1、教学目的： 1.矩的概念.2 .协方差与相关系数3切贝谢夫不等式,第十三讲 协方差与相关系数,教学内容：第三章， 3.6 3.7 。,一 矩,设 X 为离散 r.v. 分布为,X连续 r.v. ，d.f. 为,定义,二 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,称,为 X ,Y 的协方差. 记为,称,为（X , Y ）的协方差矩阵,可以证明 协方差矩阵 为 半正定矩阵,定义,若D (X ) 0
2、, D (Y ) 0 ,称,为X ,Y 的 相关系数，记为,事实上，,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,解,例3 设 U(0,2) , X=cos , Y=cos( + ), 是给定的常数，求 XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系，但有函数关系,协方差的性质,当D(X ) 0, D(Y ) 0 时，当且仅当,时, 等式成立, Cauchy-Schwarz不等式,证 令,对任何实数 t ,即,等号成立,有两个相等的实零点,即,显然,即,即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1, 这种 线性关
3、系为,完全类似地可以证明,当E(X 2) 0, E(Y 2 ) 0 时,当且仅当,时, 等式成立.,相关系数的性质,Cauchy-Schwarz不等式 的等号成立,即Y 与X 有线性关系的概率等于1， 这种线性关系为,如例1中 X ,Y 的联合分布为,0 p 1 p + q = 1,已求得 , 则必有,其中,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,三、切比晓夫不等式,定理：（切比晓夫不等式）随机变量X有数学期望 , 对任意0, 不等式 成立， 或,返回主目录,返回主目录,例4假设一批种子的良种率为 ，从中任意选出600粒，试用切比晓夫（Chebyshev）不等式估计：这600粒种子中良种所占比例与 之差的绝对值不超过0.02的概率。,性质 4 的逆命题不成立，即,若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立,反例 1,p j,pi,附录1,但,反例2,但,几个重要的 r.v. 函数的数学期望, X 的 k 阶原点矩, X 的 k 阶绝对原点矩, X 的 k 阶中心矩, X 的 方差,附录2, X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩, X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩, X ,Y 的 二阶原点矩, X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差, X ,Y 的相关系数,作业 P.117 习题三,23 24 25 26,
