1、 3.3 协方差和相关系数,问题 对于二维随机变量(X ,Y ):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自 的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系, 问题是用一个怎样的数去反映这种联系.,数,反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系,为 X ,Y 的协方差.,定义,称,为X ,Y 的 相关系数.,称,若 ( X ,Y ) 为离散型，,若 ( X ,Y ) 为连续型，,求 cov (X ,Y ), XY,解,例2 设 u U(0,2) , X=cos u , Y=cos( u+ ), 是给定的常数，求 XY,解,若,若,有线性关系,若,不相关，,但,不独立，,没有线性关系
2、，但有函数关系,协方差的性质,相关系数的性质,即Y 与X 有线性关 系的概率等于1， 这种线性关系为,如例1中 X ,Y 的联合分布为,0 p 1 p + q = 1,已求得 , 则必有,其中,X , Y 不相关,X ,Y 相互独立,X , Y 不相关,若 ( X , Y ) 服从二维正态分布，,X , Y 相互独立,X , Y 不相关,例3 设 X ,Y 相互独立, 且 E(X)=E(Y)=0, D(X)=D(Y)= 2, U = aX + bY, V= aX - bY , a,b 为常数，且都不为零，求UV,解,由,而,故,a,b 取何值时, U与V 不相关？此时, U与V 是否独立？,继
3、续 讨论,若 a = b，UV = 0, 则 U , V 不相关., X 的 k 阶(原点)矩, X 的 k 阶中心矩,-X的二阶中心矩-X 的 方差,X 的1 阶(原点)矩 X的期望,矩和中心矩,3.4 随机变量的另几个数字特征,设连续型随机变量X的分布函数为,定义,的数 ，为此分布的下 分位数.,F(x)，概率密度为f(x), 则 称满足条件：,设连续型随机变量X的分布函数为,定义,的数 ，为此分布的上 分位数.,F(x)，概率密度为f(x), 则 称满足条件：,设 X 是只取非负值的随机变量，且有数学期望E(X)，则 有,3.5 切比雪夫不等式与大数定理,设随机变量X 具有数学期望 E(
4、X) 和方差 D(X)，则 有,或,当 2 D(X) 无实际意义,大数定律的思想：,概率论中用来阐明大量随机现象平均结果稳定性的一系列定理统称为大数定律,大数定律,定义：若存在常数a，使对于任何,有,则称随机变量序列 依概率收敛于a。,1. 切比雪夫(Chebyshev) 大数定律,或,且：,当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数.,当n充分大时，独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望.,近似代替,可被,Chebyshev 大数定律的意义,2. 贝努里（Bernoulli）大数定律,设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则,有,或,在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率,“ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生的概率是指：,小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定.,贝努里(Bernoulli)大数定律的意义,3. 辛钦(Khinchin)大数定律,或,具有相同分布，且,1. 独立同分布，不要求方差存在。,2. 贝努利大数定律是辛钦大数定律 的特殊情况。,辛钦大数定律的意义,3. 对同一随机变量进行n 次独立观察，所得结果的算术平均值依概率收敛于随机变量的期望值。,
