2.4向量的数量积教学案1苏教版必修4

1、第2章 平面向量,2.4 向量的数量积,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,引入:,功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？,1、向量的夹角的概念,两个非零向量 和 ，作 ，,与 反向,与 同向,则 叫做向量 和 的夹角,记作,与 垂直，,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,表示数量而不表示向量,与、 不同, 它们表示向量；,在运用数量积公式解题时,一定要注意向量夹角的取值范。

2、,2.4向量的数量积（一）,高中数学必修4同步课件,第二章 平面向量,引入课题,已知两个非零向量 a和 b ，作 ，则AOB= （0 180）叫做向量 a与 b 的夹角。,O,B,引入课题,知识点1：向量“数量积”的概念,一个物体在力F的作用下产生位移S（如图）,F,S,那么力F所做的功W为：,W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角.,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,典型例题,典型例题,(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.,想一想,当a b0时，。

3、教学设计2.4 向量的数量积整 体 设 计教学分析 课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的 5 个重要性质、运算律向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面 )之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映。

4、第1课时数量积的定义,第2章2.4向量的数量积,1.了解向量的夹角、向量垂直、向量的投影等概念.2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.3.能运用数量的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题,问题导学,题型探究,达标检测,学习目标,知识点一平面向量数量积的定义,答案,问题导学 新知探究 点点落实,一个物体在力F的作用下产生位移s，如图,思考1如何计算这个力所做的功？,答 W|F|s|cos .,思考2力做功的大小与哪些量有关？,答 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关,|a|b|cos ,答案,ab,ab|a|b|cos ,知识点二平面向量。

5、2.4 向量的数量积（3）【教学目标】掌握平面向量数量积运算律，运用数量积的运算律解决与向量有关的综合问题； 【教学重点】平面向量数量积的运算律的综合应用【教学难点】向量共线、垂直的判定方法，证明两向量垂直等问题【教学过程】一、引入：1 向量数量积的坐标表示： 若 ( x1，y 1)， (x 2，y 2)，ab则 （向量法） （坐标法）ab 2 长度、夹角、垂直的坐标表示：（1）长度：设 ，则 ；(,)xy22|_axya（2 ）两点间的距离公式：若 ，则 ；12(,)(,)AB|AB （3）夹角： ；（ ） ；cos_ 0（4 ）共线的充要条件：设 ，12(,)(,)axyb则 （向量法。

6、2.4 向量的数量积（2）【教学目标】掌握平面向量数量积的坐标表示；知道向量垂直的坐标表示的等价条件 【教学重点】平面向量数量积的坐标表示及其有关运算【教学难点】平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示【教学过程】一、引入：1向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 = ， = ， ab OAa Bb则AOB(0180)叫做_当 0时， 与 _；a当 180 时， 与 ；当 90时，则称向量 与 ，记作ab_2 向量数量积的定义：已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做 与 的abab数量积，记作： ，即 ； 规定：零向量。

7、21 世纪教育网 - 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有21 世纪教育网第 3 课时 平面向量的数量积1两个向量的夹角：已知两个非零向量 a和 b，过 O 点作 A a， OB b，则AOB (0180) 叫做向量 a与 b的 当 0时， 与 b ；当 180时，a与 b ；如果 与 的夹角是 90，我们说 a与 垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量 与 b，它们的夹角为 ，则数量 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作 ab，即 规定零向量与任一向量的数量积为 0若 a(x 1, y1)， (x 2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|b|cos 叫做向量 b在 方。

8、第 3 课时 平面向量的数量积1两个向量的夹角：已知两个非零向量 a和 b，过 O 点作 A a， OB b，则AOB (0180) 叫做向量 a与 b的 当 0时， 与 b ；当 180时，a与 b ；如果 与 的夹角是 90，我们说 a与 垂直，记作 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量 与 b，它们的夹角为 ，则数量 叫做 a与 b的数量积（或内积） ，记作 ab，即 规定零向量与任一向量的数量积为 0若 a(x 1, y1)， b(x 2, y2)，则 3向量的数量积的几何意义：|b|cos 叫做向量 b在 方向上的投影 ( 是向量 a与 b的夹角 )a 的几何意义是，数量 ab等于 4向量数量积的性质：。

9、2.4 向量的数量积（1）【教学目标】理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质 【教学重点】平面向量数量积的概念及其性质的简单应用【教学难点】平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用【教学过程】一、引入：1平面向量数量积的物理背景及其含义： 物理学中，物体所做的功的计算方法：（其中 是 与 的夹角） |SFWcosFS2 向量的夹角：已知两个非零向量 和 ，作 = ， = ，则 （ ）abOAa BbAO018叫做向量 与 的夹角当 时， 与 ；当 时， 与 ；0180a当 时， 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，记作： 9a。

10、第2章平面向量24向量的数量积,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,|a|b|cos ,ab,ab|a|b|cos ,|a|cos ,|b|cos ,a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的积,锐角,钝角,90,栏目链接,|a|b|,|a|b|,|a|2,|ab|a|b|,ba,(ab),a(b),acbc,x1x2y1y2,栏目链接,x1x2y1y20,栏目链接,知识点1数量积的定义,栏目链接,栏目链接,知识点2数量积的性质及运算律,栏目链接,栏目链接,栏目链接,栏目链接,知识点3向量的模,栏目链接,知识点4向量的夹角,栏目链接,栏目链接,题型1向量数量积的运算,例1,栏目链接,变 式训 练,栏目链接,题型2求两向量的夹角,例 2,栏目链。

11、24 向量的数量积(一)学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力 F 的作用下产生位移 s 所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直知识链接1如图，一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，且力 F 与位移 s 的夹角为 ，那么力 F 所做的功 W 是多少？答 W| F|s|cos .2向量的数量积与数乘向量的区别是什么？答 向量的数量积 ab 是一个实数，不考虑方向；数乘向量 a 是一个向量，既有大小，又有方向预习导引1向量的夹角对于两个非零向量 a 和 b，。

12、2.4 向量的数量积(三)学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识链接1已知非零向量 a(x 1，y 1)，b( x2，y 2)ab 与 ab 坐标表示有何区别？答 若 abx 1y2x 2y1，即 x1y2x 2y10.若 abx 1x2y 1y2，即 x1x2y 1y20.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反2你能用向量法推导两点间距离公式| | 吗？AB x2 x12 y2 y12答 (x 2x 1，。

13、24 向量的数量积(二)学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式 .2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明知识链接1向量数乘的运算律有哪些？答 (1)( a)() a.(2)()aa a.(3)(a b)ab.特别地，有()a(a)(a) ；(ab)ab.2向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a、b，以及任意实数、 1、 2，恒有 (1a2b) 1a2b.预习导引1向量数量积的运算律(1)ab ba(交换律)；(2)(a)ba(b)(ab)ab(结合律) ；(3)(ab )ca cb c(分配律 )2向量数量积的性质设 a、b 为两个非零向量，e 是与 b 同向的单位向量(1)aee a|a。

14、2.4 向量的数量积（1）一、课题：向量的数量积（1）二、教学目标：1理解平面向量数量积的概念；2掌握两向量夹角的概念及其取值范围 ；0,3掌握两向量共线及垂直的充要条件；4掌握向量数量积的性质。三、教学重、难点：向量数量积及其重要性质。 四、教学过程：（一）引入：物理课中，物体所做的功的计算方法：（其中 是 与 的夹角） |cosWFFs（二）新课讲解：1向量的夹角：已知两个向量 和 （如图 2） ，作 ， ，则abOAaBb（ ）叫做向量 与 的夹角。AOB018当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；18当 时， 与 的夹角是 ，我们说 与 垂直，记作。

15、2.4 平面向量的数量积,学习目标:,1.平面向量的数量积的定义及几何意义,2.平面向量数量积的性质及运算律,3.平面向量数量积的坐标表示,4.平面向量的模、夹角,平面向量的数量积的定义,bcos叫做向量b在向量a上的投影。,规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0,注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,a b不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算,向量数量积的几何意义,OB bcos,运算律：,1,2,3,平面向量数量积的坐标表示,两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即,平面向量的模、夹角,（1）设a =（x，y），则 或|a |。

16、第 10 课时：2.4 向量的数量积（二）【三维目标】：一、知识与技能1. 掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题二、过程与方法1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想；2.让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生。

17、第 9 课时：2.4 向量的数量积（一）【三维目标】：一、知识与技能1通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理、几何意义；2体会平面向量的数量积与向量投影的关系；3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的共线及垂直的充要条件3掌握数量积的运算性质，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。二、过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功” ）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义；。

18、课 题：2.4 向量的数量积（3）知识摘记例题解析例 1 已知 都是非零向量，且 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角。,ab3ab754ab72ab例 2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。例 3 为非零向量，当 的模取最小值时，,abatb()R求 的值； 求证： 与 垂直。tatb例 4 如图， 是 的三条高，求证： 相交于一点。,ADBECFA,ADBECF练习与反思 1向量 的模分别为 ， 的夹角为 ，求 的模；,ab2,1ab30ab2设 是两个不相等的非零向量，且 ，求 与 的夹角。|3设 ， 是相互垂直的单位向量，求 8,6ijij,iab反思：A B D CAB CDEF H课外作业 1设 。

19、课 题：2.4 向量的数量积（2）知识摘记1 向量垂直的坐标表示的充要条件。2 向量数量积的坐标表示：3 长度、夹角、垂直的坐标表示：例题解析例 1 设 ，求 (5,7)(6,4)abab例 2 已知 ，求证 是直角三角形。(,)2,3(,5)ABCABC说明：两个向量的数量积是否为零，是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。例 3 如图，以原点和 为顶点作等腰直角 ，使 ，(5,2)AOAB90求点 和向量 的坐标。B例 4 在 中， ， ，求 值。RtABC(2,3)(1,)ACk练习与反思 已知 ， ，(cos,in)(cos,in)ab0（1）求证： （2）若 与 的模相等，且 ，求 的值。akab0k反思：AAO。

20、课 题：2.4 向量的数量积（1）知识摘记1向量的夹角：2向量数量积的定义：3数量积的几何意义：4. 数量积的性质例题解析例 1 已知正 的边长为 ，设 ， ， ，求 ABC2BCaAbBcabca例 2 已知 ， ， ，且 ，求 |3a|b|23c0abcabca练习与反思 1若非零向量 与 满足 ，则 ab|ab2已知 ，则 与 的夹角为 2,()03已知 ，那么实数的值为 .|4()k|4已知 当（ 1） ；（2） ；（ 3） 与 的夹角为 时，分别求,3,/ ab60与 的数量积.ab反思：CABA课外作业 1已知 、 、 是三个非零向量，则下列命题中真命题是 abc(1) ；(2) ， 反向 =- ；abab(3) + = - ；(4) &。