1、二次函数yax2的图象和性质,引入,学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征，下面请同学们谈谈它们的图象有拿些特征？ 上节课我们学习了二次函数的一般形式为y=ax+bx+c（a 0），那么它的图象是否也为直线或为双曲线呢？,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,y=x2,画最简单的二次函数 y = x2 的图象,列表时应注意 什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,二次函数 y = x2的图象是一条曲线， 它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线， 只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做 抛物线 y
2、= x2 ，,议一议,(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?,(4)当x0呢？,(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？,观察图象,回答问题：,(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 减小.,当x0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而 增大.,抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.,(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？,做一做,你能根据表格中的数据作出猜想吗？,
3、(2)先想一想，然后作出它的图象,(3)它与二次函数y=x2的图象有什么相同点和不同点？,在学中做在做中学,x,y,0,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,-10,-8,-6,-4,-2,2,-1,描点,连线,y=-x2,当x0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而 增大.,当x0 (在对称轴 的右侧)时, y随着 x的增大而减小.,y,抛物线y= -x2在x轴的 下方(除顶点外),顶点 是它的最高点,开口 向下,并且向下无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最大,最大值是0.,例题与练习,例1.在同一直角坐标系中画出函数y= x2和y=2x2的图象,解: (1) 列表,(2) 描点,(
4、3) 连线,8,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,4.5,8,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,4.5,2,0.5,0,0.5,2,4.5,8,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2(图中虚线图形)的图象相比,有什么相同同点和不同点?,观察,相同点:,不同点:,开口都向上;,顶点是原点而且是抛物线 的最低点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a|越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而减小。,在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大。,抛物线的开口越小。,解: (1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,-,-2.25,-,-0.25,-0.25,-,-
5、2.25,-,-2,-2,-,-,-,-,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-.,-4. 5,-4. 5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,-1,-2,-3,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,-5,观察,函数y= x2,y=2x2的图象与函数y=x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么相同点和不同点?,相同点:,开口都向下;,不同点:,顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴,开口大小不同;,|a| 越大，,在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。,在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口越小,向上,向下,(0 ,0),(0
6、,0),y轴,y轴,当x0时， y随着x的增大而减小。,当x0时, y随着x的增大而增大。,x=0时,y最小=0,x=0时,y最大=0,抛物线y=ax2 (a0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,归纳小结,当x0时， y随着x的增大而增大。,当x0时， y随着x的增大而减小。,抛物线的开口就越小.,|a|越小,抛物线的开口就越大.,对比抛物线y=x2和 y=x2. 它们关于哪条直线对称？ 关于哪个点对称？由y=x2的图象如何得到y=x2的图象？ 一般地，抛物线y=ax2和y=ax2呢？,汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么因素有关?,刹车距离与二次函数,你知道两辆汽车
7、在行驶时为什么要保持一定距离吗?,驶向胜利的彼岸,雨天行驶时,由公式(2)来计算：,影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路上行驶时,速度为v(kmh)的汽车的刹车距离s(m)可以由公式(1)确定:,比较函数 与 的图象,驶向胜利的彼岸,完成下表：,在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想一想,在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?),驶向胜利的彼岸,V/(km/h),s,-20,0,20,40,80,100,120,140,128,100,72,64,36,16,32,描点,连线,60,144,200,288,(1)两个图象有什么相同
8、与不同?,相同点： (1)它们都是抛物线的一部分； (2)二者都位于纵轴的左侧. (3)函数值都随V值的增大而增大.,不同点： (2)的图像在(1)的图象的内侧. (2)的s比(1)中的S增长速度快 .,观察图象,回答问题串,驶向胜利的彼岸,V/(km/h),s,-20,0,20,40,80,100,120,140,观察图象,回答问题串,60,(2)如果行车速度是60kmh，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米?你是怎么知道的?,128,100,72,64,36,16,32,144,200,288,刹车距离相差一半(36m),由图象,表格或解析式都可以获知.,对比抛物线，y=x2
9、和y=x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=ax2呢？,在同一坐标系内,抛物线 与 抛物线 是关于x轴对称的.,解:(1) 列表,(2) 描点,(3) 连线,y=x2,画最简单的二次函数 y = x2 的图象,列表时应注意 什么问题？,描点法,列表,描点,连线,描点时应以哪些数值作为点的坐标？,连线时应注意什么问题？,作二次函数y=x2的图象,(1)列表 观察y=x2的表达式，选择适当x值，并计算相应的y值，完成下表：,(-2,4),(-3,9),(-1,1),(2.4),(1,1),(3,9),观察图象，回答书本问题,y,x,y=x2,o,(0,0),在二次函数y=x2中，
10、y随x的变化而变化的规律是什么？ 考虑下列几个问题。,(-2,4),(-3,9),(-1,1),(2.4),(1,1),(3,9),观察图象，回答书本问题,y,x,y=x2,o,(0,0),你能描述图象的形状吗？与同伴交流。 图象与x轴有交点吗？如果有，交点的坐标是什么？ 当x0时呢？,(-2,4),(-3,9),(-1,1),(2.4),(1,1),(3,9),观察图象，回答书本问题,y,x,y=x2,o,(0,0),4、当x取什么值时，y的值最小？ 5、图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。,归纳：二次函数y=x的图象是一条抛物线，它的开口向上，且
11、关于y轴对称，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最底点。,做一做,二次函数y=-x2的图象是什么形状？ 先想一想，然后作出它的图象 它与二次函数y=x2的图象有什么关系？,y=x2,y=-x2,y,x,o,练习：1.在同一直角坐标系中画出函数y=x与y=-x的图象。,y,x,x,y=x2,y=-x2,y,o,o,相同点：图象都是抛物线；图象都与x轴脚与点 （0，0）；图象都关于y轴对称。 不同点：开口方向不同；函数值随自变量增大的变化趋势不同；最值不同；一个有最高点，一个有最低点。 联系：它们的图象关于x轴对称。,活动与探索,已知二次函数y=mx,m+m,当m取何值时它的图象开口向上。 （1）当x取何值时y随x的增大而增大。（2）当x取何值时y随x的增大而减小。 当m取何值时它的图象开口向下。 （1）当x取何值时y随x的增大而增大。（2）当x取何值时y随x的增大而减小。,
