该抛物线上，则 4a-2b+c 的值为 .12.(2014滨州)已知二次函数 y=x2-4x+3.(1)用配方法求其函数图象的顶点 C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况；(2)求函数图象与 x 轴的交点 A，
15、B 的坐标，及ABC 的面积 .13.(2013泉州)已知抛物线 y=a(x-3)2+2 经过点(1 ，-2).(1)求 a 的值；(2)若点 A(m，y 1)，B(n，y 2)(mn3)都在该抛物线上，试比较 y1 与 y2 的大小.14.若二次函数 y=ax2+bx+a2-2(a，b 为常数) 的图象如下，则 a 的值为( )A.-2 B.- C.1 D. 215.(2014宁波)已知点 A(a-2b，2-4ab)在抛物线 y=x2+4x+10 上，则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )来源:gkstk.ComA.(-3,7) B.(-1,7) C.(-4,10) D.(0,10)
16、16.(2014淄博)已知二次函数 y=a(x-h)2+k(a0)，其图象过点 A(0，2) ，B(8，3)，则 h 的值可以是( )A.6 B.5 C.4 D.317.(2014威海)已知二次函数 yax 2+bx+c(a0)的图象如图所示，则下列说法：c0；该抛物线的对称轴是直线 x-1；当 x1 时，y2a；am 2+bm+a0(m-1).其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.418.(2014菏泽)如图，平行于 x 轴的直线 AC 分别交函数 y1x 2(x0)与 y2 (x0)的图象于 B，C 两点，过点 C3x作 y 轴的平行线交 y1 的图象于点 D，直线 DEAC，
17、交 y2 的图象于 E，则 .DAB19.(2013潍坊)如图，抛物线 y=ax2+bx+c 关于直线 x=1 对称，与坐标轴交于 A，B ，C 三点，且 AB=4，点 D(2， )32在抛物线上，直线 l 是一次函数 y=kx-2(k0) 的图象，点 O 是坐标原点.(1)求抛物线的解析式；(2)若直线 l 平分四边形 OBDC 的面积，求 k 的值.20.(2013宁夏)如图,抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A 的坐标为(2 ，0)，点 C 的坐标为(0，3)，它的对称轴是直线 x=- .12(1)求抛物线的解析式；(2)M 是线段 AB 上的任意一点，当
18、MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标.参考答案考点解读y=ax 2+bx+c 上 下 减小 增大 增大 减小 上 下 小y 左 右 原点 正 负 唯一 两个不同 没有 a+b+c17 18 19 20a-b+c y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k y=a(x-x1)(x-x2) x 21 22 23 24 25 26 27横 28 29 30各个击破例 1 C题组训练 1.B 2.C 3.D 4.D例 2 D 解析: 图象开口向下，a0 ， abcam2+bm+c，故当 m1 时，a+bam 2+bm，故对，可得答案 D.题组训练 1.D 2.B 3.B 4.m-2例 3 (1)
19、二次函数的图象过 B(0，-1)，二次函数解析式为 y=ax2+bx-1.二次函数的图象过 A(2,0)和 C(4,5)两点， 解得4210,65.ab1,.2aby= x2- x-1.(2)当 y=0 时， x2- x-1=0，1解得 x=2 或 x=-1，D(-1,0).(3)如图，当-1x 4 时一次函数的值大于二次函数的值.题组训练 1.-x2+4x-32.(1)抛物线 y=-x2+bx+c 经过点 A(3，0)，B(-1 ，0)， 解得930,1.bc3.bc，抛物线解析式为 y=-x2+2x+3.(2)y=-x 2+2x+3=-(x-1)2+4，抛物线的顶点坐标为(1，4).3.(
20、1)把 A(-1,0)代入 y=a(x-1)2+4，得0=4a+4， a=-1.y=-(x-1) 2+4.(2)当 x=0 时，y=3 ，OC=3.抛物线 y=-(x-1)2+4 的对称轴是直线 x=1，CD=1.A(-1,0) ，B(3,0)，OB=3.S 梯形 COBD= =6.132整合集训1.C 2.A 3.B 4.D5.D 提示：因为抛物线与 y 轴的交点(0，c)在(0 ，-1)的下方，所以 c-1,所以选项 A 错；对称轴为 x=1，所以 =-2ba1,所以 b=-2a 11.01212.(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1.其函数的顶点 C 的坐标为(2，-1)，当 x2
21、 时，y 随 x 的增大而增大.(2)令 y=0，则 x2-4x+3=0,解得 x1=1,x2=3.当点 A 在点 B 左侧时，A(1，0)，B(3，0)；当点 A 在点 B 右侧时，A(3 ，0)，B(1，0).AB=|1-3|=2.过点 C 作 CD x 轴于 D，则ABC 的面积 = ABCD= 21=1.1213.(1)抛物线 y=a(x-3)2+2 经过点(1，-2)，a(1-3) 2+2=-2.解得 a=-1.(2)由(1)得 a=-10 ，抛物线的开口向下.对称轴为 x=3，在 x3 时， y 随 x 的增大而增大 .又mn3 ， y 1y 2.14.D15.D 提示：由题意，得
22、 2-4ab=(a-2b)2+4(a-2b)+10，整理得(a+2) 2+4(b-1)2=0,a=-2,b=1,点 A(-4，10).又抛物线的对称轴为 x=-2，点 A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为(0，10).16.D 提示： a0,抛物线开口向上，对称轴为 x=h，当对称轴在 A、B 左侧时，h0，此时 4 个选项都不满足.当对称轴位于 A、B 之间时，由二次函数的对称性知， A（0 ，2）到对称轴的距离比 B（8，3）到对称轴的距离小，所以 x=h4，故选 D.17.C 提示：正确.18.3- 319.(1)抛物线关于直线 x=1 对称，AB=4 ，A(-1， 0)，B(3，0)
23、.设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3).又点 D(2， )在抛物线上，32 =a(2+1)(2-3).解得 a=- .12y=- (x+1)(x-3).1即抛物线的解析式为 y=- x2+x+ .3(2)由(1)知 C(0， ).D(2, ),CDAB.3令 kx-2= ，得 l 与 CD 的交点 F( ， ).3272k3令 kx-2=0，得 l 与 x 轴的交点 E( ，0).由 S 四边形 OEFC=S 四边形 EBDF，得 OE+CF=DF+BE.即 + =(3- )+(2- ).解得 k= .k7272k1520.(1)依题意，设抛物线的解析式为 y=a(x+ )2+k.由
24、 A(2，0)，C(0，3)得解得250,413.ak125.8ak，抛物线的解析式为 y=- (x+ )2+ .1(2)当 y=0 时，有- (x+ )2+ =0.58解得 x1=2，x 2=-3.B(-3,0).MBC 为等腰三角形，则当 BC=CM 时， M 在线段 BA 的延长线上，不符合题意.即此时点 M 不存在；当 CM=BM 时，M 在线段 AB 上，M 点在原点 O 上.即 M 点坐标为(0,0)；当 BC=BM 时，在 RtBOC 中,BO=CO=3,由勾股定理得 BC= =3 ，2CBBM=3 .M 点坐标为(3 -3,0).2综上所述，M 点的坐标为(0,0)或(3 -3,0).2
