4-3协方差与相关系数

1、（1）定义：D（X）=,1. 设C是常数,则D(C)=0;,2. 若k是常数,则D(kX)=k2 D(X);,3. 若X1与X2 独立，则D(X1+X2)= D(X1)+D(X2);,复习：方差,（2）计算：,方法2:,方法1：由定义,（3）性质：,一般地： D(X1+X2)= D(X1)+D(X2) + 2 EX-E(X) Y-E(Y)。,(3)泊松分布:,(1)(0-1)分布:,D(X)=p (1-p ),(2) 二项分布:,D(X)=np(1-p),D(X)=,(4)正态分布:,(5)均匀分布:,D(X)=,D(X)=,(6) 指数分布,（4）常见分布的方差：,(5) 切比雪夫不等式,设r.vX具有均值E(X)= ,方差D(X)=2，则对 0 ,有不等式,证明:根据数学期望与方差的性质:,证明E(Y)=0,D(Y)=1,P99T10： 设E。

2、4.3 协方差及相关系数、矩对于二维随机变量(X，Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征：协方差和相关系数4.3.1 协方差由4.2.2中方差的性质(3)知,若随机变量X与Y相互独立,则D(X + Y) = D(X) + D(Y),也就是说,当随机变量X与Y相互独立时,有EX E(X)Y E(Y)= 0成立,这意味着当EX E(X)Y E(Y)0时,X与Y不相互独立,由此可见这个量的重要性,4.3.1 协方差,定义4.4 设有二维随机变量(X，Y)，如果EX E(X)Y E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差记为Cov(X，Y)，即Cov(X，Y) = EX E(X)Y E(Y) 这样，上节中方差的。

3、 4.4 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系, 4.4,称,为 X ,Y 的协方差. 记为,称,为（X , Y ）的协方差矩阵,可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵,定义,定义,若D (X ) 0, D (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 相关系数，记为,事实上，,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,例1,例2 设 ( X ,Y ) N ( 1,12;2,22 ; ), 求XY,解,。

4、一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第三节 协方差及相关系数嘛刀豺吉前李媳销嚼皑膏区鸯汇曹盾蒲磨秒保枝动秉盗棵盼己奠钩抗芹丙概率与统计课件第七章协方差与相关系数概率与统计课件第七章协方差与相关系数1. 问题的提出 一、协方差与相关系数的概念及性质 协方差漾囚辞靖栅番晋樱阉贵肌祟嘱岛涟闯眶飘锻铺惮脸欢饺埠摩车皂洪源邯虚概率与统计课件第七章协方差与相关系数概率与统计课件第七章协方差与相关系数2. 定义抓贵歌磐量敲壳对逼韵广妻氦伤肢吟拄晌砒抚证硼伞究菏壳睦换米炔川目概率与统计课件第七章协。

5、教学目的： 1.矩的概念.2 .协方差与相关系数3切贝谢夫不等式,第十三讲 协方差与相关系数,教学内容：第三章， 3.6 3.7 。,一 矩,设 X 为离散 r.v. 分布为,X连续 r.v. ，d.f. 为,定义,二 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,称,为 X ,Y 的协方差. 记为,称,为（X , Y ）的协方差矩阵,可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵,定义,若D (X ) 0, D (Y )。

6、19.4.12,4.3 协方差.相关系数与矩,D(XY)=D(X) D(Y)+2EXE(X)YE(Y),D(XY)=D(X) D(Y) 2EXE(X)YE(Y),当研究的问题涉及多个随机变量的时候, 变量与变量之间的关系, 是必须关注的一个方面.,本节介绍的协方差、相关系数就是描述随机变量之间相互关系的数字特征.,19.4.12,定义4.3.1 若EXE(X)YE(Y)存在，称Cov( X,Y )=EXE(X)YE(Y) 为随机变量(X,Y)的协方差.,有 D(X)= Cov(X, X )；,一.协方差,D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y ),协方差的性质：,1.Cov( X, Y ) Cov( Y, X ) ；,19.4.12,3.Cov( X1+X2 , Y ) Cov( X1,Y )+Cov( X2 ,Y ).,常用计算公式：,cov( X。

7、协方差与相关系数,阎岩 yy2703163.com,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是本讲要讨论的,协方差和相关系数,任意两个随机变量X和Y的协方差,记为Cov(X,Y), 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y), Cov(X,Y)= Cov(Y,X),一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) ,1.定义,Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y),可见，若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 .,3. 计算协方差的一个简单公式,由协方差的定义及期望的性质，可得,Cov(X,Y)=E X-E(X。

8、电子课件,史 册 主讲,概率论与数理统计,数学期望方差协方差与相关系数矩 协方差矩阵二维正态分布,第四章 随机变量的数字特征,教学基本要求,掌握：常用分布的数字特征。 熟悉：会运用数字特征的基本性质，求随机变量函数的数学期望。 理解：随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数、矩）的概念，二维正态分布中参数的概率意义。 了解：切比雪夫不等式，二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 重点：常用分布的数字特征。 难点：切比雪夫不等式，随机变量的数字特征。,一、协方差的概念及性质,三、小结,第三节 协方。

9、 3.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,为 X ,Y 的协方差.,定义,称,为X ,Y 的 相关系数.,称,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,例2 设 u U(0,2) , X=cos u , Y=cos( u+ ), 是给定的常数，求 XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,协方差的性质,相关系数的性质,。

10、主要内容（1.5学时）,一、协方差 (重点) 二、相关系数（重点） 三、不相关与独立的关系（重点） 四、随机变量的另几个数字特征,第三节 协方差与相关系数 第四节 随机变量另几个数字特征,一、协方差（重点）,1、引入背景,二维随机变量( X,Y )的相互关系如何描述？n 维变量间的关系,举例：,（1）不同地区气温间的关系；,（2）人的身高、体重间的关系；,（3）不同股票收益率间的关系；,（4）公司经营业绩与资本结构间的关系。,(X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差, 协方差为X,Y离差 X-E(X) 与Y-E(Y) 乘积的数学期望,(3) 当X，Y相同。

11、4.3 协方差及相关系数,计算机教研室 王晓娜 E-mail: wangxiaona1111163.com 电话：15836185939,上次作业：,一、协方差与相关系数的概念及性质,二、协方差和相关系数的计算（重点）,三、不相关和相互独立之间的关系（重点）,第4.3节 协方差及相关系数,一. 定义,又称为标准协方差。是无量纲量。,相关系数.,二. 协方差的计算公式,证明,求 cov (X ,Y ), XY,解,三. 协方差的性质,注:,四.相关系数的性质,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,特别地 若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,X , Y 相互独立。,结论,解。

12、,定义4.4 相关系数 correlation coefficient,设 是二维随机变量, 若 存在, 且,为随机变量的相关系数, 即,则称,定理4.5 相关系数性质, 的充要条件是: 存在非零常数k, 常数c,使得:,当 时, X, Y以概率1成立线性关系.,根据相关系数 的值, 定义:,正线性相关:,负线性相关:,不相关:,当方差不为0时, 不相关等价表达为:,或,若,则,例1 设二维随机变量 的分布律为,求,解 随机变量 与 的边缘分布律为,由此得:,所以:,定理4.6 如果X与Y相互独立, 则X与Y不相关.,反之, 若X与Y不相关, 不能推出X与Y相互独立,定理4.7 设 服从二维正态分布, 即,则X与Y相互独。

13、高校理科通识教育平台数学课程,概率论与数理统计,讲授,孙学峰,协方差和相关系数,4.3 协方差和相关系数,1. 定义 若EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的协方差。记为cov(X, Y)或Cov(X, Y), 即,Cov(X,Y) = EX-E(X)Y-E(Y),协方差,2.协方差的计算,4.3.1 协方差,离散型随机向量,其中 PX=xi ,Y=yj=pij i, j=1, 2, 3, .,连续型随机向量,3. 协方差计算公式,Cov(X,Y)=E(XY )E(X)E(Y),（1）若 X与Y独立,则Cov(X, Y)=0,注,（2）D(XY) = D(X) + D(Y)2Cov(X, Y),4. 协方差的性质,（1）Cov(X, Y) = Cov(Y, X),（2）Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b。

14、概率论与数理统计,苏敏邦,第4章 数字特征,4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差与相关系数,4.3 协方差与相关系数 4.3.1 协方差协方差 4.3.2 相关系数相关系数 例4.15 4.3.3 矩与协方差矩阵矩与协方差矩阵 正态分布的重要性质 例4.16 同步练习1,2 小结,4.3.1 协方差,4.3.1 协方差,4.3.1 协方差,4.3.2 相关系数,4.3.2 相关系数,4.3.2 相关系数,4.3.2 相关系数,4.3.2 相关系数,4.3.2 相关系数,4.3.3 矩与协方差矩阵,4.3.3 矩与协方差矩阵,4.3.3 矩与协方差矩阵,4.3.3 矩与协方差矩阵,4.3.3 矩与协方差矩阵,4.3.3 矩与协方差矩阵,4.3.3 矩与协方。

15、4/24/2019,1. 协方差与相关系数的概念,2. 协方差的性质,3. 相关系数的性质,3.3 协方差与相关系数,. 小结,4. 矩的概念,4/24/2019,(1) 问题的提出,1. 协方差与相关系数的概念,4/24/2019,(2) 定义,4/24/2019,(3) 说明,4/24/2019,(4) 协方差的计算公式,证明,4/24/2019,2. 协方差的性质,4/24/2019,例1 设随即变量(X,Y)具有概率密度其中区域 G 由曲线 与 围成.求,4/24/2019,4/24/2019,(1) 问题的提出,3. 相关系数的性质,4/24/2019,解得,4/24/2019,(2) 相关系数的意义,4/24/2019,证明,(3) 相关系数的性质,4/24/2019,由方差性质知,4/24/2019,故有,。

16、前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中，最重要的，就是现在要讨论的,协方差和相关系数,上页 下页 返回 结束,在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。,在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系.,上页 下页 返回 结束,这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高. 为了研究二者关系. 英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据, 画出了一张散点图.,上页 下页 返回 结束,那么要问：父亲及其成年儿子身高是一种什么关系。

17、协方差与相关系数,协方差cov计算公式,协方差与相关系数区别,协方差与相关系数例题,协方差和相关系数公式,协方差与相关系数公式,协方差和贝塔系数,协方差和相关系数计算,协方差相关系数公式,协方差和相关系数区别。

18、4.4 协方差和相关系数,1. 协方差,4.4 矩和协方差矩阵,2. 相关系数,下页,前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差,对 于多维随机变量，反映分量之间关系的数字特征中， 最重要的，就是本讲要讨论的“协方差和相关系数”.,任意两个随机变量X和Y的协方差, 记为Cov(X,Y), Covariance 定义为, Cov(X1+X2,Y)= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ., Cov(X,Y)= Cov(Y,X);,一、协方差,2.简单性质, Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b是常数;,Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y) .,1.定义,下页,即 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y).,可见，若X与Y独立， 则Cov(X,Y)= 0.,3. 协方差的计。

19、一、协方差与相关系数的概念及性质,二、相关系数的意义,三、小结,第三节 协方差及相关系数,1. 问题的提出,一、协方差与相关系数的概念及性质,2. 定义,3. 说明,4. 协方差的计算公式,证明,5. 性质,解,例1,结论,解,例2,例3.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数.,解,1. 问题的提出,二、相关系数的意义,解得,2. 相关系数的意义,(1) 不相关与相互独立的关系,3. 注意,相互独立,(2) 不相关的充要条件,例4,例5,解,单击图形播放/暂停 ESC键退出,4. 相关系数的性质,证明,由方差性质知,故有,单击图形播放/暂停 ESC键退出,三、小结,。