1、,定义4.4 相关系数 correlation coefficient,设 是二维随机变量, 若 存在, 且,为随机变量的相关系数, 即,则称,定理4.5 相关系数性质, 的充要条件是: 存在非零常数k, 常数c,使得:,当 时, X, Y以概率1成立线性关系.,根据相关系数 的值, 定义:,正线性相关:,负线性相关:,不相关:,当方差不为0时, 不相关等价表达为:,或,若,则,例1 设二维随机变量 的分布律为,求,解 随机变量 与 的边缘分布律为,由此得:,所以:,定理4.6 如果X与Y相互独立, 则X与Y不相关.,反之, 若X与Y不相关, 不能推出X与Y相互独立,定理4.7 设 服从二维正
2、态分布, 即,则X与Y相互独立等价于X与Y不相关.,证明: 计算得,由定理3.7即得.,课堂练习: 设 的联合密度函数为,试证随机变量 与 既不独立也不相关.,解 因,注意到积分区域是个全对称区域, 所以,所以,其它,同理有,即随机变量 不是独立的.,其它,是公共连续点, 显然有:,4.4 矩与协方差矩阵,定义:,k阶原点矩:,k阶中心矩:,(k, l)阶联合原点矩:,(k, l)阶联合原点矩:,注: 期望为一阶原点矩, 方差为二阶中心矩. 协方差为,(1, 1)阶联合中心矩.,例1 已知,求X的各阶矩.,解:,由分部积分公式得:,例2 已知,求X的各阶中心矩.,解: 利用结论当,对于二维随机
3、变量(X,Y), 称列向量,为(X,Y)的期望向量.,称矩阵,为(X,Y)的协方差矩阵. 显然, 这是个对称阵.,借助于期望向量和协方差矩阵, 可以把二维正态分布,的密度函数表达成简单形式, 并进而推广到n维正态分布.,若,则:,其中:,一般地:,n维随机变量 的期望向量为:,协方差矩阵为:,其中:,由此, n维正态分布的密度函数定义为:,4.6 两个不等式,正态分布的 准则:,等价地:,问: 随机变量X的期望方差分别为,是否有:,猜测: 随 的增大而增大, 随k的增大而减小.,定理4.8 切比雪夫不等式,设X是任意一个随机变量,对任意一个,有:,切比雪夫不等式可以等价地表示成:,记,又得到另一形式:,当k=3时,这个上界非常粗糙. 切比雪夫不等式主要在理论研究,中发挥重要作用.,证明:,设X是连续型随机变量, 密度函数为,例3 设随机变量X的方差为0, 证明X服从退化分布.,证明: 记,对任意一个,有:,所以,即,由 任意性得:,定理4.9 柯西-许瓦兹不等式,设(X,Y)是任一二维随机变量, 则:,请与下列不等式作比较:,证明:,即得:,判别式,例4: 证明,证: 对中心化的随机变量用柯西-许瓦兹不等式得,课堂练习: p113 20,作业: 15,17,21,22,25,28,29,
