1、主要内容（1.5学时）,一、协方差 (重点) 二、相关系数（重点） 三、不相关与独立的关系（重点） 四、随机变量的另几个数字特征,第三节 协方差与相关系数 第四节 随机变量另几个数字特征,一、协方差（重点）,1、引入背景,二维随机变量( X,Y )的相互关系如何描述？n 维变量间的关系,举例：,（1）不同地区气温间的关系；,（2）人的身高、体重间的关系；,（3）不同股票收益率间的关系；,（4）公司经营业绩与资本结构间的关系。,(X, Y)为二维随机变量，则称下式为X、Y的协方差, 协方差为X,Y离差 X-E(X) 与Y-E(Y) 乘积的数学期望,(3) 当X，Y相同时，Cov(X, X) =
2、D(X)=Var(X).,2、协方差的定义,说明：,(2) Cov(X,Y)0，正相关；Cov(X,Y)0, 负相关。=0，不相关,(4) Cov(X1+X2, Y)= Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y),(2) 对称性： Cov(X, Y)= Cov(Y, X),(3) Cov(aX, bY) = ab Cov(X, Y) a,b是常数,3、协方差的主要性质, Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (最常用计算方法),(5) D(XY)= D(X)+D(Y) 2Cov(X, Y),(6) 若X与Y独立， Cov(X,Y)= 0 . 不相关,证: (1) Cov(X,Y
3、)=E X-E(X)Y-E(Y) ,=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y),=E(XY)-E(X)E(Y),(3) Cov(aX, bY) =EaX-E(aX)bY-E(bY) ,= ab cov(X, Y),=Eab X-E(X)Y-E(Y) ,(4) Cov(X1+X2, Y)=EX1+X2 -E(X1+X2)Y-E(Y) ,=Cov(X1, Y) + Cov(X2, Y),=EX1 -E(X1)Y-E(Y) +E X2-E(X2) Y-E(Y) ,(6) X与Y独立 E(XY) =E(X)E(Y), Cov(X,Y)= 0 .,二、相关系数（重点）,1、相关系
4、数的定义,说明：,(2) 相关系数 无量纲，消除了量纲不同对相关程度的影响,(3) 与Cov(X,Y)同号。0, 正相关；0, 负相关； =0,不相关,2、相关系数的性质,结论：,0D(Y-t X)= t2 D(X )-2t Cov(X,Y) + D(Y),D(Y- tX)=,证1: (1) 根据方差的性质，对于任意实数 t （判别式法）,三、不相关与独立的关系（重点）,1、若X 与Y 独立，则X 与Y 不相关。,X与Y独立， Cov(X,Y)= 0,2、X 与Y 不相关, X 与Y 不一定独立。,反例：见下页,3、(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立 X与Y不相关,即对正态分布来说，独立
5、与不相关等价。,反例（P89-例2） 设(X, Y)的分布律如下, 问X、Y是否独立?,从而COV(X,Y)=0, 不相关,PX=-1PY=0= 1/8 PX=-1, Y=0,X,Y不独立。,课堂练习,PX=-1PY=0= 6/64 PX=-1, Y=0,X,Y不独立。,X,Y不相关,四、随机变量的另几个数字特征,数学期望 E(X)：一阶原点矩,方差D(X)：二阶中心矩,协方差Cov(X，Y)：二阶混合中心矩,1、矩和中心矩,2、变异系数,说明：,1、定义,背景：(1) 比较不同量纲随机变量的波动幅度，方差并不合理；,(2)相同量纲的随机变量，仅用方差比较波幅也不准确(大小),解: D( X )D( Y )，并不表明X的波幅比Y大(取值大小差异悬殊),例4 X 表示某种同龄树的高度(单位：米)，Y 表示某年龄儿童的身高（单位：米）。比较随机变量X、Y的波幅大小。其中E(X)=10，D(X)=1, E(Y)=1, D(Y)=0.04。,3、分位数（重点）,说明：,背景：数理统计、计量经济学、统计学中大量使用。,本节重点总结,1、协方差、相关系数的定义、性质及计算。 2、不相关与独立间的关系。 3、分位数的定义。,
